Există mai multe cutii de instrumente cu MATLAB care pot fi utilizate pentru a analiza, calcula, simula și proiecta probleme de control. Pot fi utilizate atât reprezentări de domeniu-timp, cât și reprezentări de domeniu-frecvență. De asemenea, se pot rezolva atât probleme de control clasice, cât și cele moderne. Aplicația este ilustrată aici prin câteva probleme de control convențional (vezi Capitolul 9).

D.3.1 Exemplu de proiectare a unui compensator

Sistemul de control al vitezei prezentat în figura D.2a are un compensator, un controller cu un câștig de amplificator K și un motor DC cu funcție de transfer 1/(10s+1) care sunt în calea directă și un filtru trece-jos cu funcția de transfer 1/(0,1s+1) care se află în calea de feedback.

Semnalul y (ieșirea sistemului) de la senzorul de viteză este condiționat de filtru și comparat cu comanda de viteză u (intrarea sistemului). Semnalul de eroare rezultat este introdus în amplificatorul de control. Controllerul poate fi reglat prin ajustarea câștigului K. Deoarece performanța necesară nu a fost obținută doar prin această reglare, s-a decis adăugarea unei rețele compensator pe calea directă a buclei de control. Specificațiile de proiectare sunt (1) acuratețea în stare constantă de 99,9% pentru o intrare treaptă și (2) depășirea (overshoot) procentuală de 10%.

Proiectați un compensator lead (de conducere) și un compensator lag (de întârziere) pentru a respecta aceste specificații de proiect. Instrumentul de proiectare MATLAB SISO (single-input-single-output) este folosit aici pentru a rezolva această problemă.

FIGURA D.2 (a) Proiectarea compensatorului pentru un servomotor de viteză;
(b) importul modelului în SISO Design Tool;
(c) locul rădăcinilor și diagrame Bode pentru modelul motorului

FIGURA D.2 (continuare) (d) răspunsul la treaptă în buclă-închisă al sistemului motor fără compensare;
(e) locul rădăcinilor și diagrame Bode ale sistemului compensat;
(f) răspunsul la treaptă în buclă închisă al sistemului compensat

D.3.1.1 Construirea modelului de sistem

Construiți modelul funcției de transfer al motorului și filtrului, în spațiul de lucru MATLAB, după cum urmează:

Pentru a deschide Instrumentul de proiectare SISO, tastați

la prompterul MATLAB (>>).

D.3.1.2 Importarea modelului în instrumentul de proiectare SISO

Selectați Import Model din meniul File. Aceasta deschide caseta de dialog Import System Data, așa cum se arată în Figura D.2b.

Urmați următorii pași pentru a importa modelele motor și filtru:

1. Selectați Motor_G în SISO Models.
2. Plasați-l în G Field sub Design Model apăsând butonul săgeată dreapta spre stânga lui G.
3. În mod similar, importați modelul filtrului.
4. Apăsați OK.

Acum, fereastra principală a Instrumentului de proiectare SISO va arăta locusul rădăcinilor și diagramele Bode ale funcției de transfer în buclă-deschisă GH (vezi Figura D.2c). După cum este prezentat în figură, marja de fază este de 18,2°, care apare la 30,8 rad/s (4,9 Hz).

Răspunsul la treaptă în buclă-închisă, fără compensare, este obținut selectând Tools → Loop responses → closed-loop step din meniul principal. Răspunsul este prezentat în figura D.2d. Se observă că marja de fază nu este adecvată, ceea ce explică oscilările și timpul de stabilire (settling) lung. De asemenea, P.O. (depășire procentuală) este de aproximativ 140%, care este considerabil mai mare decât cel dorit (10%) și nu este acceptabil.

D.3.1.3 Adăugarea compensatoarelor lead și lag

Pentru a adăuga un compensator lead, faceți clic-dreapta pe mouse în spațiul alb al diagramei de magnitudine Bode, alegeți Add Pole /Zero și apoi lead în meniul clic-dreapta pentru diagrama Bode cu buclă deschisă. Deplasați zero-ul și polul compensatorului lead pentru a obține o marjă dorită a fazei de aproximativ 60°.

Pentru a adăuga un compensator lag, alegeți Add Pole/Zero și apoi lag în meniul clic-dreapta pentru diagrama Bode cu buclă-deschisă. Deplasați zero-ul și polul compensatorului lag pentru a obține un unghi de fază dorit de aproximativ -115 ° la frecvența de trecere, care corespunde unei marje de fază de 180° - 115° = 65°.

Cu compensatoarele lead și lag adăugate, locusul rădăcină și diagramele Bode ale sistemului sunt prezentate în figura D.2e. Răspunsul la treaptă în buclă închisă a sistemului este prezentat în figura D.2f.

D.3.2 Control PID cu reglaj controler

Luați în considerare un sistem de control cu feedback-unitate unde calea directă are controllerul și o instalație cu funcție de transfer 1/s(s²+s+4). Se folosește SISO Design Tool din caseta de instrumente MATLAB pentru sisteme de control. Mai întâi, construiți modelul funcției de transfer al sistemului dat (numiți-l Mill).

