Excerpts from El teorema de Gödel
Little Math's Digest
Some months ago, in September 1997, I decided to start studying for a degree in Mathematics. Some months later I dropped out. Maths are a very demanding business —a bit too much for my (very much) limited intelligence. I realized that, if at all, I'd become a mediocre mathematician after years of complete abnegation and deprivation (I excitingly saw the sparks of genius in some of my 17 years-old fellow classmates). It simply didn't pay off.
I tried, though, and I'm glad I did. I picked Sociology as a teenager when it was time to decide what to study. The alternative was Mathematics. And although I don't regret having chosen Sociology at all, I got frustrated not to enter Mathematics. Now I'm quits with myself.
Truth is not out there —it's in the mathematician's notebook.
Here are some insightful mathematical excerpts. They're a very soft and understandable approach to the beauty and elegance of Mathematics.
El teorema de Gödel
by Ernest Nagel & James R. Newman.
Published by Tecnos in 1994 (ISBN 84-309-2590-2). Original title is Gödel's Proof (published by New York University Press in 1958).
(Excerpts included are Chapter 1 and the beginning of Chapter 2)
I. INTRODUCCION
En 1931 apareció en una publicación científica alemana un trabajo, relativamente corto, que llevaba el impresionante título de Uber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas conexos). Su autor era Kurt Gödel, a la sazón un joven matemático de veinticinco años de la Universidad de Viena y, desde 1938, miembro permanente del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Dicho trabajo constituye una piedra miliaria en la historia de la lógica y las matemáticas. Cuando la Universidad de Harvard le invistió como doctor honoris causa en 1952, la mención describió la obra como uno de los más importantes avances que en el campo de la lógica se han realizado en los tiempos modernos.
En la época de su publicación, sin embargo, ni el título del trabajo de Gödel ni su contenido eran inteligibles para la mayoría de los matemáticos. Los Principia Mathematica mencionados en el título son el monumental tratado en tres volúmenes debido a Alfred North Whitehead y Bertrand Russell sobre la lógica matemática y los fundamentos de las matemáticas, y el conocimiento de esa obra no es un requisito indispensable para la realización de una fructuosa investigación en la mayoría de las ramas de la ciencia matemática. Además, el trabajo de Gödel versa sobre una serie de cuestiones que nunca han atraído más que a un grupo relativamente reducido de estudiosos. El razonamiento del teorema era tan nuevo en el momento de su publicación, que sólo quienes se hallaban pertrechados con un profundo conocimiento de la literatura técnica sumamente especializada podían seguir y comprender plenamente la línea argumentativa del mismo. Actualmente, sin embargo, las conclusiones establecidas por Gödel son por todos reconocidas como verdaderamente revolucionarias por su honda significación filosófica. La finalidad del presente ensayo es hacer accesibles a los no especialistas el núcleo esencial de los hallazgos de Gödel y las líneas generales de su teorema.
El famoso trabajo de Gödel se centró sobre un importante problema radicado en el fundamento mismo de las matemáticas. Antes de entrar de lleno en su exposición, será conveniente dar una breve explicación del terreno en que se desenvuelve dicho problema. Todo el que haya estudiado geometría elemental recordará, sin duda, que ésta es enseñada como una disciplina deductiva. No se la presenta como una ciencia experimental, cuyos teoremas deban ser aceptados por hallarse de acuerdo con lo que enseña la observación. Esta idea de que una proposición puede ser establecida como conclusión de una prueba lógicaexplícita se remonta a los antiguos griegos, los cuales descubrieron lo que se conoce con el nombre de método axiomático y lo utilizaron para obtener un desarrollo sistemático de la geometría. El método axiomático consiste en aceptarsin prueba ciertas proposiciones como axiomas o postulados (por ejemplo, el axioma de que entre dos puntos sólo puede trazarse una línea recta), y en derivar luego de esos axiomas todas las demás proposiciones del sistema en calidad ya de teoremas. Los axiomas constituyen los cimientos del sistema; los teoremas son lasuperestructura, y se obtienen a partir de los axiomas sirviéndose, exclusivamente, de los principios de la lógica.
El desarrollo axiomático de la geometría produjo una poderosa impresión en los pensadores de todos los tiempos, ya que el relativamente pequeño número de axiomas soporta el peso de las infinitamente numerosas proposiciones que de ellos podían derivarse. Además, si puede demostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas —y, en efecto, durante cerca de dos mil años la mayoría de los estudiosos han creído sin discusión que son absolutamente ciertos—, quedan automáticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia mutua de todos los teoremas. Por estas razones la forma axiomática de la geometría se presentó a muchas generaciones de destacados pensadores como el más excelente modelo de conocimiento científico. Era natural preguntar, por tanto, si era posible asentar sobre un sólido cimiento axiomático otras ramas de pensamiento además de la geometría. No obstante, aunque en la antigúedad se dio una formulación axiomática a ciertas partes de la física (verbigracia: por Arquímedes), hasta los tiempos modernos la geometría era la única rama de las matemáticas dotada de lo que la mayoría de los estudiosos consideraban una adecuada base axiomática.
