Cours (7) du 28 janvier 2013 : construction de Fraïssé, complétude et descente, par O. Caramello


prise de vue  : J.P. Laffineur
montage et mise en page : S. Dugowson

Cours n° 7

Intra‐disciplinary applications I

Results on theories of presheaf type and their quotients. Topos‐theoretic Fraïssé’s construction. Topos-theoretic Gödel’s completeness theorem. Descent and definability.

Table des matières

  1. 1 Dualité pour les théories de type préfaisceaux
    1. 1.1 Equivalences "sémantique"/"syntaxique" pour les théories de type préfaisceaux. Equivalence standard.
    2. 1.2 Liens entre "sous-topos sémantiques" et "sous-topos syntaxiques". Importance de l'équivalence utilisée pour les résultats locaux. Pont.
  2. 2 Quatre exemples (illustrant les invariants : "être équivalent à un topos de préfaisceaux", "être atomique", "être localement connexe", et un exemple de compacité)
    1. 2.1 Cas (1) où le site est trivial (les seuls cribles couvrant sont les maximaux)
    2. 2.2 Cas (2) de la topologie atomique (et propriété d'amalgamation)
      1. 2.2.1 Formules T'-complètes
    3. 2.3 Cas (3) d'une topologie localement connexe. Formules T'-indécomposables.
      1. 2.3.1 Précisions
    4. 2.4 Cas (4) d'une topologie de type fini + objet initial => compacité pour la théorie.
  3. 3 Construction de Fraïssé (retour sur le cas atomique (2)).
    1. 3.1 Introduction.
      1. 3.1.1 Utilisation d'équivalences standards (grâce au foncteur l) dans les cas 1 à 4.
      2. 3.1.2 La (co)limite introduite par Roland Fraïssé. 
      3. 3.1.3 Une étonnante rencontre entre géométrie, sémantique et syntaxe.
    2. 3.2 Point de vue topos-théorique sur la construction de Fraïssé.
      1. 3.2.1 Théorie des modèles homogènes. Booléanisation.
      2. 3.2.2 Atomicité. Plongement conjoint et complétude. Topos ayant deux valeurs. Théorème de Fraïssé (généralisé)
    3. 3.3 Exemples : Théorie des algèbres de Boole décidables, ordres linéaires décidables, graphes, extensions algébriques d'un corps donné.
  4. 4 Questions de consistance.
    1. 4.1 Théorème de complétude de Gödel (nécessite l'axiome du choix)
    2. 4.2 Les topos cohérents ont suffisamment de points (Deligne)
    3. 4.3 Deligne/Gödel, les deux arches d'un pont grothendieckien
    4. 4.4 Investigation géométrique de la consistance. Exemple pour des topos cohérents ( "when is flateness coherent ?")
      1. 4.4.1 Consistances, complétude et compacités vues comme propriétés "géométriques" (toposiques).
  5. 5 Conclusion : descente et définissabilité.

Dualité pour les théories de type préfaisceaux


3


Equivalences "sémantique"/"syntaxique" pour les théories de type préfaisceaux. Equivalence standard.

4


Liens entre "sous-topos sémantiques" et "sous-topos syntaxiques". Importance de l'équivalence utilisée pour les résultats locaux. Pont.

5


Quatre exemples (illustrant les invariants : "être équivalent à un topos de préfaisceaux", "être atomique", "être localement connexe", et un exemple de compacité)

Cas (1) où le site est trivial (les seuls cribles couvrant sont les maximaux)

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Cas (2) de la topologie atomique (et propriété d'amalgamation)

["continuité" entre les cas considérés : question d'A. K. sur une éventuelle topologie sur les topologies...]

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Formules T'-complètes

[+ retour sur la comparaison et la "continuité" entre les cas considérés. Rapprochement entre le cas 1 et les espaces d'Alexandrov]

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Cas (3) d'une topologie localement connexe. Formules T'-indécomposables.

(la catégorie des flèches de tout crible couvrant est connexe (non vide ?))

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Précisions

Remarque sur l'applicabilité concrète non triviale des considérations précédentes, en particulier pour les théories algébriques.

Question de L.L. : l'énoncé du cas (3) n'est pas une équivalence, on va ici dans la direction site ("sémantique") => théorie ("syntaxe").

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Cas (4) d'une topologie de type fini + objet initial => compacité pour la théorie.

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Construction de Fraïssé (retour sur le cas atomique (2)).

Introduction.

Utilisation d'équivalences standards (grâce au foncteur l) dans les cas 1 à 4.


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La (co)limite introduite par Roland Fraïssé. 

Référence.  Amalgamation (AP) et plongement conjoint (JEP). omega-catégoricité.


Référence : W. Hodges, Model Theory, Cambridge University Press, 1993.

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Une étonnante rencontre entre géométrie, sémantique et syntaxe.

Homogénéité et "(Ultra-)homogénéité".

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Point de vue topos-théorique sur la construction de Fraïssé.

Théorie des modèles homogènes. Booléanisation.

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Atomicité. Plongement conjoint et complétude. Topos ayant deux valeurs. Théorème de Fraïssé (généralisé)

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(pause)

Exemples : Théorie des algèbres de Boole décidables, ordres linéaires décidables, graphes, extensions algébriques d'un corps donné.

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Questions de consistance.

Théorème de complétude de Gödel (nécessite l'axiome du choix)

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Les topos cohérents ont suffisamment de points (Deligne)

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Deligne/Gödel, les deux arches d'un pont grothendieckien

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Investigation géométrique de la consistance. Exemple pour des topos cohérents ( "when is flateness coherent ?")



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Consistances, complétude et compacités vues comme propriétés "géométriques" (toposiques).

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Conclusion : descente et définissabilité.


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