Un sistem de control bun trebuie să posede următoarele caracteristici de performanță:

1. Răspuns suficient de stabil (stabilitate). Mai exact, răspunsul sistemului la o excitație de condiție-inițială ar trebui să se redreseze înapoi la starea staționară inițială (stabilitatea asimptotică). Răspunsul la o intrare mărginită trebuie să fie mărginit (intrare-mărginită -ieșire-mărginită - stabilitate BIBO=bounded-input–bounded-output).

2. Răspuns suficient de rapid (viteză de răspuns sau lățime de bandă). Sistemul ar trebui să reacționeze rapid la o intrare de control sau excitație.

3. Sensibilitate scăzută la zgomot, perturbări externe, erori de modelare și variații ale parametrilor (sensibilitate și robustețe).

4. Sensibilitate ridicată la intrările de control (sensibilitate la intrare).

5. Eroare scăzută; de exemplu, urmărirea erorii și eroarea în stare staționară (acuratețe).

6. Cuplare redusă între variabilele sistemului (sensibilitate încrucișată sau cuplare dinamică).

TABEL 9.1 Specificații de performanță pentru un sistem de control

După cum este enumerat aici, unele dintre aceste specificații sunt destul de generale. Tabelul 9.1 rezumă cerințele de performanță tipice pentru un sistem de control. Unele cerințe pot fi contradictorii. De exemplu, răspunsul rapid este adesea obținut prin creșterea câștigului sistemului, iar câștigul crescut crește semnalul de acționare, care are tendința de a destabiliza un sistem de control. Rețineți în continuare că ceea ce este prezentat aici sunt în principal descrieri calitative pentru o performanță „bună”. Însă, în proiectarea unui sistem de control, aceste descrieri trebuie specificate într-o manieră cantitativă. Natura specificațiilor de proiectare cantitativă utilizate depinde considerabil de tehnica de proiectare specifică folosită. Unele dintre specificațiile de proiectare sunt parametrii din domeniul-timp, iar altele sunt parametrii din domeniul-frecvență.

9.3.1 Specificații de performanță în domeniul-timp

Viteza de răspuns și gradul de stabilitate sunt două specificații utilizate frecvent în proiectarea convențională din domeniu-timp al unui sistem de control. Aceste două tipuri de specificații sunt cerințe contradictorii în general. În plus, eroarea de stare staționară este și ea specificată în mod obișnuit. Viteza de răspuns poate fi crescută prin creșterea câștigului sistemului de control. La rândul său, aceasta poate duce la o eroare de stare staționară redusă. În plus, cerința de eroare de stare staționară poate fi adesea satisfăcută prin utilizarea unui control integral. Din aceste motive, mai întâi vom trata viteza de răspuns și gradul de stabilitate ca cerințe pentru specificația de performanță în domeniul-timp, presupunând tacit că nu există nicio eroare de stare staționară. Cerința de eroare de stare staționară va fi tratată separat.

Specificațiile de performanță în domeniul-timp sunt de obicei date în termeni de răspuns al unui sistem oscilator (sub-amortizat) la o intrare treaptă unitară, așa cum se arată în figura 9.6. În primul rând, presupunând că eroarea de stare staționară este zero, rețineți că, în cele din urmă, răspunsul se va stabili la valoarea de stare staționară de unitate. Atunci pot fi stipulate următoarele specificații de performanță:

Timp de vârf (Tp = peak time): Timp în care răspunsul atinge prima valoare maximă.

Timp de creștere (Tr = rise time): Timp în care răspunsul trece prin valoarea stării staționare (normalizat la 1,0) pentru prima dată.

Timp de creștere modificat (Trd): Timpul necesar pentru ca răspunsul să crească de la 0,1 la 0,9.

Timp de întârziere (Td = delay time): Timpul necesar pentru ca răspunsul să ajungă la 0,5 pentru prima dată.

Timp de stabilire la două procente (Ts = settling time): Timpul necesar pentru ca răspunsul să se stabilească în ± 2% din valoarea stării staționare (adică între 0,98 și 1,02).

Mărimea maximă (Mp = peak magnitude): Valoarea de răspuns la momentul de vârf.

