Răspunsul stabil este o cerință pentru orice sistem de control. El asigură că răspunsul natural la o excitație de stare inițială nu crește fără limite (sau, mai preferabil, revine înapoi la starea inițială) și răspunsul la o excitație de intrare (care în sine este delimitat) nu duce la un răspuns nelimitat. Stabilitatea asimptotică și stabilitatea BIBO (bounded-input–bounded-output) sunt relevante în acest context. La proiectarea unui sistem de control, nivelul cerut de stabilitate poate fi specificat în mai multe moduri, atât în ​​domeniul- timp cât și în domeniul-frecvență. Câteva moduri de specificare a performanței în raport cu stabilitatea în domeniul-timp au fost introduse anterior. Prezenta secțiune revine la subiectul stabilității, în domeniile-timp și -frecvență. Metoda Routh-Hurwitz, metoda locului geometric al rădăcinilor (root locus) și metodele diagramelor Nyquist și Bode care încorporează marjele de câștig și fază sunt introduse pentru analiza stabilității sistemelor liniare invariante în timp (LTI).

Ecuația caracteristică a unui sistem de ordinul al n-lea poate fi exprimată ca:

Aceasta este, de asemenea, numitorul funcției de transfer a sistemului atunci când este egalată cu zero. Aceasta are n rădăcini, care sunt polii (sau valori proprii=eigenvalue) sistemului. Dacă o rădăcină a ecuației caracteristice (pol) are o parte imaginară, atunci acel pol produce un răspuns natural oscilator (sinusoidal) în sistem. De asemenea, dacă partea reală este negativă, el generează o scădere exponențială și dacă partea reală este pozitivă, generează o creștere exponențială (sau, un răspuns instabil). Aceste observații sunt rezumate în tabelul 9.6 și ilustrate în continuare în figura 9.11.

TABEL 9.6 Dependența răspunsului natural de polii sistemului

FIGURA 9.11 Locația polului pe planul-s și răspunsul corespunzător

Notă: În cazul polilor repetați trebuie să li se acorde o atenție specială. Constantele de integrare vor avea termeni precum t și t² (polinom) în acest caz. Aceștia sunt termeni în creștere (instabili), cu excepția cazului în care sunt însoțiți de termeni exponențiali în scădere care vor contracara creșterea polinomială (deoarece o scădere exponențială este mai puternică decât o creștere polinomială de orice ordin)

9.5.1 Criteriul Routh–Hurwitz

Testul Routh sau criteriul de stabilitate Routh-Hurwitz este o modalitate simplă de a determina dacă un sistem este stabil (adică, dacă niciunul dintre poli nu are părți reale pozitive) prin examinarea polinomului caracteristic, fără a rezolva de fapt ecuația caracteristică pentru rădăcinile sale. Dacă sistemul este instabil, testul Routh ne spune și câți poli sunt pe jumătatea din dreapta a planului (RHP = right half plane); adică numărul de poli instabili. În primul rând, trebuie să se formeze un tablou Routh pentru a efectua testul.

9.5.1.1 Tabloul Routh

Este posibilă determinarea stabilității sistemului fără a găsi de fapt aceste n rădăcini, formând un tablou Routh din ecuația caracteristică (9.21), după cum urmează:

Primele două rânduri sunt completate mai întâi, folosind coeficienții an, an–1,…, a1, ao din polinomul caracteristic, așa cum este arătat. Rețineți utilizarea alternativă a coeficienților în aceste două rânduri. Fiecare rând ulterior este calculat din elementele celor două rânduri imediat deasupra acestuia prin multiplicarea încrucișată a elementelor celor două rânduri. De exemplu:

Și așa mai departe, până la calcularea coeficienților din ultimul rând.

Criteriul de stabilitate Routh–Hurwitz prevede că pentru ca sistemul să fie stabil, trebuie îndeplinite următoarele trei condiții:

1. Toți coeficienții (ao, a1,…, an) ai polinomului caracteristic trebuie să fie pozitivi (adică același semn; pentru că, toate semnele pot fi inversate prin înmulțirea cu −1).

2. Toate elementele din prima coloană a tabloului Routh trebuie să fie pozitive (adică același semn).

3. Dacă sistemul este instabil, numărul de poli instabili este dat de numărul de modificări de semn succesive în elementele primei coloane a tabloului Routh.

Exemplul 9.3

Considerați un sistem care are funcția de transfer (cu buclă închisă)

Tabloul său Routh este formată prin examinarea ecuației caracteristice:

Tabloul Routh este

Prima coloană a tabloului are o valoare negativă, ceea ce indică faptul că sistemul este instabil. În plus, din moment ce există „două” schimbări de semn (pozitiv la negativ și apoi înapoi la pozitiv) în prima coloană, există doi poli instabili în acest sistem.

