Într-un sistem de control tip-regulator, obiectivul este menținerea ieșirii la o valoare dorită (constantă). Într-un sistem de control tip-servomecanism, obiectivul este ca ieșirea să urmeze o traiectorie dorită (adică, un răspuns de timp specificat sau o cale funcție de timp).

Într-un sistem de control, pentru a îndeplini o performanță specificată, trebuie utilizată o metodă de control adecvată.

Într-un sistem de control cu feedback, așa cum se arată în figura 9.8, bucla de control trebuie să fie închisă făcând măsurători ale răspunsului sistemului și folosind informațiile respective pentru a genera semnale de control, astfel încât să corecteze orice eroare de ieșire. În figura 9.8, deoarece semnalul de feedback nu este modificat (adică, câștig = 1) înainte de a scădea din intrarea de referință, acesta reprezintă „feedback unitate.” O lege de control este o relație între ieșirea controllerului și intrarea instalației. Modurile de control comune sunt:

1. Control on-off (bang-bang)
2. Control proporțional (P)
3. Control proporțional combinat cu acțiune de resetare (integrativ-I) și/sau acțiune de rată (derivativă-D) (adică, control multimod sau multi-termen).

Legile de control pentru acțiunile de control utilizate în mod obișnuit sunt prezentate în tabelul 9.3. Unele avantaje și dezavantaje ale fiecărei acțiuni de control sunt și ele indicate în acest tabel. Comparați aceste informații cu cele din tabelul 9.1.

Acțiunea proporțională oferă viteza de răspuns necesară și un nivel de semnal adecvat pentru a acționa o instalație. În plus, o acțiune proporțională crescută are tendința de a reduce eroarea la starea de echilibru. O deficiență a acțiunii proporționale crescută este degradarea stabilității. Acțiunea derivativă (sau acțiunea de viteză) oferă stabilitate necesară pentru performanța satisfăcătoare a unui sistem de control. În domeniul-timp, acest lucru se explică prin faptul că acțiunea derivativă tinde să se opună variațiilor bruște (rate mari) în răspunsul sistemului. Dar, controlul derivativ are deficiențele sale. De exemplu, dacă semnalul de eroare care comandă controllerul este constant, acțiunea derivativă va fi zero și nu are efect asupra răspunsului sistemului. În special, controlul derivativ nu poate reduce eroarea de stare staționară într-un sistem. De asemenea, controlul derivativ mărește lățimea de bandă a sistemului, ceea ce are efectul dorit de a crește viteza de răspuns (și capacitatea de urmărire) a sistemului de control. Acțiunea derivativă are dezavantajul de a permite și amplifica intrările perturbatoare de înaltă-frecvență și componentele de zgomot. Prin urmare, acțiunea derivativă nu este implementată practic în forma sa pur analitică, ci mai degrabă ca un circuit de defazare (lead circuit), așa cum va fi discutat mai târziu.

FIGURA 9.8 Un sistem de control cu feedback unitate

TABEL 9.3 Compararea unor acțiuni comune de control

Prezența unui offset (adică, eroare de stare-staționară) în ieșire poate fi inevitabilă atunci când se utilizează controlul proporțional singur pentru un sistem cu câștig DC finit. Când există un offset, o modalitate de a face valoarea curentă de stare-staționară egală cu valoarea dorită ar fi modificarea punctului stabilit (adică, valoarea de intrare) proporțional cu modificarea dorită. Aceasta este cunoscută sub numele de resetare manuală. O altă modalitate de a scoate zero eroarea de stare-staționară ar fi să se facă infinit câștigul DC. Acest lucru poate fi realizat prin introducerea unui termen integrativ (cu funcția de transfer 1/s) pe calea directă a sistemului de control (deoarece 1/s → ∞ când s = 0; adică, la frecvență zero, deoarece s = jω în domeniul-frecvență). Acesta este cunoscut sub numele de control integrativ sau control cu resetare sau resetare automată.

9.4.1 Controlul cu feedback cu acțiune PID

Multe sisteme de control utilizează controllere cu trei moduri sau controllere cu trei termeni, care sunt controllere PID care asigură acțiunea combinată a modurilor proporțional, integrativ și derivativ. Legea de control pentru controlul proporțional plus integrativ plus derivativ (PID) este dată de

sau în forma funcției de transfer

în care
e = semnalul de eroare (intrarea controllerului)
c = semnalul de control/acționare (ieșirea controllerului sau intrarea instalației)
kp = câștigul proporțional
τd = constanta de timp derivativă
τi = constanta de timp integrativă

Parametrii kp, τd și τi sunt parametrii de proiectare ai controllerului PID și sunt folosiți și în reglarea controllerului.

