Am observat că abordările funcției de transfer sunt mai convenabile decât abordările ecuației diferențiale în tratarea sistemelor liniare. Acest lucru provine în principal din faptul că abordările funcției de transfer utilizează algebra și nu analiza matematică. De asemenea, am observat că, atunci când avem de-a face cu circuite (în particular, circuite de impedanță și mobilitate), abordările funcției de transfer sunt destul de naturale. Deoarece abordările de circuit sunt utilizate pe scară largă în sistemele electrice și, în consecință, sunt disponibile proceduri destul de mature în acest context, este util să se ia în considerare extinderea acestor abordări la sistemele mecanice (și, prin urmare, la sisteme electromecanice și mecatronice). În special, reducerea circuitului este convenabilă folosind echivalența Thevenin și echivalența Norton pentru circuitele electrice. În particular, grafurile liniare pot fi simplificate prin utilizarea abordărilor funcției de transfer (domeniul-frecvență) și reducerea circuitului.

3.8.1 Teorema lui Thevenin pentru circuite electrice

Teorema lui Thevenin oferă o abordare puternică pentru a reduce un segment de circuit complex într-o reprezentare echivalentă mai simplă. Două tipuri de circuite echivalente sunt generate de această teoremă:

1. Circuitul echivalent Thevenin (constă dintr-o sursă de tensiune și o impedanță Ze, în serie)

2. Circuitul echivalent Norton (constă dintr-o sursă de curent și o impedanță Ze, în paralel)

Teorema oferă mijloace pentru a determina sursa echivalentă și impedanța echivalentă pentru oricare dintre aceste două circuite echivalente.

Considerați un segment (destul de complex) al unui circuit, format din impedanțe și elemente sursă, ca în figura 3.31a. Conform teoremei Thevenin, acest segment de circuit poate fi reprezentat de circuitul echivalent Thevenin, ca în figura 3.31b sau de circuitul echivalent Norton, ca în figura 3.31c, astfel încât, pentru oricare circuit echivalent, tensiunea v și curentul i sunt identice cu cele de la portul de ieșire al segmentului de circuit considerat.

Notă: Segmentul de interes al circuitului (figura 3.31a) este izolat prin „tăierea” virtuală (separarea) a unui circuit complex în segment complex de interes și un segment destul de simplu (și pe deplin cunoscut) conectat la segmentul complex. Tăierea „virtuală” se face la cele două terminale corespunzătoare care leagă cele două părți ale circuitului. Cele două capete terminale formate prin tăierea virtuală constituie portul de ieșire „virtual” al segmentului de circuit izolat. De fapt, aceste terminale nu sunt în stare de circuit deschis, deoarece tăierea este „virtuală” și un curent curge prin ele.

FIGURA 3.31 (a) Segment de circuit cu impedanțe și surse;
(b) Circuitul echivalent Thevenin; (c) Circuitul echivalent Norton.

V(s) = Tensiune pe bornele tăiate atunci când întregul circuit este complet
I(s) = Curent prin bornele tăiate atunci când întregul circuit este complet
Voc(s) = Tensiune în circuit deschis la bornele tăiate
ISC(s) = Curent de scurtcircuit la bornele tăiate (adică, curent prin terminalele scurtcircuitate)
Ze = impedanța echivalentă a segmentului de circuit cu sursa tăiată (adică, sursele de tensiune scurtcircuitate și sursa de curent deschisă) = rezistența Thevenin

Nota 1: Variabilele sunt exprimate în Laplace (sau domeniul-frecvență) folosind variabila Laplace s.

Nota 2: Pentru un segment de circuit cu mai multe surse, utilizați suprapunerea (sistem liniar), luând o sursă la un moment.

Exemplul 3.8: Exemplu ilustrativ pentru teorema lui Thevenin

Ca de obicei, vom folosi impedanțe electrice, în domeniul Laplace. Considerați circuitul din figura 3.32a. L-am tăiat după cum este indicat de linia punctată și determinăm circuitele echivalente Thevenin și Norton pentru porțiunea din partea stângă.

Determinarea impedanței echivalente Ze

Mai întâi scoatem cele două surse (adică, deschidem sursa de curent și scurtcircuităm sursa de tensiune, astfel încât semnalele sursei să devină zero). Circuitul rezultat este prezentat în figura 3.32b.

Rețineți elementul serie și două elemente paralele. Deoarece impedanțele se adună în serie și invers în paralel, avem

Determinarea lui Voc(s) pentru circuitul echivalent Thevenin

Găsim tensiunea circuitului în gol folosind o singură sursă la un moment dat, apoi utilizăm principiul suprapunerii pentru a determina tensiunea generală a circuitului deschis.