9.5.1.2 Ecuație auxiliară (problema rând-zero)

Un tablou Routh poate avea un rând format doar din elemente zero. Acest lucru indică de obicei un sistem stabil marginal (adică o pereche de poli pur imaginari). Rădăcinile ecuației polinomiale formate din rândul care precede imediat rândul cu elemente zero vor da valorile acestor poli stabili marginal.

Exemplul 9.4

Considerați o instalație G(s) = 1/s(s+1) și un controller cu feedback H(s) = K(s+5)/(s+3). Polinomul său caracteristic cu buclă închisă (1+ GH = 0) este

Notă: Când K = 12, al 3-lea rând (corespunzător lui s¹) al tabloului Routh va avea toate elementele zero.

Ecuația polinomială corespunzătoare rândului precedent (s²) este 4s² + 5K = 0

Cu K = 12, avem ecuația auxiliară, 4s² + 5 × 12 = 0 sau s² + 15 = 0 ale căror rădăcini sunt s = ± j15.

Prin urmare, atunci când K = 12 avem un sistem cu buclă-închisă stabil marginal, doi dintre poli fiind ± j15. Al treilea pol poate fi determinat prin compararea coeficienților după cum se arată mai jos.

Această rădăcină rămasă trebuie să fie reală (pentru că, dacă este o rădăcină complexă, trebuie să apară ca o pereche de rădăcini conjugate). o numim p. Atunci, cu K = 12, la combinarea cu factorul corespunzător ecuației auxiliare (perechea de rădăcini complexe) polinomul caracteristic va fi (s-p) (s²+15). Aceasta trebuie să corespundă aceleiași ecuații caracteristice ca cele date în problemă. De aici:

Prin compararea coeficienților: 60 = −15p sau p = −4

Prin urmare, polul real este la −4, care este stabil. Deoarece ceilalți doi poli sunt stabili marginal, sistemul general este și el stabil marginal.

9.5.1.3 Problema coeficientului zero

Dacă primul element dintr-un anumit rând al unui tablou Routh este zero, va fi necesară o împărțire cu zero la calcularea rândului următor. Aceasta va crea o ambiguitate cu privire la semnul următorului element. Această problemă poate fi evitată prin înlocuirea elementului zero cu un mic element pozitiv ε, și apoi completând tabloul în mod obișnuit.

Exemplul 9.5

Considerați un sistem a cărui ecuație caracteristică este s⁴ + 5s³ + 5s² + 25s +10 = 0. Să studiem stabilitatea sistemului. Tabloul Routh este

Rețineți că primul element din al 3-lea rând (s²) ar trebui să fie (5×5 - 25×1)/5 = 0. Dar l-am reprezentat prin ε, care este pozitiv și va tinde spre zero. Atunci, primul element din al 4-lea rând (s¹) devine (25ε - 50)/ε. Deoarece ε este foarte mic, 25ε este și el foarte mic. Prin urmare, numărătorul acestei cantități este negativ, dar numitorul (ε) este pozitiv. Rezultă că acest element este negativ (și mare). Aceasta indică două schimbări de semn în prima coloană și, prin urmare, sistemul are doi poli instabili.

9.5.1.4 Stabilitate relativă

Considerați un sistem stabil. Polul care este cel mai aproape de axa imaginară este polul dominant, deoarece răspunsul natural de la polii rămași va scădea la zero mai repede lăsând în urmă răspunsul natural al acestui pol (dominant). Ar trebui să fie clar că distanța polului dominant față de axa imaginară este o măsură a „nivelului de stabilitate” sau a „gradului de stabilitate” sau a „marjei de stabilitate” sau a „stabilității relative” a sistemului. Cu alte cuvinte, dacă apropiem polul dominant de axa imaginară, sistemul devine mai puțin stabil (adică „stabilitatea relativă” a sistemului rezultat devine mai scăzută).

Marja de stabilitate a unui sistem poate fi determinată prin testul Routh. Mai exact, considerați un sistem stabil. Toți polii săi vor fi pe LHP. Dacă schimbăm toți polii la dreapta cu o cantitate cunoscută, sistemul rezultat va fi mai puțin stabil. Stabilitatea sistemului deplasat poate fi stabilită folosind testul Routh. Dacă continuăm acest proces de deplasare a polului în pași mici și aplicăm în mod repetat testul Routh, până când sistemul rezultat devine pur și simplu instabil, atunci distanța totală cu care polii au fost deplasați la dreapta oferă o măsură a marjei de stabilitate (sau, stabilitate relativă) a sistemului inițial.