Pero durante los dos últimos siglos el método axiomático ha ido adquiriendo fuerza y vigor crecientes. Nuevas y viejas ramas de las matemáticas, incluyendo la familiar aritmética de los números cardinales (o enteros), fueron provistas de lo que parecían ser unos adecuados conjuntos de axiomas. Nació así un estado de opinión en el que se admitía tácitamente que todos los sectores del pensamiento matemático podían ser dotados de unos conjuntos de axiomas susceptibles de desarrollar sistemáticamente la infinita totalidad de proposiciones verdaderas suscitadas en el campo sujeto a investigación.
El trabajo de Gödel demostró que esta suposición es insostenible. Puso frente a los matemáticos la asombrosa y melancólica conclusión de que el método axiomático posee ciertas limitaciones intrínsecas que excluyen la posibilidad de que ni siquiera la aritmética ordinaria de los números enteros pueda llegar a ser plenamente axiomatizada. Y aún más, demostró que es imposible establecer la consistencia lógica interna de una amplia clase de sistemas deductivos —la aritmética elemental, por ejemplo—, a menos que se adopten principios tan complejos de razonamiento que su consistencia interna quede tan sujeta a la duda como la de los propios sistemas. A la luz de estas conclusiones, resulta inalcanzable una completa sistematización final de muchas y muy importante zonas de las matemáticas y no puede darse ninguna garantía absolutamente impecable de que muchas de las más significativas ramas del pensamiento matemático se hallen enteramente libres de toda contradicción interna.
Los descubrimientos de Gödel socavaron, así, prejuicios profundamente arraigados y demolieron las antiguas esperanzas que estaban siendo nuevamente alimentadas por la investigación en torno a los fundamentos de las matemáticas. Pero su estudio no era totalmente negativo. Introdujo en el examen de las cuestiones planteadas en torno al fundamento de las matemáticas una nueva técnica de análisis, comparable por su naturaleza y su fecundidad al método algebraico que René Descartes introdujo en la geometría. Esta técnica sugería y planteaba nuevos problemas para la investigación lógica y matemática. Provocó una nueva valoración, todavía en trance de desarrollo, de una extendida filosofía de la matemática y de la filosofía del conocimiento en general.
Sin una considerable formación matemática es demasiado difícil seguir los detalles de las demostraciones dadas por Gödel en su ya histórico trabajo. Pero la estructura básica de sus razonamientos y el aspecto esencial de sus conclusiones pueden ser hechos accesibles a los lectores que se hallen dotados de una limitada preparación lógica y matemática. Para lograr esta comprensión puede que le sea útil al lector una breve exposición de ciertos relevantes progresos realizados en la historia de las matemáticas y de la moderna lógica formal. Los cuatro capítulos siguientes de este ensayo se hallan consagrados a dicha exposición.
II. EL PROBLEMA DE LA CONSISTENCIA
El siglo XIX presenció una prodigiosa expansión e intensificación de la investigación matemática. Fueron resueltos muchos problemas fundamentales que durante largo tiempo habían resistido a los esfuerzos de los pensadores anteriores; se crearon nuevos sectores de estudio matemático y se establecieron nuevos cimientos en diversas ramas de la disciplina o se reformaron por completo los antiguos con la ayuda de técnicas analíticas más precisas. Sirva de ejemplo lo siguiente. Los griegos habían propuesto tres problemas de geometría elemental: con regla y compás, dividir en tres partes iguales un ángulo cualquiera; construir un cubo de doble volumen que el volumen de un cubo dado; y construir un cuadrado de área igual a la de un círculo dado. Durante más de dos mil años se hicieron infructuosos esfuerzos por resolver estos problemas. Y, finalmente, en el siglo XIX, se demostró que tales construcciones son lógicamente imposibles. Se obtuvo, además, un valioso resultado secundario de esos trabajos. Puesto que las soluciones dependen esencialmente de determinar la clase de raíces que satisfacen a ciertas ecuaciones, el interés suscitado por los famosos ejercicios planteados en la antigüedad estimuló la realización de profundas investigaciones acerca de la naturaleza de los números y sobre la estructura del continuo numérico. Los números negativos, complejos e irracionales fueron definidos con rigurosa precisión; se construyó una base lógica para el sistema de números reales y se fundó una nueva rama de las matemáticas: la teoría de los números transfinitos.
