5.1 Ce considerați un dispozitiv de măsurare perfect? Să presupunem că vi se solicită să dezvoltați un dispozitiv analog pentru măsurarea poziției unghiulare într-o aplicație legată de controlul unui sistem de articulație cinematică (de exemplu, un manipulator robotic). Ce evaluări (sau specificații) ale instrumentului considerați cruciale în această aplicație? Discutați semnificația lor.

5.2 Un senzor tactil (atingere distribuită) al dispozitivului de prindere a unui manipulator robot este format dintr-o matrice de elemente de senzor piezoelectric așezate la o distanță de 2 mm. Fiecare element generează o sarcină electrică atunci când este solicitat de o sarcină externă. Elementele senzor sunt multiplexate la viteze foarte mari, pentru a evita scurgerea de sarcină și pentru a citi toate canalele de date folosind un singur amplificator de sarcină de înaltă performanță. Distribuția sarcinii pe suprafața senzorului tactil este determinată din citirile amplificatorului de sarcină, deoarece secvența de multiplexare este cunoscută. Fiecare element senzor poate citi o sarcină maximă de 50 N și poate detecta modificări de sarcină de ordinul 0,01 N.

(a) Care este rezoluția spațială a senzorului tactil?

(b) Care este rezoluția de sarcină (în N/m²) a senzorului tactil? (c) Care este gama dinamică?

5.3 Un parametru util de evaluare pentru un instrument robotic este dexteritatea. Deși nu este completă, o definiție analitică adecvată pentru dexteritatea unui dispozitiv este

dexteritate = numărul de grade de libertate ale rezoluției de mișcare

unde numărul de grade de libertate este egal cu numărul de variabile independente care este necesar pentru a defini complet un increment de poziție arbitrară a instrumentului (adică pentru o schimbare arbitrară în configurația sa cinematică).

(a) Explicați semnificația fizică a dexterității și dați un exemplu de dispozitiv pentru care specificația dexteritate ar fi foarte importantă.

(b) Puterea nominală a unui instrument poate fi definită drept produsul forței maxime care poate fi aplicată de acesta într-un mod controlat și viteza maximă corespunzătoare. Discutați de ce puterea nominală a unui dispozitiv manipulant este de obicei legată de dexteritatea dispozitivului. Schițați o curbă tipică a puterii versus dexteritate.

5.4 Rezoluția unui senzor de feedback (sau rezoluția unei măsurători de răspuns utilizate în feedback) are un efect direct asupra exactității care poate fi obținută într-un sistem de control. Acest lucru este adevărat, deoarece controllerul nu poate corecta o abatere a răspunsului de la valoarea dorită (punct stabilit) decât dacă senzorul de răspuns poate detecta această modificare. Rezultă că rezoluția unui senzor de feedback va guverna banda de abatere posibilă minimă (cea mai bună) (în jurul valorii dorite) a răspunsului sistemului sub controlul feedback-ului. Un servo de poziție unghiulară utilizează un resolver ca senzor de feedback. Dacă oscilațiile vârf-la-vârf ale sarcinii servo-ului (instalației) în condiții de echilibru trebuie limitate la cel mult două grade, care este cea mai slabă rezoluție tolerabilă a resolver-ului? Rețineți că, în practică, senzorul de feedback ar trebui să aibă o rezoluție mai bună (mai mică) decât această valoare cea mai slabă.

5.5 Luați în considerare o componentă mecanică al cărei răspuns x este guvernat de relație f = f(x,ẋ), unde f semnifică forța aplicată (intrare) și ẋ indică viteza. Trei cazuri speciale sunt:

(a) Arc liniar: f = kx

(b) Arc liniar cu un amortizor vâscoz (liniar): f = kx +bẋ

(c) Arc liniar cu frecare Coulomb: f = kx + fc sgn (ẋ)

Să presupunem că în fiecare caz se aplică o excitație armonică de forma f = fo sin ωt. Schițați curbele de deplasare-forță pentru cele trei cazuri în stare de echilibru. Care componente prezintă histerezis? Care componente sunt neliniare? Discutați răspunsurile dvs.