Exemplul 9.6

Un sistem are ecuația caracteristică: s³ + 6s² + 11s +36 = 0.

(a) Folosind criteriul Routh – Hurwitz, determinați numărul de poli instabili din sistem.
(b) Acum mutați toți polii sistemului dat la dreapta planului-s cu valoarea reală 1 (adică adăugați 1 la fiecare pol). Acum câți poli sunt în jumătatea-dreaptă a planului?

Notă: Ar trebui să răspundeți la această întrebare „fără” să găsiți, în mod real, polii (adică, fără a rezolva ecuația caracteristică).

Soluţie

(a) Ecuația caracteristică: s³ + 6s² + 11s +36 = 0.

Tabloul Routh:

Întrucât intrările din prima coloană sunt toate pozitive, nu există poli instabili în sistemul original.

(b) Denumiți polii schimbați prin š.

Avem š = s+1 sau s = š -1

Înlocuiți în ecuația caracteristică inițială. Ecuația caracteristică a sistemului cu poli schimbați este (š – 1)³ + 6(š -1)² + 11(š -1) + 36 = 0 sau š³ + 3š² + 2š + 30 = 0.

Tabloul Routh:

Există două schimbări de semn în prima coloană. Prin urmare, există doi poli instabili.

9.5.2 Metoda Root Locus (amănunte în subsolul paginii)

Locul geometric al rădăcinilor este locul geometric (adică, calea continuă trasată de) al polilor unui sistem cu buclă-închisă (adică rădăcini ale ecuației caracteristice), deoarece un parametru al sistemului (de obicei câștigul buclei) este variat. Mai exact, locul geometric al rădăcinilor arată cum se schimbă locațiile polilor unui sistem cu buclă-închisă, datorită modificării unui parametru al funcției de transfer în buclă. Prin urmare, indică stabilitatea sistemului în buclă-închisă ca funcție de parametrul variat.

Locul geometric al rădăcinilor pornește de la polii în buclă-deschisă (strict vorbind, poli de buclă). Prin urmare, ca prim pas, acești poli de buclă trebuie marcați pe planul-s complex. Considerați structura de control cu feedback cu o funcție de transfer direct G(s) și o funcție de transfer cu feedback H(s). Funcția de transfer generală a acestui sistem (adică funcția de transfer în buclă-închisă) este

Stabilitatea sistemului cu buclă-închisă este complet determinată de polii (nu de zerouri) funcției de transfer cu buclă-închisă (9.22).

Notă: Zerourile sunt rădăcinile ecuației polinomiale a numărătorului unei funcții de transfer.

Polii cu buclă-închisă se obțin prin soluționarea ecuației caracteristice (ecuația polinomului numitorului):

Rezultă că polii cu buclă-închisă sunt (și, prin urmare, stabilitatea sistemului cu buclă-închisă este) complet determinați de funcția de transfer în buclă G(s) H(s). Este clar că rădăcinile (9.23a) depind atât de poli cât și de zerourile lui G(s) H(s). Prin urmare, stabilitatea unui sistem cu buclă-închisă depinde de polii și zerourile funcției de transfer în buclă.

Ecuația 9.23a poate fi rescrisă în mai multe forme utile și echivalente. În primul rând, avem

În continuare, întrucât GH poate fi exprimat ca un raport dintre două polinoame monice (adică polinoame al căror coeficient al termenului de ordin cel mai mare este egal cu unitatea) N(s) și D(s), putem scrie:

în care
N(s) = polinomul numărător al funcției de transfer în buclă
D(s) = polinomul numitor al funcției de transfer în buclă
K = câștigul buclei

Acum, deoarece polinoamele pot fi descompuse în factori, putem scrie

sau

în care:
zi este zero al funcției de transfer în buclă
pi este polul funcției de transfer în buclă
m este ordinul polinomului numărător = numărul de zerouri ale GH
n este ordinul polinomului numitor = numărul de poli ai GH

Pentru sisteme realizabile fizic, avem m ≤ n. Ecuația 9.23c este în „forma raport-de-polinoame” și ecuația 9.23d este în forma „pol-zero”. Acum vom enumera principalele reguli pentru schițarea unui root locus.

Notă: este doar o ecuație, ecuația caracteristică (9.23) a sistemului cu buclă-închisă, care generează toate aceste reguli.

9.5.2.1 Reguli pentru locul geometric al rădăcinilor

Regula 0 (Simetria): Locul geometric al rădăcinilor este simetric față de axa reală pe planul-s.