(a) Doar cu sursa de curent I(s)

Circuitul cu numai sursa de curent (sursa de tensiune scurtcircuitată) este prezentat în figura 3.32c. Curentul sursei trece doar prin cele două elemente paralele, a căror impedanță echivalentă este ZRZC/ZR+ZC. Prin urmare, tensiunea pe ea, care este, de asemenea, tensiunea în circuit deschis (deoarece niciun curent și, prin urmare, nici o cădere de tensiune pe inductor), este dată de

(b) Doar cu sursa de tensiune V(s)

Circuitul doar cu sursa de tensiune (adică deschideți sursa de curent) este prezentat în figura 3.32d. Căderea de tensiune pe R ar trebui să fie egală cu cea pe C și, prin urmare, curenții din aceste două elemente trebuie să fie în aceeași direcție. Însă, suma curenților prin aceste elemente paralele trebuie să fie zero, din ecuația nodului (deoarece curentul în circuit deschis este zero). Prin urmare, fiecare curent trebuie să fie zero, iar tensiunile VR și VC trebuie să fie zero. Mai mult, datorită circuitului deschis, tensiunea VL pe inductor trebuie să fie zero. Atunci din ecuația de buclă, avem

FIGURA 3.32 (a) Un circuit de impedanță electrică; (b) circuitul cu sursele tăiate;
(c) circuit numai cu sursă de curent; (d) circuit numai cu sursă de tensiune;
(e) Circuitul echivalent Thevenin; (f) circuit numai cu sursă de curent;
(g) circuit numai cu sursă de tensiune; (h) Circuitul echivalent Norton.

Rețineți direcția pozitivă a căderii de potențial pentru tensiunea în circuit deschis, ca necesară pentru sursa de tensiune echivalentă Thevenin.

Prin suprapunere, tensiunea totală a circuitului deschis este

Circuitul echivalent Thevenin rezultat este prezentat în figura 3.32e.

Determinarea ISC(s) pentru circuitul echivalent Norton

Am găsit curentul de scurtcircuit luând o singură sursă la un moment dat, apoi folosind principiul suprapunerii.

(a) Doar cu sursa de curent I(s)

Circuitul doar cu sursa de curent (sursa de tensiune scurtcircuitată) este prezentat în figura 3.32f. Curentul sursei trece prin cele trei elemente paralele, iar curenții sunt împărțiți invers cu impedanțele respective. Prin urmare, curentul prin inductor este (observați direcția pozitivă așa cum este marcată, pentru sursa de curent echivalentă Norton)

(b) Doar cu sursa de tensiune V(s)

Circuitul doar cu sursa de tensiune (sursa de curent deschisă) este prezentat în figura 3.32g.

Rețineți din circuit cum curentul de scurtcircuit este curentul care curge prin impedanța generală a circuitului (inductor în serie și o combinație de rezistor și condensator în paralel). În funcție de polaritatea sursei de tensiune, acest curent este în direcția opusă direcției pozitive marcate în figura 3.32g. Avem

Prin suprapunere, curentul general de scurtcircuit este

Circuitul Norton echivalent rezultat este prezentat în figura 3.32h.

3.8.2 Analiza circuitului mecanic folosind grafuri liniare

Pentru extinderea analizei circuitului echivalent la sisteme mecanice, folosim analogia forță-curent în care impedanța electrică este analoagă mobilității mecanice (funcții de transfer tip-A), iar admitanța electrică este analoagă impedanței mecanice (funcții de transfer tip-T). Această analogie este rezumată în tabelul 3.9.

TABEL 3.9 Analogia funcțiilor de transfer mecanice și electrice

În consecință, următoarele două etape fac reducerea unui graf liniar, în domeniul-frecvență:

1. Pentru fiecare ramură a grafului liniar marcați funcția mobilitate (nu impedanța mecanică).

2. Efectuați o analiză și o reducere liniară a grafului ca și cum avem de-a face cu un circuit electric, având în vedere analogia din tabelul 3.9.

În particular, facem următoarele:

1. Pentru ramurile paralele, mobilitățile sunt combinate prin relație inversă (M = (M1M2)/(M1+M2)). Notă: Viteza este comună; forța este împărțită invers la mobilitățile ramurilor.

2. Pentru ramurile serie, mobilitățile se adună (M = M1+M2). Notă: Forța este comună; viteza este divizată proporțional cu mobilitate.

3. Tăierea unei surse de forță înseamnă circuitul deschis al acesteia (deci, forța transmisă = 0).

4. Tăierea unei surse de viteză înseamnă scurtcircuitul acesteia (deci, viteza across = 0).

Exemplul 3.9

Figura 3.33 prezintă un model simplificat al unui vehicul cu un scaun care este ocupat de un pasager. Caroseria vehiculului (cu excepția scaunului) este reprezentată de o masă concentrată mv, iar suspensia și anvelopele vehiculului sunt reprezentate de un arc de rigiditate kv și un amortizor vâscos cu constanta de amortizare bv. Masa scaunului și a ocupantului său este ms. Interfața dintre scaun și corpul vehiculului este reprezentată de un arc de rigiditate ks și un amortizor vâscoz cu constanta de amortizare bs. Forța generată de motor, care se exercită asupra corpului motorului, este notată cu f(t). Aceasta este o intrare în sistem. Profilul rutier aplică o viteză v(t) vehiculului pe direcția verticală, când este condus de-a lungul drumului. Aceasta este a doua intrare în sistem.