5.6 Discutați despre cum poate fi afectată acuratețea unui controller digital de următoarele:

(a) Stabilitatea și lățimea de bandă a circuitelor amplificatoare

(b) impedanța de sarcină a circuitelor de conversie A/D

De asemenea, ce metode sugerați pentru a reduce la minimum problemele asociate cu acești parametri?

5.7 Luați în considerare tahometrul mecanic prezentat în figura 5.4. Scrieți expresii pentru sensibilitatea și lățimea de bandă pentru dispozitiv. Folosind exemplul, arătați că cele două evaluări ale performanței, sensibilitatea și lățimea de bandă, în general, intră în conflict. Discutați modalități de îmbunătățire a sensibilității acestui tahometru mecanic.

5.8 (a) Ce este un filtru anti-aliasing? Într-o anumită aplicație, semnalul senzorului este eșantionat la fs Hz. Propuneți o frecvență cut-off adecvată pentru un filtru anti-aliasing pentru a fi utilizat în această aplicație.

5.9 (a) Definiți următorii termeni:

• Senzor
• Traductor
• Actuator
• Controller
• Sistem de control
• Lățimea de bandă de operare a unui sistem de control
• Lățimea de bandă de control
• Frecvența Nyquist

(b) Alegeți trei sisteme dinamice practice, fiecare având cel puțin un senzor, un actuator și un controller cu feedback.

(i) Descrieți pe scurt scopul și funcționarea fiecărui sistem dinamic.

(ii) Pentru fiecare sistem, acordați o valoare adecvată pentru lățimea de bandă de operare, lățimea de bandă de control, gama frecvenței de operare a senzorului și rata de eșantionare a semnalului senzorului pentru controlul feedback. Justificați clar valorile pe care le-ați dat.

5.10 Discutați și contrastați următorii termeni:

(a) Acuratețea măsurătorii
(b) Acuratețea instrumentului
(c) Eroarea de măsurare
(d) Precizia

De asemenea, pentru o unitate analogică senzor-traductor, la alegerea dvs., identificați și discutați diverse surse de eroare și modalități de a minimiza sau de a ține cont de influența lor.

5.11 (a) Explicați de ce eroarea de încărcare mecanică datorată inerției tahometrului poate fi semnificativ mai mare atunci când se măsoară viteze tranzitorii decât atunci când se măsoară viteze constante.

(b) Un tahometru DC are o rezistență echivalentă Ra = 20 Ω în înfășurările rotorului său.

Într-un sistem servo de poziție plus viteză, semnalul tahometrului este conectat la un circuit de control cu feedback cu o rezistență echivalentă de 2 kΩ. Estimați eroarea procentuală datorată încărcării electrice a tahometrului în stare constantă.

(c) Dacă condițiile nu ar fi constante, cum ar fi afectată încărcarea electrică în această aplicație?

5.12 Explicați pe scurt ce se înțelege prin termenii eroare sistematică și eroare aleatoare a unui dispozitiv de măsurare. Ce parametri statistici pot fi folosiți pentru a cuantifica aceste două tipuri de eroare? Afirmați, dând un exemplu, modul în care precizia este legată de eroare.

FIGURA P5.13 Patru seturi de măsurători pe aceeași variabilă de răspuns
folosind senzori diferiți.

5.13 Patru seturi de măsurători au fost luate pe aceeași variabilă de răspuns a unui proces folosind patru senzori diferiți. A fost cunoscută valoarea adevărată a răspunsului ca fiind constantă. Să presupunem că cele patru seturi de date sunt așa cum se arată în figura P5.13a până la d. Clasificați aceste seturi de date și, prin urmare, senzorii corespunzători, în raport cu precizia și acuratețea deterministă (repetabilă).

5.14 (i) Discutați pe scurt orice conflicte care pot apărea în specificarea parametrilor care pot fi folosiți pentru a reprezenta predominant viteza de răspuns și gradul de stabilitate al unui proces (instalație).

(ii) Luați în considerare un dispozitiv de măsurare care este conectat la o instalație pentru controlul feedback.