Regula 1 (Numărul de ramuri): Locul geometric al rădăcinilor are n ramuri. Ele pornesc de la cei n poli ai funcției de transfer ai buclei GH. Dintre acestea, m ramuri se termină la zerourile lui GH și (n - m) ramuri rămase merg la infinit, tangențiale la n - m linii numite asimptote.

Regula 2 (condiții de magnitudine și de fază): condiția de magnitudine este

Condiția unghiului de fază este

Regula 3 (Locul geometric al rădăcinilor pe axa reală): alegeți orice punct de pe axa reală. Dacă (# poli - # zerouri) ai GH în dreapta punctului este impar, punctul se află pe locul geometric al rădăcinilor.

Regula 4 (unghiurile asimptotelor): Cele n - m asimptote formează unghiuri

în raport cu axa reală pozitivă a planului-s.

Regula 5 (Punct de întrerupere=break point): Break-in points și breakaway points ale locului rădăcinilor sunt acolo unde se intersectează două sau mai multe ramuri. Ele corespund punctelor de poli repetați (multipli) ai sistemului cu buclă-închisă. Aceste puncte sunt determinate prin diferențierea ecuației caracteristice (9.23c) în raport cu s, înlocuind K folosind din nou (9.23c), deoarece K=-(D(s)/N(s)). Asta dă

Notă: Ramurile locului geometric al rădăcinilor la un punct de întrerupere sunt egal distanțate (în unghi) în jurul break point.

Regula 6 (Intersecția cu axa imaginară): Dacă locul rădăcinilor intersectează axa imaginară, punctele de intersecție sunt date prin setarea s = jω și rezolvarea ecuației caracteristice:

Aceasta dă două ecuații (una pentru termenii reali și cealaltă pentru termenii imaginari). Alternativ, pot fi utilizate criteriul Routh – Hurwitz și ecuația auxiliară pentru stabilitate marginală pentru a determina aceste puncte și valoarea câștigului corespunzător (K).

Regula 7 (Unghiurile de apropiere și de plecare): Unghiul de plecare α al locusului rădăcinii, de la un pol GH, se obține folosind

α + ∠ la alți poli - ∠ la zerouri = π + 2rπ (9.28a)

Unghiul de apropiere α la un zero GH este obținut utilizând

∠ la poli - α - ∠ la alte zerouri = π + 2rπ

(9.28b)

Notă: Unghiurile menționate în Regula 7 sunt măsurate prin trasarea unei linii din punctul de apropiere/plecare spre celălalt pol sau zero de GH care este considerat și determinând unghiul acelei linii măsurate de la axa reală pozitivă (adică linia orizontală trasată la dreapta la celălalt pol sau zero).

Regula 8 (Intersecția asimptotelor cu axa reală): Asimptotele întâlnesc axa reală la centroid în jurul axei imaginare, a polilor și a zerourilor GH. Fiecare pol este considerat a avea o pondere de +1 și fiecare zero o pondere de −1.

9.5.2.2 Pașii de schițare a locului geometric al rădăcinilor

Acum enumerăm pașii de bază ai procedurii normale care este urmată în schițarea unui loc geometric al rădăcinilor.

Pasul 1: Identificați funcția de transfer a buclei și parametrul (câștig K) de variat în root locus (RL).

Pasul 2: Marcați polii lui GH cu simbolul (×) și zerourile lui GH cu simbolul (o) pe planul-s.

Pasul 3: Utilizând regula 3 schițați segmentele root locus pe axa reală.

Pasul 4: Calculați unghiurile asimptotelor folosind regula 4 și originea asimptotelor folosind regula 8 și trasați asimptotele.

Pasul 5: Utilizând regula 5, determinați punctele de întrerupere, dacă există.

Pasul 6: Folosind regula 7, calculează unghiurile de plecare și unghiurile de apropiere, dacă este necesar.

Pasul 7: Folosind regula 6, determinați punctele de intersecție cu axa imaginară, dacă există.

Pasul 8: Completați locul geometric al rădăcinilor prin unirea corespunzătoare a punctelor și segmentelor care au fost determinate în etapele anterioare.

Exemplul 9.7

Considerați sistemul de control cu feedback prezentat în figura 9.12. Se pot utiliza următoarele trei tipuri de control:

(a) Control proporțional (P): Gc = K
(b) Proporțional + Control derivativ (PD): Gc = K (1 + s)
(c) Proporțional + Control integrativ (PI): Gc = K (1+ (1/s))

FIGURA 9.12 Un sistem de control cu feedback

Schițați locul geometric al rădăcinilor pentru aceste trei cazuri și comparați comportamentul sistemelor controlate corespunzătoare.