FIGURA 3.33 Model de vehicul în mișcare, cu un scaun ocupat de un pasager,
pentru analiza calității călătoriei

Se dorește să se determine:

(a) Răspunsul de viteză verticală vp al scaunului

(b) Forța verticală fs transmisă la scaun prin intermediul interfeței sale de sprijin

în domeniul-frecvență, ca urmare a celor două intrări (f și v) aplicate simultan. Efectuați următorii pași pentru determinarea acestor două variabile în domeniul-frecvență:

1. Desenați graful liniar al sistemului și marcați funcțiile de mobilitate pentru toate ramurile (cu excepția elementelor sursă).

2. Simplificați graful liniar combinând ramuri după caz ​​(ramuri serie: adunați mobilități; ramuri paralele: se aplică regula inversă pentru mobilități) și marcați pe graful liniar simplificat mobilitățile ramurilor combinate.

3. Pe baza celor două obiective ale problemei (adică (a) pentru a determina răspunsul de viteză verticală vp a scaunului și (b) forța verticală fs transmisă scaunului prin interfața de sprijin) să se determine ce parte a circuitului (graf liniar) trebuie tăiat, pentru aplicarea teoremei Thevenin (Notă: variabila care trebuie determinată în problema particulară trebuie asociată cu partea din circuit care este tăiată).

4. Pe baza obiectivului fiecărei probleme (a) sau (b), stabiliți dacă este necesară echivalența Thevenin sau echivalența Norton (în mod specific: utilizați echivalența Thevenin dacă trebuie determinată o variabilă through, deoarece aceasta oferă două elemente în serie) cu o variabilă through comună; utilizați echivalența Norton dacă trebuie determinată o variabilă across, deoarece aceasta dă două elemente paralele cu o variabilă across comună).

5. Determinați sursele și mobilitățile echivalente ale circuitelor echivalente pentru cele două probleme.

6. Utilizarea celor două circuite echivalente determină cele două variabile de interes.

7. Examinați rezultatele pentru a stabili modalități de reducere a mărimilor celor două variabile, după cum este necesar pentru a îmbunătăți calitatea rulării.

Notă: neglijați efectele gravitației (de exemplu, presupunem că sistemul este orizontal).

Soluţie

Partea 1:

Graful liniar al sistemului este prezentat în figura 3.34a. Rețineți semnul negativ pentru forța motorului, conform cu direcția pozitivă indicată în graful liniar.

Partea 2:

Graful liniar redus, care se obține prin combinarea ramurilor paralele ale arcului și amortizorului este prezentat în figura 3.34b. Rețineți că ramurile de intrare (sursă) și ramurile de ieșire (răspunsul care trebuie determinat) nu trebuie combinate în reducerea grafului liniar.

Partea 3:

Ramura care trebuie tăiată, în aplicarea teoremei lui Thevenin, este indicată de bucla cu linie ruptă din figura 3.34b. Rețineți că această tăietură este potrivită pentru determinarea ambelor ieșiri Fs și Vp.

Partea 4:

Circuitul echivalent Norton este convenabil atunci când se determină Vp, care este o variabilă across. Circuitul echivalent Thevenin este convenabil atunci când se determină Fs, care este o variabilă through.

Părțile 5 și 6:

(a) Determinarea lui Vp

Circuitul echivalent Norton necesar este prezentat în figura 3.34c. Trebuie să determinăm mobilitatea echivalentă Me a circuitului (cu ramura tăiată înlăturată) după eliminarea celor două elemente sursă și sursa de forță echivalentă Fsc, care este forța de scurtcircuit cu bornele tăiate scurtcircuitate.

FIGURA 3.34 (a) Graful liniar al sistemului; (b) graful liniar redus cu ramura care trebuie tăiată indicată;
(c) Circuitul echivalent Norton; (d) determinarea mobilității echivalente; (e) forța de scurtcircuit doar cu sursa de forță;
(f) forța de scurtcircuit doar cu sursa de viteză; (g) Circuitul echivalent Thevenin al circuitului echivalent Norton;
(h) Circuitul echivalent Thevenin (continuare)

FIGURA 3.34 (continuare) (i) viteza circuitului deschis doar cu sursa de forță;
(j) viteza circuitului deschis doar cu sursa de viteză

Mobilitatea echivalentă Me este determinată folosind figura 3.34d. Din figura 3.34d se vede că:

Acum, sursa de forță echivalentă este determinată folosind supapunerea cu cele două elemente sursă separat (deoarece sistemul este liniar), după cum urmează:

(i) Doar cu sursa de forță

Circuitul corespunzător este prezentat în figura 3.34e.