Explicați semnificația următoarelor:

(a) Lățime de bandă
(b) Rezoluție
(c) Linearitate
(d) impedanța de intrare
(e) impedanța de ieșire a dispozitivului de măsurare în performanța sistemului de control cu feedback

5.15 Considerați sistemul de control al vitezei prezentat schematic în figura P5.15. Presupuneți că instalația și controllerul împreună sunt aproximate prin funcția de transfer

Gp(s) = k/(τps +1), unde τp este constantă de timp a instalației.

(a) Dați o expresie pentru lățimea de bandă ωp a instalației fără feedback.

(b) Dacă tahometrul de feedback este ideal și este reprezentat de un feedback unitar (negativ), care este lățimea de bandă ωc a sistemului de control cu feedback?

(c) Dacă tahometrul de feedback poate fi reprezentat prin funcția de transfer Gs(s) = 1/(τss + 1), unde τs este constantă de timp a senzorului, explicați de ce lățimea de bandă ωcs a sistemului de control cu feedback este dată de cea mai mică cantitate de 1/τs și (k+1)/(τp+τs). Presupunem că atât τp cât și τs sunt suficient de mici.

FIGURA P5.15 Un sistem de control al vitezei

În continuare, presupuneți că aproximativ τp = 0,016 s. Estimați o lățime de bandă suficientă în Hz pentru tahometru. De asemenea, dacă k = 1, estimați lățimea totală de bandă a sistemului de control cu feedback. Dacă k = 49, care ar fi lățimea reprezentativă de bandă a sistemului de control cu feedback?

Pentru tahometrul AC particular (cu valoarea lățimii de bandă, așa cum este aleasă în exemplul numeric actual), care ar trebui să fie frecvența semnalului purtător? De asemenea, care ar trebui să fie frecvența cut-off a filtrului trece-jos care este utilizat cu circuitul său demodulator?

5.16 Folosind metoda SRSS pentru combinarea erorilor, determinați eroarea fracțională în fiecare componentă xi astfel încât contribuția de la fiecare componentă la eroarea generală eSRSS să fie aceeași.

5.17 Un model cu un singur grad de libertate al unui manipulator robot este prezentat în Figura P5.17a.

Motorul articulației are inerția rotorului Jm. El acționează o sarcină inerțială care are moment de inerție Jl printr-un reductor de viteză cu raportul de viteză 1: r (Notă: r < 1). Schema de control folosită în acest sistem este așa-numita metodă de control feedforward (strict, control cu cuplu-calculat). Mai exact, cuplul motor Tm care este necesar pentru accelerarea sau frânarea sarcinii este calculat folosind un model dinamic adecvat și un traseu de mișcare dorit pentru manipulator, iar înfășurările motorului sunt excitate astfel încât să genereze acel cuplu. O traiectorie tipică ar consta dintr-un segment de accelerație unghiulară constantă, urmat de un segment de viteză unghiulară constantă și în final un segment de frânare constantă, așa cum se arată în figura P5.17b.

FIGURA P5.17 (a) Un model cu un singur grad de libertate al unui manipulator robot și
(b) o traiectorie tipică de viteză de referință (dorită) pentru controlul cuplului calculat.

(a) Neglijând frecarea (frecare de rulment îndeosebi) și inerția reductorului de viteză, arătați că un model dinamic de calcul a cuplului pe durata segmentelor de accelerare și frânare ale traiectoriei de mișcare ar fi Tm = (Jm +r²Jl)θl¨/r, unde θl¨ este accelerația unghiulară a sarcinii, denumită în continuare αl.

Arătați că sistemul general poate fi modelat ca o singură inerție care se rotește la viteza motorului. Folosind acest rezultat, discutați efectul angrenajului pe o acționare mecanică.

(b) Având dat r = 0,1, Jm = 0,1 kg m², Jl = 1,0 kg m² și αl = 5,0 rad/s², estimați eroarea admisibilă pentru aceste patru cantități, astfel încât eroarea combinată în cuplul calculat să fie limitată la ± 4% și astfel încât fiecare din cele patru cantități contribuie în mod egal la această eroare în Tm calculat. Utilizați metoda valorii absolute pentru combinarea erorilor.

