Linearitatea instrumentului poate fi măsurată prin cea mai mare abatere a datelor de intrare/ieșire (sau curba de calibrare) de la aproximarea cu linie dreaptă, prin cele mai mici pătrate, a datelor. Deoarece multe expresii algebrice devin liniare atunci când sunt trasate la o scară logaritmică, o aproximare liniară (linie dreaptă) este în general mai exactă dacă sunt utilizate axele log-log. Aproximarea liniară prin cele mai mici pătrate poate fi gândită ca o metodă de estimare, deoarece „estimează” cei doi parametri ai unui model de intrare/ieșire, linia dreaptă, care aproximează un set de date dat, astfel încât eroarea pătrată să fie minimă. Linia dreaptă estimată este cunoscută și ca linia de regresie liniară sau curba de calibrare medie.

Considerați N perechi de date {(X1, Y1), (X2, Y2),…, (XN, YN)} în care X denumește variabila independentă (variabilă de intrare) și Y semnifică variabila dependentă (variabilă de ieșire).

Să presupunem că regresia liniară estimată este dată de

Y = mX + a (C.33)

Pentru valoarea variabilei independente Xi, valoarea variabilei dependente pe linia de regresie este (mXi + a), dar valoarea reală (măsurată) a variabilei dependente este Yi. Prin urmare, suma erorii pătrate pentru toate punctele de date este

Trebuie să minimalizăm e în raport cu cei doi parametri m și a. Condițiile cerute sunt ∂e/∂m = 0 și ∂e/∂a = 0. Prin efectuarea acestor diferențieri în Ecuația C.34, obținem

Împărțind cele două ecuații prin N și folosind definiția mediei eșantionului, obținem

Rezolvând aceste două ecuații simultane pentru m, obținem

Parametrul a nu trebuie să fie exprimat în mod explicit deoarece din ecuațiile C.33 și ii, putem elimina a și exprima linia de regresie liniară ca

Rețineți din ecuația C.33 că a este interceptarea axei Y (adică, valoarea lui Y când X = 0) și este dată de

Exemplul C.4

Considerați circuitul condensatorului prezentat în figura C.3.

Mai întâi, condensatorul este încărcat la tensiunea vo folosind o sursa de tensiune DC constantă (comutator în poziția 1); apoi este descărcat prin o rezistență cunoscută R (comutator în poziția 2). Diminuarea tensiunii în timpul descărcării este măsurată la intervale de timp cunoscute. Sunt efectuate trei teste separate. Datele măsurate sunt următoarele:

Timpul t (s) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Tensiune v (V)

Test 1 7.3 2.8 1.0 0.4 0.1

Test 2 7,4 2,7 1,1 0,3 0,2

Test 3 7.3 2.6 1.0 0.4 0.1

FIGURA C.3 Un circuit pentru estimarea cu cele mai mici pătrate a capacității

Dacă se cunoaște cu exactitate rezistența de 1000 Ω, estimați capacitatea C în microfarazi (μF) și tensiunea sursei vo în volți.

Soluţie

Pentru a rezolva această problemă, presupunem că este bine cunoscută expresia pentru scăderea liberă a tensiunii pe condensator

Luați logaritmul natural al ecuației (i):

Cu Y = ln v și X = t, Ecuația (ii) reprezintă o linie dreaptă cu o pantă

și interceptarea axei Y

Folosind toate datele, se pot calcula mediile generale ale eșantionului. Prin urmare,

Acum înlocuiți aceste valori în ecuațiile C.35 și C.37. Obținem

m = −10.13 și a = 3,02565

În continuare, din ecuația (iii), cu R = 1000, avem

Din ecuația (iv),

vo = 20,61 V

Rețineți că în această problemă, eroarea de estimare ar fi extraordinară dacă nu am folosi scalarea log pentru aproximarea liniară.

Aproximarea curbei cu cele mai mici pătrate nu se limitează la o aproximare liniar (adică linie dreaptă). Metoda poate fi extinsă la o aproximare polinomială de orice ordin. De exemplu, într-o aproximare pătratică, datele sunt aproximate de un polinom de ordinul doi (adică, pătratic). În acest caz, există trei parametri necunoscuți, care ar fi determinați prin minimizarea erorii pătratice.