Exemplul 9.2

Considerați un actuator cu funcție de transfer

Proiectați:

(a) Un controller cu feedback de poziție
(b) Un controler cu tacho-feedback (adică, controler cu feedback de poziție plus viteză) care va îndeplini specificațiile de proiectare

Tp = 0,1 și PO = 25%.

Soluţie

(a) Feedback de poziție

Diagrama bloc pentru sistemul de control cu feedback de poziție este prezentată în figura 9.9a.

Din rezultatul standard pentru o buclă închisă (vezi Capitolul 3)

unde k este câștigul controllerului proporțional pe calea directă.

Notă: În acest caz, este disponibil un singur parametru (k) pentru specificarea a două cerințe de performanță. Prin urmare, este puțin probabil ca ambele specificații să fie îndeplinite.

FIGURA 9.9 (a) Sistem de control cu feedback de poziție;
(b) sistemul de control cu tacho-feedback

Pentru a verifica această notă suplimentară din numitorul (polinomul caracteristic) de (ii) că ζωn = 1 și ωn²= 2k. Prin urmare,

Pentru un Tp dat, putem calcula ωd folosind expresia din tabelul 9.2; k folosind (iv); ζ folosind (iii); și în cele din urmă PO folosind tabelul 9.2.

Alternativ, pentru un anumit PO, putem determina ζ folosind tabelul 9.2; k folosind (iii); ωd folosind (iv); și în final Tp folosind tabelul 9.2. Aceste două seturi de rezultate sunt prezentate în tabelul 9.4.

Notă: Pentru Tp = 0,1 avem PO = 90,5%; Pentru PO = 25% avem Tp = 1,39.

Prin urmare, ambele cerințe nu pot fi îndeplinite cu singurul parametru de proiectare k, așa cum era de așteptat.

(b) Tacho-feedback

Diagrama bloc pentru sistemul tacho-feedback (a) este prezentată în figura 9.9b.

Tahometrul este un senzor de viteză. În mod uzual, tacho-feedback folosește feedback atât de poziție cât și de viteză. Prin urmare, funcția de transfer de feedback este H = 1+τvs, iar din rezultatul standard pentru un sistem cu buclă-închisă (vezi Capitolul 3):

unde k este câștigul proporțional și τv este parametrul de feedback al vitezei (câștigul tacho). Prin compararea cu oscilatorul simplu TF,

Întrucât doi parametri (k și τv) sunt disponibili pentru a îndeplini cele două specificații, este probabil ca obiectivul de proiectare să poată fi atins. Etapele de calcul sunt prezentate mai jos:

Ca și înainte, pentru Tp = 0,1 avem ωd = 10π

De asemenea, pentru PO = 25% avem ζ = 0,404

Prin urmare,

Și ζωn = 0,404 × 10,93π = 13,873

Apoi folosim (v) pentru a calcula k. Înlocuiți în (vi) pentru a calcula τv. Obținem k = 590 și τv = 0,022.

TABEL 9.4 Rezultate pentru controlul poziției

9.4.1.1 Tip de sistem și constante de eroare

Există un offset (adică eroare în stare staționară) atunci când se utilizează controlul proporțional pentru un sistem cu câștig DC finit. Teorema valorii finale (FVT) este utilă în determinarea erorii de stare-staționară.

Teorema valorii finale: valoarea de stare-staționară a unui semnal x(t) este dată de

În care x(s) este transformata Laplace a lui x(t).

Caracteristicile unui sistem pot fi determinate prin aplicarea unei intrări cunoscute (intrare test) și studierea răspunsului rezultat sau a erorii răspunsului. Pentru o intrare dată, eroarea sistemului va depinde de natura sistemului (inclusiv controllerul său). Rezultă că, eroarea, în special eroarea de stare-staționară, la o intrare de test standard, poate fi utilizată ca parametru pentru caracterizarea unui sistem de control. Aceasta este baza definiției constantelor de eroare.

Înainte de a studia acel subiect, ar trebui să explicăm termenul „tip de sistem”. Considerați un sistem de control cu feedback unitate. (Notă: Un sistem cu feedback general poate fi normalizat la un sistem cu feedback unitate). Funcția de transfer directă este G(s).