(c) Aranjați cele patru cantități r, Jm, Jl și αl în ordinea descrescătoare a acurateței necesare pentru valorile numerice date în problemă.

(d) Să presupunem că Jm = r²Jl. Discutați efectul erorii în r asupra erorii din Tm.

5.18 Un actuator (de exemplu, motor electric, cilindru-piston hidraulic) este utilizat pentru a acționa un dispozitiv terminal (de exemplu, gripper, mână, încheietura cu respectarea centrului activ de la distanță) a unui manipulator robot. Dispozitivul terminal funcționează ca un generator de forță. În figura P5.18 este prezentată o diagramă bloc pentru sistem. Arătați că eroarea de deplasare ex este legată de eroarea de forță ef prin

Se știe că actuatorul este 100% exact în scopuri practice, dar există o eroare de poziție inițială δxo (la x = xo). Obțineți o relație de transfer adecvată f(x) pentru dispozitivul terminal, astfel încât eroarea de forță ef să rămână constantă pe întreaga gamă dinamică a dispozitivului.

FIGURA P5.18 Diagrama bloc pentru un dispozitiv terminal al unui manipulator robot

5.19 (a) Explicați în mod clar de ce metoda SRSS de combinare a erorilor este preferată metodei „Absolute” atunci când se presupune că parametrii de eroare sunt Gaussiani și independenți.

(b) Generatoarele de impulsuri hidraulice (HPG) pot fi utilizate într-o varietate de aplicații, cum ar fi sablarea rocilor, acționarea proiectilelor și generarea de semnal seismic. Într-un HPG obișnuit, apa la presiune foarte mare este furnizată intermitent de la un acumulator în pistolul de descărcare printr-o supapă de control de mare viteză. Jetul de apă pulsat este descărcat printr-un tub de șoc și poate fi utilizat, de exemplu, pentru sablare de granit. Un model pentru un HPG a fost găsit a fi

unde
E este energia impulsului hidraulic (kJ)
V este volumul sarcinii explozive (m³)
a, b și c sunt parametri de model care pot fi determinați experimental

Să presupunem că acest model este utilizat pentru a estima volumul de explozie de material (V) pentru o cantitate specifică de energie a impulsului (E).

(i) Presupunând că valorile erorii de estimare în parametrii modelului a, b și c sunt independente și pot fi reprezentate prin abateri standard corespunzătoare, obțineți o ecuație ce leagă aceste erori fracționate ea, eb și ec, de eroarea fracțională ev a volumului de explozie estimat.

(ii) Presupunând că a = 2175,0, b = 0,3 și c = 0,07 cu unități adecvate, arată că o energie a impulsului de E = 219,0 kJ poate exploda un volum de material de aproximativ 0,63 m³. Dacă ea = eb = ec = ± 0,1, estimați eroarea fracțională ev a acestui volum prevăzut.

5.20 Metoda absolută de combinare a erorilor este potrivită atunci când contribuțiile de eroare sunt aditive (același semn). În ce circumstanțe ar fi metoda SRSS mai potrivită decât metoda absolută?

În figura P5.20 este prezentată o diagramă bloc simplificată a unui sistem de control al turației motorului DC. Arătați că în domeniul Laplace, eroarea fracțională ey în viteza motorului y este dată de

unde
eτ este eroarea fracțională în constanta de timp τ
ek este eroarea fracțională în câștigul cu buclă-deschisă k

Comanda vitezei de referință u se presupune că nu are erori. Exprimați relația de combinare a erorilor absolute pentru acest sistem în domeniul-frecvență (s = jω). Folosind-o, arătați următoarele:

(a) La frecvențe joase, contribuția din eroarea în k va domina și eroarea poate fi redusă prin creșterea câștigului.

(b) La frecvențe înalte, k și τ vor aduce contribuții egale către eroarea de viteză și eroarea nu poate fi redusă prin creșterea câștigului.

FIGURA P5.21 O mașină de turnat țagle din oțel.

5.21 (a) Comparați și contrastați „metoda de eroare absolută” cu/împotriva SRSS în analiza combinației de erori a sistemelor multicomponent. Indicați situațiile în care o metodă este preferată față de cealaltă.