Soluţie

(a) Funcția de transfer în buclă GH = K/(s² - 2s + 2)

Polii buclei sunt la s = 1 ± j. Cele două ramuri RL vor porni de la ei. Acestea sunt marcate pe planul-s în figura 9.13a.

Nu există zerouri ale buclei.
Prin urmare, conform regulii 3, nu există segmente ale RL pe axa reală.
Deoarece nu există zeruri GH, există două asimptote în care ramurile RL se vor termina (la infinit).

Unghiurile asimptotelor sunt ± 90° (Regula 4). Centroidul polilor s¯ = (1 × 2)/2 = 1

Asimptotele se intersectează la acest centroid (regula 8) și pot fi schițate ca în figura 9.13a.

Notă: Chiar dacă este evident, unghiul de plecare α la polul 1 + j poate fi determinat de:

α + 90° = 180° ⇒ α = 90° (Regula 7)

Locul geometric complet al rădăcinilor pentru acest caz (control P) este schițat în figura 9.13a.

Se vede că sistemul este întotdeauna instabil.

(b) Funcția de transfer a buclei GH = K(1 + s)/(s² - 2s + 2)

Există doi poli de buclă, la s = 1 ± j de la care provin cele două ramuri de RL. Există un zero al buclei la -1 unde una dintre ramurile RL se termină.
Acestea sunt marcate pe planul-s din figura 9.13b.

Conform regulii 3, RL se află pe axa reală între -∞ și −1, așa cum este schițat în figura 9.13b.

Deoarece există doi poli de buclă și un zero de buclă, RL are o asimptotă cu unghiul de asimptotă 180° (Regula 1 și Regula 4).

Unghiul de plecare α de la polul 1+j este determinat de (regula 7)

α + 90° - θ = 180° (unde tg θ = ½ sau θ = 26,6°) ⇒ α = 116,6°

Notă: Unghiul de plecare de la polul 1-j poate fi determinat simplu prin simetria RL (Regula 0) sau prin (Regula 7) ca

α + (−90°) - (−θ) = 180° (unde θ = 26,6° ca înainte) ⇒ α = 243,4° sau −116,6°

Puncte de întrerupere (regula 5):

Aici, N(s) = (1 + s) și D(s) = s² - 2s + 2

Prin urmare, punctul de întrerupere este dat de (Ecuația 9.26)

Punctul de întrerupere corect trebuie să se afle pe locul geometric al rădăcinilor (adică <−1). Prin urmare, alegem s = -1 - √5.

Locul geometric complet al rădăcinilor pentru cazul de față al controlului PD este schițat în figura 9.13b.

FIGURA 9.13 (a) Root Locus pentru sistem cu control P;
(b) Root Locus pentru sistemul cu control PD;
(c) Root Locus pentru sistemul cu control PI

Se vede că sistemul este instabil pentru valori scăzute de câștig K, începând de la 0, dar devine stabil dincolo de o anumită valoare a câștigului. Acest lucru se datorează includerii controlului derivativ (sau a unui zero al buclei pe jumătatea planului stâng - LHP) care are un efect de stabilizare. Valoarea câștigului și frecvența stabilității marginale pot fi determinate ca de obicei. În cazul de față, acesta este un exercițiu relativ simplu. Ecuația caracteristică cu buclă-închisă (9.23c) este

Prin urmare, pentru stabilitate, trebuie să avem K > 2. Câștigul pentru stabilitatea marginală este K = 2. Ecuația caracteristică corespunzătoare este s² + K + 2= 0, iar polii de buclă-închisă stabili marginal rezultați sunt s = ± j2.

(c) Funcția de transfer a buclei GH = K (1+s)/s(s²-2s+2)

Acum există trei poli de buclă, la s = 0 și 1 ± j de la care provin cele trei ramuri ale RL (Root Locus).

Există un zero al buclei la -1 unde una dintre ramurile RL se termină. Acestea sunt marcate pe planul-s în figura 9.13c.

Conform regulii 3, RL se află pe axa reală de la 0 la −1, așa cum este schițat în figura 9.13b. Deoarece există trei poli de buclă și un zero de buclă, RL are două asimptote cu unghiuri ale asimptotelor = ± 90° (Regula 1 și Regula 4).

Centroidul polilor

Asimptotele se intersectează în acest punct (regula 8), așa cum este schițat în figura 9.13c.

Unghiul de plecare α de la polul 1+ j este determinat de

α + 90° + 45° - θ = 180° unde tg θ = ½ sau θ = 26,6° ⇒ α = 71,6°

Notă: Ca de obicei, unghiul de plecare de la celălalt pol (conjugat) 1- j este determinat prin simetrie ca α = −71,6°.

Root Locus complet pentru cazul cu control PI este schițat în figura 9.13c.

