Denaturarea aliasing (dedublare) este o considerație importantă atunci când se tratează date eșantionate de la un semnal continuu. Această eroare poate intra în calcul atât în ​​domeniu-timp cât și în domeniu-frecvență, în funcție de domeniul în care sunt eșantionate datele.

5.5.1 Teorema eșantionării

Dacă un semnal de timp x(t) este eșantionat la trepte egale cu ΔT, nu se obțin informații privind spectrul său de frecvență X(f) pentru frecvențe mai înalte decât

Acest fapt este cunoscut ca teorema de eșantionare a lui Shannon, iar frecvența de limitare (cut-off) se numește frecvență Nyquist.

Se poate demonstra că eroarea de aliasing este cauzată de „rabatarea” segmentului de înaltă frecvență, al spectrului de frecvență dincolo de frecvența Nyquist, în segment de joasă-frecvență. Acest lucru este ilustrat în figura 5.5. Eroarea de aliasing devine din ce în ce mai proeminentă pentru frecvențele spectrului mai apropiate de frecvența Nyquist. În analiza semnalului, trebuie să se aleagă o treaptă de eșantion suficient de mică ΔT pentru a reduce distorsiunea de aliasing în domeniul frecvenței, în funcție de cea mai mare frecvență de interes în semnalul analizat. Acest lucru, însă, mărește timpul de procesare a semnalului și cerințele de stocare ale computerului, ceea ce este nedorit în special în analiza în timp real. De asemenea, pot rezulta probleme de stabilitate în calcule numerice. Criteriul de eșantionare Nyquist cere ca rata de eșantionare (1/ΔT) pentru un semnal să fie cel puțin de două ori cea mai înaltă frecvență de interes. În loc să facă rata de eșantionare foarte ridicată, în practică este utilizată o valoare moderată care satisface criteriul de eșantionare Nyquist, împreună cu un filtru anti-aliasing pentru a elimina componentele de frecvență distorsionate.

FIGURA 5.5 Distorsionarea aliasing a unui spectru de frecvență:
(a) spectru original și (b) spectru distorsionat datorită aliasing

5.5.2 Filtru anti-aliasing

Ar trebui să fie clar din figura 5.5 că, dacă semnalul inițial este filtrat trece-jos la o frecvență cut-off egală cu frecvența Nyquist, atunci nu se va produce distorsiunea de aliasing din cauza eșantionării. Un filtru de acest tip se numește filtru anti-aliasing. În acest scop pot fi utilizate filtre hardware analogice. În practică, nu este posibilă realizarea unei filtrări perfecte. Prin urmare, o anumită aliasing ar putea rămâne chiar și după utilizarea unui filtru anti-aliasing. Astfel de erori reziduale pot fi reduse folosind o frecvență cut-off a filtrului care este puțin mai mică decât frecvența Nyquist. Atunci, spectrul rezultat va fi valabil numai până la această frecvență cut-off a filtrului (și nu până la limita teoretică a frecvenței Nyquist). Aliasing reduce intervalul de frecvență valabil în rezultatele digitale Fourier. De obicei, limita de frecvență utilă este fc/1,28 astfel că cel puțin 20% din punctele spectrale de lângă frecvența Nyquist ar trebui neglijate. Rețineți că, uneori, fc/1,28 (≅ 0,8fc) este utilizată ca frecvență de cut-off a filtrului. În acest caz, spectrul calculat este exact până la 0,8fc și nu până la fc.

Exemplul 5.3

Considerați 1024 puncte de date dintr-un semnal eșantionat la intervale de 1 milisecundă (ms). Rata de eșantionare fs = 1/0,001 eșantioane/s = 1000 Hz = 1 kHz

Frecvența Nyquist = 1000/2 Hz = 500 Hz

Din cauza aliasingului, aproximativ 20% din spectru (adică, spectrul de peste 400 Hz) va fi denaturat. Aici, putem folosi un filtru anti-aliasing.

Să presupunem că un calcul digital al transformatei Fourier oferă 1024 puncte de frecvență de date de până la 1000 Hz. Jumătate din acest număr depășește frecvența Nyquist și nu va oferi nicio informație nouă despre semnal.