Pero el progreso más importante por sus repercusiones sobre la subsiguiente evolución de la ciencia matemática fue, quizá, la solución de otro problema que los griegos habían planteado sin darle una respuesta. Uno de los axiomas queEuclides utilizó para sistematizar la geometría se refiere a las paralelas. El axioma que adoptó es lógicamente equivalente (aunque no idéntico) a la hipótesis de que por un punto exterior a una línea dada solamente puede trazarse una paralela a esa línea. Por varias razones, este axioma no pareció evidente por sí mismo a los antiguos. Trataron, por tanto de deducirlo de otros axiomas euclidianos que consideraban claramente autoevidentes1 . ¿Puede hallarse una demostración del axioma de las paralelas? Generaciones enteras de matemáticos forcejearon sin resultado con esta cuestión. Pero el reiterado fracaso en el intento de construir una prueba no significa que no pueda ser encontrada ninguna en absoluto, del mismo modo que el reiterado fracaso en el intento de hallar un remedio para el resfriado común no demuestra de forma indudable que la humanidad haya de sufrir eternamente sus molestias. Fue solamente en el siglo XIX, principalmente por la obra de Gauss, Bolyai, Lobachevsky y Riemann, cuando se demostró laimposibilidad de deducir de otros axiomas el axioma de las paralelas. Este resultado tuvo una importancia intelectual extraordinaria. En primer lugar, llamó clamorosamente la atención hacia el hecho de que puede demostrarse laimposibilidad de demostrar ciertas proposiciones dentro de un determinado sistema. Como veremos, el trabajo de Gödel es una demostración de la imposibilidad de demostrar ciertas importantes proposiciones de la aritmética. En segundo lugar, la resolución de la cuestión planteada por el axioma de las paralelas obligó a admitir que Euclides no había dicho la última palabra acerca de la geometría, ya que pueden construirse nuevos sistemas de geometría utilizando cierto número de axiomas distintos de los adoptados por Euclides e incompatibles con ellos. En particular, como es bien sabido, se obtienen resultados extraordinariamente interesantes y fructíferos cuando se sustituye el axioma de las paralelas de Euclides por la hipótesis de que, por un punto dado, puede trazarse más de una paralela a una línea determinada, o, alternativamente, por la hipótesis de que no puede trazarse ninguna paralela.
La creencia tradicional de que los axiomas de la geometría (o, lo que es lo mismo, los axiomas de cualquier disciplina) pueden ser establecidos como tales por su aparente autoevidencia fue así destruida en su misma base. Además, fue haciéndose cada vez más claro que la tarea propia del matemático puro es deducir teoremas a partir de hipótesis postuladas, y que, en cuanto tal matemático, no le atañe la cuestión de decidir si lo axiomas que acepta son realmente verdaderos.Y, finalmente, estas modificaciones de la geometría ortodoxa estimularon la revisión y perfección de las bases axiomáticas de otros muchos sistemas matemáticos. Se dio un fundamento axiomático a campos de investigación que hasta entonces habían sido cultivados de una forma más o menos intuitiva. (Véase apéndice número I.)
La conclusión dominante desprendida de estos estudios críticos de los fundamentos de las matemáticas es que la antigua concepción de las matemáticas como ciencia de la cantidad es equivocada, además de engañosa. Pues se hizo evidente que la matemática es, simplemente, la disciplina por excelencia que extrae las conclusiones lógicamente implicadas en cualquier conjunto dado de axiomas o postulados. Llegó, de hecho, a reconocerse que la validez de una deducción matemática no depende en absoluto de ningún significado especial que pueda estar asociado con los términos o expresiones contenidos en los postulados. Se admitió que las matemáticas eran algo mucho más abstracto y formal de lo que tradicionalmente se había supuesto; más abstracto, porque las afirmaciones matemáticas pueden ser hechas en principio sobre cualquier objeto, sin estar esencialmente circunscritas a un determinado conjunto de objetos o de propiedades de objeto; y más formal, porque la validez de las demostraciones matemáticas se asienta en la estructura de las afirmaciones más que en la naturaleza especial de su contenido. Los postulados de cualquier rama de la matemática demostrativa nunca versan intrínsecamente sobre el espacio, la cantidad, manzanas, ángulos o presupuestos financieros; y ningún significado especial que pueda asociarse con los términos (o predicados descriptivos) contenidos en los postulados desempeña papel esencial alguno en el proceso de deducir teoremas. Repetimos que la única cuestión a la que se enfrenta el matemático puro (en cuanto diferente del científico que hace uso de las matemáticas en la investigación de un determinado objeto de estudio) no es si los postulados de que parte o las conclusiones que de ellos deduce son verdaderos, sino si las conclusiones obtenidas son realmente las consecuencias lógicas necesarias de las hipótesis iniciales [...]
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1La razón principal de esta supuesta falta de autoevidencia parece haber sido el hecho de que el axioma de las paralelas formula una afirmación acerca de regiones infinitamente remotas del espacio. Euclides define las líneas paralelas como línea rectas situadas en un plano que 'prolongándose indefinidamente en ambas direcciones' no se encuentran. Por consiguiente, decir que dos líneas son paralelas es sentar la afirmación de que esas dos líneas no se encontrarán ni siquiera 'en el infinito'. Pero los antiguos conocían líneas que, aunque no se cortan en ninguna región finita del plano, se encuentran 'en el infinito'. De tales líneas se dice que son asintóticas.. Así, una hipérbola es asintótica respecto a sus ejes. A los geómetras antiguos no les resultaba intuitivamente evidente, por tanto, que desde un punto exterior a una línea recta dada solamente pudiera trazarse una línea recta que no se encontrara con aquélla ni siquiera en el infinito.