Se vede că sistemul este întotdeauna instabil. De fapt, sistemul este mai instabil decât cu controlul P singur și devine mai rău odată cu creșterea câștigului K. Acest lucru se datorează prezenței acțiunii integrative (I) în controller, care are un efect destabilizator.

9.5.3 Stabilitate în domeniul-frecvență

Conceptele de modele funcție de transfer și domeniu-frecvență au fost discutate în Capitolul 3. Acum vom folosi conceptul de funcție de transfer în frecvență (sau, funcție de răspuns în frecvență), unde variabila independentă este frecvența ω radiani/s sau f cicli/s (sau herți), pentru a contura câteva tehnici utile în analiza stabilității sistemelor de control. În special, următoarele elemente pot fi utilizate ca măsuri de stabilitate relativă, în domeniul-frecvență:

1. Mărimea maximă (și factorul-Q asociat și lățimea de bandă la jumătate de putere)
2. Marja de fază
3. Marja de câștig

9.5.3.1 Stabilitate marginală

Dacă un sistem dinamic oscilează constant în absența unei excitații externe constante, această condiție reprezintă o stare de stabilitate marginală. „Distanța” până la o stare de stabilitate marginală este o măsură a nivelului de stabilitate și se numește marjă de stabilitate.

9.5.3.2 Condiția 1, 0

Considerați un sistem de control cu feedback reprezentat de diagrama bloc din figura 9.14. Am asumat feedback unitate, dar acest lucru poate fi generalizat. De fapt, fără pierderi de generalitate, putem interpreta G în figura 9.14 ca funcție de transfer în buclă GH, deoarece un sistem cu funcție de transfer cu feedback general H poate fi redus la un sistem cu feedback unitate, prin reducerea diagramei bloc, plasând GH ca funcția de transfer directă.

FIGURA 9.14 Un sistem de control cu feedback unitate

Să presupunem că funcția de transfer G(s) cu buclă deschisă este astfel încât la o frecvență specifică de operare ω, avem

1. Mărimea |G(jω)| = 1
2. Unghiul de fază ∠G (jω) = −π

Atunci, dacă un semnal de eroare de frecvență ω este injectat în buclă (din cauza zgomotului, perturbației, excitației inițiale etc.), amplitudinea sa nu se va schimba în timp ce treceți prin G(s), dar unghiul de fază se va reduce cu π. Prin urmare, semnalul de ieșire y va avea aceeași amplitudine ca semnalul de eroare e, dar y va „întârzia” e cu π. Deoarece y este trimis înapoi în buclă cu un feedback negativ (Notă: -1 corespunde unei întârzieri de fază suplimentare de π), întârzierea totală de fază în semnalul de feedback, la atingerea căii directe a buclei, va fi de 2π. Deoarece o schimbare de fază de 2π este aceeași ca nicio schimbare de fază, semnalul de feedback va avea aceeași amplitudine ca semnalul direct (adică, câștig =1) și același unghi de fază ca semnalul direct (adică, faza=0). Aceasta se numește condiția (1, 0). În această condiție, este clar că chiar și în absența unei intrări externe u, un semnal armonic cu o frecvență specifică ω se poate susține în buclă fără să crească sau să descrească. Aceasta este o stare de oscilație constantă auto- susținută. Dacă este posibilă o astfel de condiție de oscilație constantă, în absența unei intrări externe constante, se spune că sistemul este stabil marginal.

Notă: Frecvența specifică ω la care această condiție de oscilație constantă ar fi posibilă este ea însăși o proprietate a sistemului și depinde de parametrii sistemului.

În continuare, considerați un sistem cu feedback neunitar, cu o funcție de transfer cu feedback H(s). Ar trebui să fie clar că în aplicarea condiției (1, 0) pentru stabilitate marginală, ceea ce contează este câștigul general și schimbarea de fază pe întreaga buclă. Prin urmare, în figura 9.14 trebuie să considerați funcția generală de transfer în buclă G(s)H(s) și nu componentele individuale.

Condiția (1, 0) pentru stabilitatea marginală este, la o frecvență specifică de operare ω:

1. Mărimea |G(jω)H(jω)| = 1
2. Unghiul de fază ∠G(jω)H(jω) = −π. (9.29a)

Notă: Ecuația caracteristică a sistemului Ğ cu buclă-închisă este GH + 1 = 0. Prin urmare, stabilitatea unui sistem cu buclă-închisă este complet determinată de funcția de transfer în buclă GH, așa cum s-a concluzionat deja în metoda Root Locus. Mai exact, acum trebuie să studiem magnitudinea și faza lui GH(jω), în domeniul-frecvență. În cazul special al feedback-ului unitate (H = 1) trebuie să studiem G(jω). Pentru comoditate, în aceste studii notăm GH pur și simplu prin G, reținând că G reprezintă funcția de transfer în buclă GH.