Forța este împărțită proporțional cu impedanțele din ramurile paralele. De aici, din Figura 3.34e obținem

(ii) Doar cu sursa de viteză

Circuitul corespunzător este prezentat în figura 3.34f.

Forța este împărțită proporțional cu impedanțele din ramurile paralele. De aici, din Figura 3.34 dacă obținem

Prin suprapunere,

În acest moment, următorul rezultat (partea (b)) poate fi obținut prin simpla faptă

Primim

În mod alternativ, abordarea formală a utilizării circuitului echivalent Thevenin pentru a determina variabila through Fs este prezentată în continuare prin utilizarea unei abordări de tăiere-scurtă și a unei abordări mai elaborate.

(b1) Determinarea Fs (abordare scurtă)

Aici folosim circuitul echivalent Thevenin al circuitului echivalent Norton, anterior stabilit, așa cum este prezentat în figura 3.34g.

Avem

Acesta este identic cu rezultatul obținut din rezultatul anterior.

Abordarea formală (lungă) a obținerii aceluiași rezultat este dată în continuare.

(b2) Determinarea Fs (abordare formală)

Aici, folosim circuitul echivalent Thevenin prezentat în figura 3.34h pe cale formală pornind de la tăierea de ramură prezentată în figura 3.34b. Notă: Aceeași tăietură (a se vedea figura 3.34b) ca pentru circuitul echivalent Norton este adecvată aici, deoarece variabila de determinat (Fs) este asociată cu această tăietură.

În mod clar, mobilitatea echivalentă Me este aceeași cu cea pentru circuitul echivalent Norton. Avem (vezi Ecuația (i))

Sursa echivalentă de viteză VOC este determinată folosind suprapunerea cu cele două elemente sursă originale (sursa forță și sursa viteză) separat (deoarece sistemul este liniar), după cum urmează:

(i) Doar cu sursa forță

Circuitul corespunzător este prezentat în figura 3.34i. Din figura 3.34i, obținem

(ii) Doar cu sursa viteză

Circuitul corespunzător este prezentat în figura 3.34j. Din figura 3.34j, obținem

Prin suprapunere,

Acum, din figura 3.34h obținem

Rețineți din rezultatele (ii) și (v) că

Înlocuiți (vii) în (vi) pentru a obține rezultatul obținut anterior:

Partea 7:

Înlocuiți (v) și (i) în (vi) și vezi (iv). Avem

Se observă că, în generarea atât Fs cât și Vp, forțele de excitație (două semnale sursă) trebuie să treacă prin factorul de amplificare comun:

Acest factor de amplificare A trebuie redus la minimum pentru a obține o calitate bună a deplasării. Aceasta este o problemă oarecum complexă. Dar, examinând (x) este clar că, drept ghid general, trebuie să încercați să reduceți parametrii de suspensie bs și ks și să creșteți parametrii vehiculului mv, bv și kv.

Rezumatul abordării Thevenin pentru circuite mecanice

Rezumăm acum pașii generali în aplicarea teoremei lui Thevenin la circuite mecanice care sunt reprezentate prin grafuri liniare, în domeniul Laplace/frecvență.

Pași generali

1. Desenați graful liniar pentru sistem și marcați funcțiile de mobilitate pentru toate ramurile (cu excepția elementelor sursă).

2. Simplificați graful liniar combinând ramuri după caz ​​(ramuri serie: adunați mobilități; ramuri paralele: se aplică regula inversă pentru mobilități) și marcați mobilitățile ramurilor combinate.

3. În funcție de obiectivul problemei (de exemplu, determinați o anumită forță, viteză, funcție de transfer) determinați ce parte a circuitului (graf liniar) ar trebui să fie tăiat (adică, variabila sau funcția de interes ar trebui să fie asociată cu partea care este scoasă din circuit) astfel încât circuitul echivalent al părții rămase trebuie să fie determinat.

4. În funcție de obiectivul problemei, stabiliți dacă este necesară echivalența Thevenin sau echivalența Norton (în special: utilizați echivalența Thevenin dacă trebuie determinată o variabilă through, deoarece aceasta oferă două elemente serie cu o variabilă through comună. Utilizați echivalența Norton dacă trebuie determinată o variabilă across, deoarece aceasta oferă două elemente paralele cu o variabilă across comună).

5. Determinați sursa echivalentă și mobilitatea circuitului echivalent.

6. Folosind circuitul echivalent determinați variabila sau funcția de interes.

3.9 Diagrame bloc