(b) Figura P5.21 prezintă o diagramă bloc a unei mașini care este utilizată pentru producerea de țagle din oțel. Oțelul topit în container (denumit „pâlnie”) este turnat în matrița de cupru având o secțiune transversală dreptunghiulară. Matrița are o manta de oțel cu canale pentru a transporta apa de răcire în sus în jurul matriței de cupru. Matrița, care este lubrifiată în mod corespunzător, este oscilată folosind un agitator (electromecanic sau hidraulic) pentru a facilita decaparea oțelului solidificat în interiorul acestuia. Un set de role de fricțiune acționate cu putere este utilizat pentru a asigura forța de retragere pentru livrarea șuviței de oțel solidificat la stația de tăiere. Un tăietor de țaglă (tip torță sau forfecare) este utilizat pentru a tăia șuvița în țagle de lungime corespunzătoare.

Calitatea țaglelor de oțel produse de această mașină este determinată pe baza mai multor factori, care includ diferite tipuri de fisuri, probleme de deformare, cum ar fi romboiditatea și semne de oscilație. Se știe că poate fi îmbunătățită calitatea printr-un control adecvat al următoarelor variabile:

Q este debitul de răcire (apă)
v este viteza șuviței de oțel (viteza de extragere)
s este cursa oscilațiilor matriței
f este frecvența ciclică a oscilațiilor matriței

În mod special, aceste variabile sunt măsurate și transmise controllerului central al mașinii de turnare a țaglelor, care la rândul său generează comenzi de control corespunzătoare pentru controllerul supapei de răcire, controlerul de acționare al rolelor de extragere și controllerul agitator.

Un indice de calitate adimensional q a fost exprimat în termeni de variabile măsurate ca

în care so, fo și β sunt parametrii de operare ai sistemului de control și sunt cunoscuți exact. În condiții normale de funcționare, următoarele condiții sunt (aproximativ) satisfăcute: Q ≈ βv; f ≈ fo; s ≈ so.

Notă: Dacă citirile senzorului sunt incorecte, sistemul de control nu va funcționa corect și calitatea țaglelor se va deteriora. Se propune să se utilizeze „metoda de eroare absolută” pentru a determina influența erorilor senzorului asupra calității țaglei.

(i) Obțineți o expresie pentru deteriorarea calității δq în raport cu erorile fracționale δv/v, δQ/Q, δs/s și δf/f din citirile senzorului.

(ii) Dacă se cunoaște că senzorul de viteză a șuviței are o eroare de ± 1%, determinați procentele de eroare admise pentru ceilalți trei senzori, astfel încât să existe o contribuție egală de eroare la indicele de calitate din toți cei patru senzori, în condiții normale de operare.

5.22 Luați în considerare sistemul de control servo care este modelat ca în figura P5.20. Rețineți că k este câștigul echivalent și τ este constanta de timp totală a motorului și controllerului său.

(a) Obțineți o expresie pentru funcția de transfer cu buclă-închisă y/u.

(b) În domeniul-frecvență, arătați că pentru o contribuție egală a erorii de parametru către răspunsul sistemului, ar trebui să avem

unde erorile fracționare (sau variațiile) sunt pentru câștig, ek = |δk/k|; iar pentru constanta de timp, eτ = |δτ/τ|.

Folosind această relație, explicați de ce la frecvențe joase sistemul de control are o toleranță mai mare la eroare în τ decât la cea în k. Arătați, de asemenea, că la frecvențe foarte înalte cele două nivele de toleranță la erori sunt aproape egale.

5.23 Sistemul de control al calității într-un laminor de oțel folosește un senzor de proximitate pentru a măsura grosimea oțelului laminat (jgheab de oțel) la fiecare 2 ft de-a lungul foii, iar reglajele de control ale laminorului sunt efectuate pe baza ultimelor 20 de măsurători. Specific, controllerul nu este reglat dacă probabilitatea ca grosimea medie să se încadreze în ± 1% din media eșantionului depășește 0,99. Un set tipic de 20 de măsurători în milimetri este următorul:

Verificați dacă s-ar face ajustări în controllerul de măsurare pe baza acestor măsurători.