Diagrama Bode și diagrama Nyquist sunt modalități convenabile de a reprezenta grafic funcțiile de transfer (vezi capitolul 3). Aceste diagrame sunt valoroase în stabilitatea sistemelor dinamice, în domeniul-frecvență.

9.5.3.3 Marja de fază și marja de câștig

Ecuația caracteristică a sistemului cu buclă închisă este G(s)H(s) = −1. Sistemul este stabil marginal dacă o pereche de rădăcini ale ecuației caracteristice este pur imaginară (adică ± jω), în timp ce rădăcinile rămase nu sunt instabile. Prin urmare, condiția stabilității marginale este aceea că există o frecvență ω astfel încât

De fapt, cele două condiții date de Ecuația 9.29a sunt exact echivalente cu această singură ecuație complexă 9.29b, deoarece −1 are o magnitudine de 1 și un unghi de fază de −π. Rezultă că dacă curba funcției de transfer a buclei GH în planul complex (adică, curba polară a lui GH(jω) imaginar față de GH(jω) real - diagrama Nyquist - vezi Capitolul 3), pe măsură ce ω se schimbă, trece prin punctul (−1, 0), atunci sistemul de control este stabil marginal.

Marja de câștig: Să presupunem că la o anumită frecvență de operare ω, faza ϕ = −180°, dar câștigul (mărimea) M este mai mic decât unitatea (adică M <1). Atunci, dacă intrarea externă u din figura 9.14 este deconectată, amplitudinea semnalului de feedback va scădea constant. Aceasta, desigur, corespunde unui sistem stabil. Cu cât valoarea M este mai mică, cu atât sistemul este mai stabil. Prin urmare, o marjă de stabilitate cunoscută sub numele de marja de câștig gm poate fi definită ca fiind

la frecvența ω unde ∠G(jω)H(jω) = −180°

Notă: Dacă mărimea (adică câștigul) funcției de transfer GH(jω) este crescută cu un factor gm la această frecvență, atunci condițiile de stabilitate marginală (Ecuația 9.29) vor fi satisfăcute. Prin urmare, gm este marja prin care poate fi crescut câștigul unui sistem stabil astfel încât sistemul să devină doar instabil. Rezultă că cu cât este mai mare gm, cu atât gradul de stabilitate este mai bun. Este convenabil să se exprime gm în decibeli (dB), deoarece magnitudinea funcției de transfer (în domeniul-frecvență) este de obicei exprimată în dB (în special în diagramele Bode - vezi Capitolul 3). Atunci,

la frecvența ω unde ∠G(jω)H(jω) = −180°

Marja de fază: Să presupunem că există o anumită frecvență ω la care mărimea (adică câștigul) funcției de transfer a buclei GH(jω) este M = 1 (adică 0 db), dar faza ϕ se situează între 0 și -180°. Această frecvență ωc se numește frecvența de traversare sau frecvența de încrucișare, deoarece corespunde punctului în care curba de câștig (magnitudine) traversează linia unitate (0 dB). Deoarece unghiul de fază scade cu frecvența, va exista o frecvență mai înaltă la care faza este -180°, dar câștigul (magnitudinea) va fi mai mic decât unitatea (deoarece magnitudinea funcției de transfer a buclei scade, uzual, odată cu creșterea frecvenței, la frecvențe înalte). Acest lucru, după cum s-a menționat sub numele marjă de câștig, corespunde unui sistem stabil. Valoarea cu care faza funcției de transfer a buclei la câștig = 0 dB, poate fi scăzută (adică, întârzierea de fază crescută) până când atinge valoarea −180°, se numește marjă de fază (ϕm). Mai precis, marja de fază este definită ca fiind

la frecvența ω unde |G(jω)H(jω)| = 1.

Cu cât marja de fază este mai mare, cu atât sistemul este mai stabil.

În rezumat, marja de câștig ne indică valoarea (marja) cu care câștigul poate fi crescut la o fază de -180°, înainte ca sistemul să devină stabil marginal; iar marja de fază ne spune valoarea (marja) cu care faza poate fi „scăzută” (adică „întârzierea de fază” crescută) la câștig unitate, înainte ca sistemul să devină instabil marginal. O dezvoltare mai riguroasă a conceptelor de marjă de câștig și marjă de fază necesită o cunoaștere a criteriului de stabilitate Nyquist, prezentat într-o secțiune separată.