Separarea liniei spectrale = 1000/1024 Hz = 1 Hz (aprox.)

Păstrați doar primele 400 de linii spectrale ca spectru util.

Notă: Se pot păstra aproape 500 de linii spectrale dacă se folosește un filtru anti-aliasing exact.

Exemplul 5.4

(a) Dacă un semnal de senzor este eșantionat la fs Hz, sugerați o frecvență cut-off adecvată pentru utilizarea unui filtru anti-aliasing în această aplicație.

(b) Să presupunem că un semnal sinusoidal de frecvență f1 Hz este eșantionat la rata de fs eșantioane/s.

Un alt semnal sinusoidal de aceeași amplitudine, dar cu o frecvență mai mare, de f2 Hz, s-a dovedit că produce aceleași date atunci când este eșantionat la fs. Care este relația analitică probabilă între f1, f2 și fs?

(c) Considerați o instalație cu funcția de transfer G(s) = k/(1 + τs).

Care este câștigul static al acestei instalații? Arătați că mărimea funcției de transfer atinge 1/√2 din câștigul static când frecvența de excitație este de 1/τ rad/s. Rețineți că frecvența, ωb = 1/τ rad/s, poate fi luată ca lățime de bandă de operare a instalației.

(d) Considerați un cuptor de rafinare așchii care este utilizat în industria celulozei și hârtiei. Mașina se folosește pentru producerea mecanică a așchiilor de lemn. Are o placă fixă ​​și o placă rotativă condusă de un motor cu inducție. Spațiul dintre plăci este sesizat și este, de asemenea, reglabil. Pe măsură ce placa se rotește, așchiile sunt transformate în celuloză în interiorul golului. În figura 5.6 este prezentată o diagramă bloc a sistemului de control al poziționării-plăcii.

Să presupunem că semnalul senzorului de cuplu și semnalul senzorului de interstițiu sunt eșantionate la 100 și, respectiv, la 200 Hz, în controllerul digital, care necesită 0,05 s pentru a calcula fiecare comandă pozițională pentru servovalvă. Constanta de timp a servovalvei este de 0,05/2π s, iar cea a sarcinii mecanice este de 0,2/2π s. Estimați lățimea de bandă de control și lățimea de bandă de operare a sistemului de poziționare.

FIGURA 5.6 Schema bloc a sistemului de control al poziției plăcii
pentru un cuptor de rafinare așchii

Soluţie

(a) Teoretic, frecvența cut-off a filtrului antialiasing trebuie să fie de 0,5fs, care este frecvența Nyquist. În practică, totuși, 0,4fs ar fi de dorit, oferind un spectru util de până la 0,4fs.

(b) f2 = fc + (fc + f1) = 2fc - f1 sau

(c) G(jω) = k/(1+τjω) = funcția de transfer în frecvență, unde ω este în rad/s.

Câștigul static este magnitudinea funcției de transfer la starea de echilibru (adică la frecvență zero).

Prin urmare,

Câștig static = G(0) = k.

Când ω = 1/τ, avem G(jω) = k/(1+j)

De aici, lG(jω)l = k/√2 la această frecvență.

Aceasta este lățimea de bandă la jumătate de putere.

(d) Datorită eșantionării, semnalul de cuplu are o lățime de bandă de 1/2 × 100 Hz = 50 Hz iar semnalul senzorului de interstițiu are o lățime de bandă de 1/2 × 200 Hz = 100 Hz. Durata ciclului de control = 0,05 s, care furnizează semnale de control la o viteză de 1/0,05 Hz = 20 Hz.

Deoarece 20 Hz < min (50/2 Hz, 100/2 Hz), avem o lățime de bandă adecvată din semnalele eșantionate ale senzorului pentru a calcula semnalul de control. Lățimea de bandă de control de la controllerul digital = 1/2 × 20 Hz (Din teoremal de eșantionare a lui Shannon) = 10 Hz.

Dar, servovalva face parte și din controler. Lățimea sa de bandă = 1/τv rad/s = 1/2πτv Hz = 2π/(2π × 0,05) Hz = 20 Hz.

