Construction de Fraïssé et topos, par Olivia Caramello (9 décembre 2013)

Prise de vue et mise en page : Stéphane Dugowson

(NdW = note du webmaster)

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Présentation : On interprétera en termes de topos la construction de Fraïssé en théorie des modèles et on présentera quelques applications aux théories dénombrablement catégoriques. La démonstration du théorème principal, qui généralise le résultat classique, illustre le rôle des topos de Grothendieck comme 'ponts' pour transférer des propriétés et constructions entre théories mathématiques différentes. Plus précisément, on montrera que les trois concepts impliqués dans la construction de Fraïssé classique (propriété d'amalgamation et de plongement conjoint, homogénéité et atomicité) correspondent exactement à trois points de vue différents (de natures respectivement géométrique, sémantique et syntactique) sur le même topos classifiant.

Avertissement (NdW). Dans cet exposé, Olivia suppose à peu près connue la construction due à Roland Fraïssé (1920-2008) en théorie des modèles, qui montre comment on peut approcher une structure comme limite de ses sous-structures finiment engendrées. Sur la construction classique de Fraïssé, voir

--- Cours d'Olivia du 28 janvier 2013, et en particulier la séquence 13.

--- Age theory (wikipedia)

--- Slides d'A.Chernikov : what is... a Fraïssé construction ?(2009)

--- W. Hodges, Model Theory, Cambridge University Press, 1993.

Introduction : une ample généralisation du théorème classique de Fraïssé (sans restriction de cardinalité)

Point de vue toposique, où l'on interprète ainsi les trois différents types de propriétés impliquées dans la construction de Fraïssé

Comme propriétés géométriques : amalgamation et plongement conjoint,

Comme propriété sémantiques : homogénéité (ultra, ou faible) des modèles,

Comme propriétés syntaxiques : compacité, atomicité

Géométrie, Sémantique et Syntaxe sont alors vues comme 3 points de vue différents sur le topos classifiant de la théorie considérée

Préliminaires en logique catégorique et topos : théories géométriques & topos classifiants

Théories géométriques.

Définition des théories géométriques.

Théories "cohérentes". Morleyisation.

Référence : P. T. Johnstone, Sketches of an Elephant: a Topos Theory Compendium, Oxford University Press.

Topos classifiant d'une théorie géométrique.

Présentation intuitive des notions de topos, modèles d'une théorie dans un topos, topos classifiant et modèle universel de la théorie considérée

Le topos classifiant est construit syntaxiquement, mais il a un cœur sémantique (le modèle universel)

Le modèle universel : une sorte de Soleil...

Analogie avec l'algèbre de Lindenbaum pour une théorie propositionnelle, où s'unifient syntaxe et sémantique.

Plus formellement : rappel sur les sites et les topos de Grothendieck.

Pour un topos donné, peut-il y avoir des sites différents ? La réponse est "positivement négative" !

Cette non-canonicité du site est même à l'origine de tout l'intérêt du point de vue toposique soutenu ici.

Exemple : pour le spectre de Zariski (normal ?), il y a plusieurs représentations différentes du même topos :

--- représentation logique (comme topos classifiant de la théorie des idéaux premiers),

--- représentation algébrique (comme faisceaux sur un treillis avec la topologie cohérente),

--- représentation topologique (comme faisceaux sur le spectre muni de la topologie de Zariski)...

Définition du topos classifiant d'une théorie : propriété universelle

Théories ayant les mêmes topos classifiants (équivalence de Morita)

Attention : non-bi-interprétabilité possible pour certaines théories Morita-équivalentes

Exemple de cela : voir l'exposé d'Olivia du jeudi 5 décembre 2013 au séminaire "Algèbres d'Opérateurs" sur les MV-algèbres et les ℓ-groupes abéliens avec unité forte,

Construction du topos classifiant (André Joyal, Michael Makkai et Gonzalo E. Reyes, au début des années 1970), généralisation de l'algèbre de Lindebaum :

Site syntactique, de topologie de Grothendieck donnée par les recouvrements canoniques.

Retour sur la question de la non-canonicité des sites.