FIGURA P5.24 Un pendul inversat controlat prin microprocesor - o aplicație de SPC

5.24 Dinamica și controlul sistemelor nestabile inerent, cum ar fi rachetele, pot fi studiate experimental folosind modele fizice simple la scară redusă ale sistemelor de prototipuri. Un astfel de studiu este problema clasică a pendulului inversat. În figura P5.24 este prezentată o configurație experimentală pentru pendulul inversat. Pendulul inversat este sprijinit pe un cărucior care este acționat pe o masă de-a lungul unei linii drepte folosind o transmisie cu lanț și pinion, acționată de un motor DC. Motorul este rotit prin comenzi de la un microprocesor care este interfațat cu sistemul de acționare al motorului. Poziția unghiulară a tijei pendulului este măsurată cu ajutorul unui resolver și este transmisă (înapoi) către microprocesor. O strategie a SPC este utilizată pentru echilibrarea tijei pendulului. Specific, limitele de control sunt stabilite dintr-un set inițial de probe de măsurare a unghiului pendulului. Ulterior, dacă unghiul depășește o limită de control, căruciorul este accelerat în direcția opusă folosind o comandă automată a motorului. Limitele de control sunt, de asemenea, actualizate în mod regulat. Să presupunem că următoarele 20 de citiri ale unghiului pendulului au fost măsurate (în grade) după ce sistemul a funcționat câteva minute:

Stabiliți dacă sistemul a fost în control statistic în perioada în care au fost luate citirile. Comentați această metodă de control.

5.25 (a) Trebuie să selectați un senzor pentru o aplicație de control de poziție. Enumerați câteva considerente importante de care trebuie să țineți cont în această selecție. Indicați pe scurt de ce este importantă fiecare dintre ele.

(b) O diagramă bloc a unui cuptor de rafinare așchii, utilizat în industria de celuloză și hârtie, este prezentată în figura P5.25. Această mașină se folosește pentru defibrarea mecanică a așchiilor de lemn. Rafinatorul are un disc fix și un disc rotativ (diametru tipic=2m). Placa este rotită de un motor AC cu inducție. Separarea plăcilor (interstițiu tipic = 0,5 mm) este controlată cu ajutorul unui actuator hidraulic (unitate piston-cilindru cu servovalvă). Așchiile de lemn sunt furnizate ochiului rafinatorului printr-un șurub transportor și sunt diluate cu apă. Pe măsură ce placa de rafinare se rotește, așchiile sunt transformate în celuloză în interiorul canelurilor interne ale plăcilor. Aceasta este însoțită de generarea de aburi datorită disipației de energie. Celuloza este extrasă și prelucrată ulterior pentru fabricarea hârtiei.

FIGURA P5.25 Un rafinator de cipsuri cu un singur disc.

O formulă empirică referitoare la interstițiul (gap) plăcilor (h) și cuplul motor (T) este dată de T = ah/(1 + bh²) cu parametrii modelului a și b cunoscuți ca fiind pozitivi.

(i) Schițați curba T față de h. Exprimați cuplul maxim Tmax și interstițiul plăcii (h0) la acest cuplu doar din punct de vedere a și b.

(ii) Presupuneți că se măsoară cuplul motorului și că interstițiul plăcilor este reglat de actuatorul hidraulic conform formulei de mai sus. Arătați că eroarea fracțională în h poate fi exprimată ca

unde eT, ea și eb sunt erorile fracționate în T, a și, respectiv, b, ultimele două fiind reprezentative pentru eroarea de model.

(iii) Regiunea normală de operare a rafinatorului corespunde lui h > ho. Intervalul 0 < h < ho este cunoscut sub numele de „regiunea de colapsare a padului” și trebuie evitat. Dacă valoarea de operare a interstițiului plăcilor este h = 2/√b și dacă valorile erorilor sunt date ca eT = ± 0,05, ea = ± 0,02 și eb = ± 0,025, calculați eroarea corespunzătoare în estimarea interstițiului plăcilor.

(iv) Discutați de ce operarea la h = 1/√b nu este de dorit.