Prin urmare, lățimea de bandă de control = min (10 Hz, 20 Hz) = 10 Hz.

Lățimea de bandă a sarcinii mecanice = 1/τm rad/s = 1/2πτm Hz = 2π/(2π × 0,2) Hz = 5 Hz.

Prin urmare, lățimea de bandă de operare a sistemului = min (10 Hz, 5 Hz) = 5 Hz.

5.5.3 O altă ilustrare a aliasing

O ilustrare simplă a aliasingului este dată în figura 5.7. Aici, sunt afișate două semnale sinusoidale de frecvență f1 = 0,2 Hz și f2 = 0,8 Hz (figura 5.7a). Presupunem că cele două semnale sunt eșantionate la rata fs = 1 eșantion/s. Frecvența Nyquist corespunzătoare este fc = 0,5 Hz. Se vede că, la această rată de eșantionare, eșantioanele de date din cele două semnale sunt identice. Cu alte cuvinte, semnalul de înaltă frecvență nu poate fi diferențiat de semnalul de joasă frecvență. Prin urmare, o componentă de semnal de înaltă frecvență cu frecvență de 0,8 Hz va apărea ca o componentă a semnalului de joasă frecvență de 0,2 Hz. Acest lucru este aliasing, așa cum rezultă din spectrul de semnal prezentat în figura 5.7b. Mai exact, segmentul spectral al semnalului dincolo de frecvența Nyquist (fc) nu poate fi recuperat.

FIGURA 5.7 O simplă ilustrare a aliasing: (a) două semnale armonice cu date identic eșantionate
și (b) spectre de frecvență ale celor două semnale armonice.

Exemplul 5.5

Să presupunem că intervalul de frecvență de interes pentru un anumit semnal este de 0-200 Hz. Suntem interesați să determinăm viteza de eșantionare (viteza de digitalizare) și frecvența cut-off pentru filtrul anti-aliasing (low-pass).

Frecvența Nyquist fc este dată de fc/1,28 = 200. Prin urmare, fc = 256 Hz.

Viteza de eșantionare (sau viteza de digitalizare) pentru semnalul de timp necesar pentru realizarea acestui interval de analiză este F = 2fc = 512 Hz. Cu această frecvență de eșantionare, frecvența cut-off pentru filtrul anti-aliasing ar putea fi setată la o valoare între 200 și 256 Hz.

Exemplul 5.6

Considerați sistemul de control digital pentru o aplicație de poziționare mecanică, arătat schematic în figura 5.8. Computerul de control generează un semnal de control în conformitate cu un algoritm, pe baza poziției dorite și a poziției reale, măsurate de un encoder optic. Acest semnal digital este convertit în forma analogică folosind un convertor digital-analogic (DAC) și este furnizat amplificatorului de acționare. În consecință, semnalele de curent necesare alimentării înfășurărilor motorului sunt generate de amplificator. Elementul inerțial, care trebuie poziționat, este legat direct (și rigid) de rotorul motorului și se opune cu un arc și un amortizor, așa cum este arătat.

FIGURA 5.8 Sistem de control digital pentru o aplicație de poziționare mecanică.

Să presupunem că funcția de transfer combinată a amplificatorului de acționare și a circuitului electromagnetic (generator de cuplu) al motorului este dată de

și funcția de transfer a sistemului mecanic, inclusiv inerția rotorului motorului este dată de

Aici,

k este câștigul echivalent
ζ este raportul de amortizare
ω este frecvența naturală cu indicii (e) și (m) care notează componentele electrică și, respectiv, mecanică

De asemenea, ΔTc este timpul necesar pentru a calcula fiecare acțiune de control și ΔTp este impulsul encoderului de detectare a poziției. Sunt date următoarele valori numerice:

În acest exemplu, puteți neglija efectele de încărcare și efectele de cuplare datorate componentelor legate în cascadă și feedback-ului semnalului.

(i) Explicați de ce lățimea de bandă de control a acestui sistem nu poate fi mult mai largă de 50 Hz.