9.5.3.4 Diagrame Bode și Nyquist

Așa cum s-a discutat în capitolul 3, diagrama Bode și diagrama Nyquist sunt reprezentări grafice convenabile ale funcțiilor de transfer, în domeniul-frecvență. Mai exact, diagrama Bode a unei funcții de transfer G(s) constituie următoarea pereche de curbe:

Magnitudinea |G(jω)| funcție de frecvența ω
Unghiul de fază ∠G(jω) funcție de frecvența ω

Rețineți că diagrama Bode necesită două curbe - una pentru câștig și alta pentru fază. Aceste două curbe pot fi reprezentate ca o singură curbă folosind o așa-numită diagramă polară cu o axă reală și o axă imaginară. O diagramă polară este o modalitate de a reprezenta atât magnitudinea cât și faza unui vector rotativ, cu o curbă. Când faza = 0°, vectorul (care reprezintă numărul complex) indică spre dreapta; când faza = 90°, vectorul indică în sus; iar când faza = −180°, vectorul arată spre stânga etc.

Curba solidă din figura 9.15a reprezintă calea vârfului liniei direcționate (vector bidimensional) reprezentând funcția de transfer în frecvență (adică funcție de transfer complexă în domeniul-frecvență), pe măsură ce frecvența variază. Orice punct reprezintă atât amplitudinea (distanța de origine) cât și faza (unghiul măsurat de la axa reală pozitivă), la o frecvență dată. Astfel, toate informațiile din cele două curbe ale diagramelor Bode (fig. 9.15b) sunt reprezentate de această singură curbă numită curba Nyquist (sau curbă polară sau diagramă argand).

Condiția de stabilitate marginală este (a) câștig = 1 sau 0 dB și (b) întârziere de fază = 180° la o anumită frecvență de operare specifică. Un câștig de 1 este reprezentat de un vector cu lungimea unitate. Vârful său trasează un cerc unitate cu centrul său la originea cadrului de coordonate (a se vedea cercul punctat în figura 9.15a). O fază de 180° corespunde unui vector orizontal îndreptat spre stânga de la origine (adică axa reală negativă). Intersecția diagramei Nyquist cu cercul de câștig unitate dă faza la punctul 0 db; lungimea vectorului (distanța de la origine) a punctului în care diagrama Nyquist intersectează partea negativă a axei reale dă câștigul la punctul critic de fază (întârziere) 180°.

Acum definițiile formale pentru marja de câștig gm și marginea de fază ϕm pot fi date folosind fie diagrama Nyquist, fie diagrama Bode ca în figura 9.15. Considerați un sistem stabil cu buclă-închisă, cu funcția de transfer Ğ = G/(1+ GH). În primul rând, trasăm diagrama Nyquist G pentru funcția de transfer în buclă GH, de exemplu, așa cum se arată în figura 9.15a. Factorul prin care curba Nyquist ar trebui să fie extinsă (să zicem, prin creșterea câștigului său) pentru a se realiza sistemul stabil marginal (adică să treacă prin punctul critic (−1, 0)) măsoară stabilitatea relativă (sau, marja de stabilitate) a sistemului cu buclă-închisă. Marjele de stabilitate pot fi definite similar folosind diagrama Bode din figura 9.15b.

Stabilitatea relativă (marja de stabilitate) a unui sistem de control poate fi îmbunătățită prin adăugarea unui compensator, astfel încât să crească GM. Întrucât, în general, marja de câștig a unui sistem se îmbunătățește automat atunci când marja de fază a sistemului este îmbunătățită, în specificațiile de proiectare este adecvat să se ia în considerare doar marja de fază.

FIGURA 9.15 Definiția marjei de câștig și a marjei de fază:
(a) folosind diagrama Nyquist; (b) folosind diagrama Bode

Exemplul 9.8

Figura 9.16a și b prezintă diagramele Bode și Nyquist (ale funcțiilor de transfer în buclă GH) pentru două sisteme, respectiv. Cel din stânga este stabil, deoarece întârzierea de fază este mai mică de 180° la punctul de 0 dB critic (adică, unde câștig = 1), iar câștigul este mai mic de 1 la punctul critic de întârziere în fază (adică, unde întârziere de fază = 180°). Rețineți că valoarea cu care câștigul este mai mic de 0 dB la punctul critic de întârziere în fază (-180°) este marja de câștig. Similar, valoarea prin care întârzierea de fază este mai mică de 180° la punctul de intersectare a câștigului (0 dB) este marja de fază.

FIGURA 9.16 (a) Diagrame Bode; (b) diagrame Nyquist, ale unui sistem stabil (stânga)
și ale unui sistem instabil (dreapta) (GM, marjă de câștig; PM, marjă de fază)

9.6 Control avansat