Tip de sistem: Presupunând că funcția de transfer cu feedback are un câștig DC unitate, tipul de sistem este definit ca numărul de integratoare libere prezente în funcția de transfer directă G(s). De exemplu, dacă nu există integratoare libere, este un sistem de tip-zero. Dacă există un singur integrator liber, este un sistem de tip-1 și așa mai departe.

Constanta de eroare de poziție Kp: Aceasta este dată de

Eroarea de stare-staționară este

Notă: G(0) va fi finit și Kp va exista doar dacă sistemul este de tip zero. Aceasta este denumită constantă de eroare de poziție, deoarece, pentru un sistem de control al poziției, o intrare treaptă poate fi interpretată ca o intrare de poziție constantă.

Constanta de eroare de viteză Kv: Aceasta este dată de

Eroarea de stare-staționară pentru o rampă unitate este o constantă nenulă pentru un sistem tip-1 și este dată de

Constanța Kv este numită constantă de eroare de viteză, deoarece pentru un sistem de control al poziției, o intrare de poziție rampă (cu transformata Laplace 1/s²) este o intrare de viteză constantă.

TABEL 9.5 Dependența erorii de stare-staționară de tipul de sistem

Constanta de eroare de accelerație Ka: Aceasta este dată de

Pentru un sistem de tip-0 sau un sistem de tip-1, această eroare de stare-staționară merge la infinit. Pentru un sistem de tip-2, eroarea de stare-staționară la o intrare parabolică unitate (cu transformata Laplace 1/s³) este totuși finită și este dată de

Constanta Ka este denumită constantă eroare de accelerație deoarece, pentru un sistem de control al poziției, o intrare de poziție parabolică este o intrare de accelerație constantă.

Modul în care eroarea de stare-staționară depinde de tipul sistemului și de intrare este rezumat în tabelul 9.5.

Notă: Pentru buclele de control cu ​​unul sau mai multe integratoare libere (adică sistem de tip-1 sau mai mare), eroarea de stare- staționară la o intrare treaptă ar fi zero. Așa se explică de ce se utilizează controlul integrativ pentru a elimina eroarea de offset în sistemele cu intrări constante, așa cum s-a menționat anterior.

9.4.2 Specificații de performanță folosind planul-s

Planul-s este dat de o axă orizontală corespunzătoare părții reale a lui s și o axă verticală corespunzătoare părții imaginare a lui s. Polii unui oscilator amortizat sunt dați de partea reală - ζωn și partea imaginară ωd din cele două rădăcini. Reamintiți-vă acum expresiile pentru specificațiile de performanță prevăzute în tabelul 9.2. Următoarele fapte sunt clare:

• O „linie de timp de stabilire constantă” este aceeași cu o „linie constantă de timp constantă” (adică o linie verticală pe planul-s).

• O „linie de timp de vârf constant” este aceeași cu o „linie ωd constantă” (adică o linie orizontală pe planul-s).

• O „linie de PO constant” este aceeași cu o „linie de raport de amortizare constantă” (adică o linie radială, cosinus al cărui unghi cu referire la axa reală negativă este egală cu raportul de amortizare ζ - vezi Ecuația 9.5).

FIGURA 9.10 Specificația de performanță pe planul-s:
(a) Timpul de stabilizare; (b) timpul de vârf; (c) depășirea procentuală;
(d) eroare de stare constantă; (e) specificația combinată

Aceste linii sunt prezentate în figura 9.10a până la c. Întrucât un proiect satisfăcător este exprimat printr-o constrângere a inegalității la fiecare dintre parametrii proiectării, am indicat regiunea de proiectare acceptabilă în fiecare caz.

În continuare, considerați o măsură adecvată pe planul-s pentru o eroare în stare-staționară. Reamintim că pentru un sistem de tip-zero, eroarea de stare-staționară la o intrare treaptă scade pe măsură ce crește câștigul buclei. Mai mult, este cunoscut și faptul că frecvența naturală neamortizată ωn crește odată cu câștigul buclei. Rezultă că pentru un sistem cu câștig variabil: O „linie de eroare de stare-staționară constantă” este o „linie ωn constantă” (adică un cerc pe planul-s, cu raza ωn și centrat la originea sistemului de coordonate). Această linie este prezentată în figura 9.10d.

O delimitare de proiectare compusă și o regiune de proiectare (corespunzătoare unei specificații de proiectare combinate) pot fi obținute prin simpla suprapunere a celor patru regiuni date în figura 9.10a până la d. Acest lucru este prezentat în figura 9.10e. Notă: În figura 9.10, am ignorat la început jumătatea dreaptă a planului-s, deoarece ea corespunde unui sistem instabil.

9.5 Stabilitate