(ii) Dacă ΔTc = 0,02 s, estimați lățimea de bandă de control a sistemului.

(iii) Explicați semnificația lui ΔTp în această aplicație. De ce ΔTp nu ar trebui să fie mai mare de 0,5 ΔTc?

(iv) Estimați lățimea de bandă de operare a sistemului de poziționare, presupunând că trebuie evitată dinamica semnificativă a instalației.

(v) Dacă ωm = 500π rad/s și ΔTc = 0,02 s, cu parametrii rămași păstrați așa cum este specificat mai sus, estimați lățimea de bandă de operare a sistemului, din nou, neexcitând dinamica semnificativă a instalației.

Soluţie

(i) Sistemul de acționare are o frecvență de rezonanță mai mică de 500 Hz. Prin urmare, regiunea plată a spectrului sistemului de acționare ar fi aproximativ 1/10 din aceasta; adică 50 Hz. Aceasta ar limita componenta spectrală maximă a semnalului de acționare la aproximativ 50 Hz. Prin urmare, lățimea de bandă de control ar fi limitată de această valoare.

(ii) Viteza la care este generat semnalul de control digital = 1/0,02 Hz = 50 Hz. Prin teorema de eșantionare a lui Shannon, spectrul efectiv (util) al semnalului de control este limitat la (1/2) × 50 Hz = 25 Hz. Chiar dacă sistemul de acționare poate găzdui o lățime de bandă de aproximativ 50 Hz, lățimea de bandă de control ar fi limitată la 25 Hz, datorită controlului digital, în acest caz.

(iii) Rețineți că ΔTp corespunde perioadei de eșantionare a semnalului de măsurare (pentru feedback).

Prin urmare, spectrul său util ar fi limitat la 1/(2ΔTp) prin teorema de eșantionare a lui Shannon.

În consecință, semnalul de feedback nu va putea furniza unele informații utile procesului dincolo de frecvența 1/(2ΔTp). Pentru a genera un semnal de control la viteza de 1/ΔTc eșantioane/s, informațiile despre proces trebuie furnizate cel puțin până la 1/ΔTc Hz. Pentru a furniza aceste informații, trebuie să avem

Notă: Această condiție garantează faptul că cel puțin două puncte de date eșantionate de la senzor sunt utilizate pentru calcularea fiecărei acțiuni de control.

(iv) Frecvența de rezonanță a instalației (sistem de poziționare) este de aproximativ (mai puțin de) 100π/2π Hz ≃ 50 Hz. La frecvențe apropiate de aceasta, rezonanța va interfera cu controlul și ar trebui evitată dacă este posibil, cu excepția cazului în care rezonanțele (sau modurile) instalației în sine trebuie să fie modificate prin control. La frecvențe mult mai mari decât aceasta, procesul nu va răspunde în mod semnificativ la acțiunea de control și nu va fi de mare folos (instalația va fi simțită ca un perete rigid). Prin urmare, lățimea de bandă de operare trebuie să fie suficient mai mică decât 50 Hz, să zicem 25 Hz, pentru a evita dinamica instalației.

Notă: Aceasta este o chestiune de judecată de proiectare bazată pe natura aplicației (ex. Excavator, unitate de disc). În mod obișnuit, însă, trebuie să controlăm dinamica instalației. În acel caz, este necesară utilizarea întregii lățimi de bandă de control (adică viteza maximă de control posibilă) ca lățime de bandă de operare. În cazul de față, chiar dacă întreaga lățime de bandă de control (adică 25 Hz) este utilizată ca lățime de bandă de operare, ea evită totuși rezonanța instalației.

(v) Rezonanța instalației, în acest caz, este de aproximativ 500π/2π Hz ≃ 250 Hz. Aceasta limitează lățimea de bandă de operare la aproximativ 250π/2π Hz ≃ 125 Hz, pentru a evita dinamica instalației. Dar, lățimea de bandă de control este de aproximativ 25 Hz, deoarece ΔTc = 0,02 s. Lățimea de bandă de operare nu poate fi mai mare decât această valoare și ar fi ≃ 25 Hz.

5.6 Proiectarea lățimii de bandă a unui sistem de control