Acum importați modelul de sistem în Instrumentul de proiectare SISO.

D.3.2.1 Control proporțional

În primul rând, prin încercare și eroare, determinăm câștigul proporțional care va face sistemul stabil marginal. După cum se vede în figura D.3a, când K = 4, marja de câștig este chiar sub 0 dB, ceea ce face ca sistemul să fie instabil. Răspunsul sistemului este arătat în figura D.3b.

Conform setărilor controllerului Ziegler–Nochols, putem alege câștigul proporțional corespunzător ca Kp = 0,5 × 4 = 2. Răspunsul corespunzător al sistemului este prezentat în figura D.3c.

FIGURA D.3 (a) Root Locus și diagrame Bode ale sistemului cu câștig proporțional Kp = 4;
(b) răspunsul la treaptă al sistemului în buclă închisă cu Kp = 4;
(c) răspunsul la treaptă al sistemului în buclă închisă cu Kp = 2

D.3.2.2 Control PI

Rețineți că perioada oscilațiilor (perioada finală) este

Prin urmare, din setările Ziegler–Nichols, avem următoarele setări pentru un controller PI:

Kp = 0,45 × 4 = 1,8
τi = 0,83π = 2,61s

Prin urmare, funcția de transfer a controllerului PI este

Introduceți acest controller în C în instrumentul de proiectare SISO. Diagrama Bode a sistemului corespunzător și răspunsul la treaptă sunt prezentate în Figura D.3d și, respectiv, e.

FIGURA D.3 (continuare) (d) Diagrama Bode a sistemului cu control PI;
(e) răspunsul la treaptă al sistemului cu control PI;
(f) Diagrama Bode a sistemului cu control PID

FIGURA D.3 (continuare) (g) răspunsul la treaptă al sistemului cu control PID

D.3.2.3 Control PID

Din setările Ziegler–Nichols, alegem următorii parametri pentru un controller PID:

Kp = 0,6 × 4 = 2,4
τi = 0,5π = 1,57 s
τd = 0,125π = 0,393 s.

Funcția de transfer corespunzătoare a controllerului PID este

Folosiți rădăcinile funcției MATLAB pentru a calcula rădăcinile polinomului numărător.

Prin urmare, funcția de transfer a controllerului PID este

Introduceți acest controler în C al instrumentului de proiectare SISO. Diagrama Bode corespunzătoare și răspunsul la treaptă al sistemului controlat sunt prezentate în Figurile D.3f și g.

D.3.3 Exemplu de proiectare Root Locus

Considerați un sistem de control (laminor de oțel cu feedback-unitate). Calea directă are un controller reprezentat de câștigul K, un compensator lead (s+z) (s+p) și laminorul a cărei funcție de transfer este 1/ s(s+5). Folosim Instrumentul de proiectare SISO pentru a proiecta un compensator lead adecvat. Mai întâi, construiți modelul funcției de transfer pentru laminor fără filtru:

Apoi, importați modelul de sistem în Instrumentul de proiectare SISO. Root locus și răspunsul la treaptă al sistemului în buclă închisă sunt prezentate în figura D.4a și b. Din figura D.4b, se vede că timpul de vârf și timpul de stabilire de 2% nu corespund specificațiilor de proiectare.

Pentru a adăuga un compensator lead, faceți clic-dreapta în spațiul alb al diagramei root locus. Alegeți Add Pole/Zero și apoi lead în meniul clic-dreapta. Faceți clic-stânga pe diagrama root locus unde dorim să adăugăm compensatorul lead.

Acum trebuie să reglăm polul și zero-ul compensatorului lead și câștigul buclei, astfel încât root locus să treacă prin regiunea de proiectare. Pentru a accelera procesul de proiectare, activați setarea grid pentru diagrama root locus. Liniile radiale sunt linii de raport de amortizare constante, iar curbele semicirculare sunt linii de frecvență naturală neamortizată constante (vezi Capitolul 9).

Pediagrama root locus, trageți polul și zero-ul compensatorului lead (simbol cruce sau cerc pe diagramă), astfel încât root locus să se deplaseze spre regiunea de proiectare. Faceți clic-stânga și mutați polul cu buclă-închisă (casetă pătrată mică) pentru a ajusta câștigul buclei. Pe măsură ce trageți polul cu buclă închisă de-a lungul locus-ului, locația curentă a polului, raportul de amortizare a sistemului și frecvența naturală vor fi afișate în partea de jos a graficului.

Trageți polul cu buclă-închisă în regiunea de proiectare. Compensatorul lead rezultat, câștigul buclei și root locus corespunzător sunt prezentate în figura D.4c. Răspunsul la treaptă al sistemului cu buclă închisă compensată este prezentat în figura D.4d.

FIGURA D.4 (a) Root locus și diagrame Bode ale sistemului laminor fără compensare;
(b) răspunsul la treaptă al sistemului în buclă-închisă fără compensare.

FIGURA D.4 (continuare) (c) root locus al sistemului compensat;
(d) răspunsul la treaptă al sistemului în buclă-închisă compensat