Depășirea procentuală (PO = percentage overshoot): aceasta este definită ca fiind

PO = [(mărimea vârfului - valoarea stării staționare)/valoarea stării de echilibru)] × 100% (9.1a)

FIGURA 9.6 Specificații de performanță pentru proiectarea în domeniul-timp
a unui sistem de control

În cazul de față al unității de valoare a stării-staționare, aceasta poate fi exprimată ca:

PO = 100(Mp - 1)% (9.1b)

Rețineți că Tr, Tp, Trd și Td sunt măsuri „mai ales” ale vitezei de răspuns, în timp ce Ts, Mp și PO sunt măsuri „mai ales” ale nivelului de stabilitate. Rețineți, în plus, că Tr, Tp, Mp și PO nu sunt definite pentru răspunsurile ne-oscilatorii. Se pot obține expresii simple pentru aceste specificații de proiectare în domeniu-timp, presupunând că sistemul este aproximat de un simplu oscilator.

Specificațiile referitoare la panta curbei răspuns-treaptă (viteza de răspuns), depășirea procentuală (stabilitate), timpul de stabilizare (stabilitate) și eroarea de stare staționară pot fi, de asemenea, reprezentate ca limite la curba de răspuns la treaptă. Această reprezentare a specificațiilor din domeniul-timp convențional este prezentată în Figura 9.6.

9.3.1.1 Model de oscilator simplu

Un oscilator simplu amortizat (mecanic sau electric) poate fi exprimat prin ecuația diferențială de intrare-ieșire:

unde
u = intrarea (normalizată)
y = ieșirea (normalizată)
ωn = frecvența naturală neamortizată
ζ = raportul de amortizare

Să presupunem că o intrare treaptă unitară este aplicată sistemului. Așa cum este indicat în capitolul 3, răspunsul rezultat al oscilatorului, cu zero condiții inițiale, este dat de

Notă: din Ecuația 9.3 reiese clar că valoarea de echilibru a răspunsului (adică la t → ∞) este 1. Prin urmare, eroarea de stare constantă este zero. Rezultă că modelul actual nu ne permite să abordăm problema erorii de stare constantă.

Răspunsul oferit de ecuația 9.3 este de forma prezentată în figura 9.6. În mod clar, primul vârf al răspunsului are loc la sfârșitul primei jumătăți a ciclului (amortizat). Rezultă că timpul de vârf este dat de

Mărimea maximă Mp și procentul de depășire PO sunt obținute prin înlocuirea ecuației 9.6 în 9.3; prin urmare,

Notă: Pentru a obține acest rezultat am folosit faptul că sin φ = √1-ζ². Alternativ, înlocuind ecuațiile 9.4 și 9.6 în 9.8a obținem

Timpul de stabilire este determinat de anvelopa de scădere exponențială a ecuației 9.3. Timpul de stabilire de 2% este dat de

Pentru rapoarte mici de amortizare, Ts este aproximativ egală cu 4 (ζωn). Acest lucru ar trebui să fie clar din faptul că exp (−4) ≈ 0,02. Rețineți în plus că polii (valori proprii) sistemului, așa cum sunt dați de rădăcinile ecuației caracteristice s² + 2ζω_ns + ωn² = 0 sunt p1, p2 = −ζωn ± jωd. Rezultă că constanta de timp a sistemului (inversul părții reale a polului dominant) este

Prin urmare, o expresie aproximativă pentru timpul de stabilire de 2% este

Timpul de creștere se obține substituind y = 1 în ecuația 9.11 și rezolvând pentru t. Aceasta dă sin (ωdTr + ϕ) = 0 sau

În care unghiul de fază ϕ este direct legat de raportul de amortizare, prin ecuația 9.5.

Expresiile pentru specificațiile de performanță, obținute folosind modelul oscilatorului simplu, sunt rezumate în tabelul 9.2. Pentru un sistem de ordin superioar, atunci când este cazul, raportul de amortizare și frecvența naturală necesare pentru a evalua aceste expresii pot fi obținute din perechea de poli complexă dominantă a sistemului.

TABEL 9.2 Expresii analitice pentru performanța din domeniu-timp

În proiectarea convențională în domeniu-timp, specificația stabilitate relativă este de obicei furnizată de o limită a depășirii procentuale (PO = percentage overshoot). Acest lucru poate fi legat de raportul de amortizare (ζ) folosind o curbă de proiectare.

Exemplul 9.1

Un sistem de control trebuie să aibă o depășire procentuală mai mică de 10% și un timp de stabilizare (settling time) mai mic de 0,8s. Indicați această specificație de proiectare ca regiune pe planul-s.

Soluţie

O depășire (overshoot) de 10% înseamnă (vezi tabelul 9.2):

Prin urmare, ζ = 0,60 = cos ϕ sau: ϕ = 53°

În continuare, Ts de 0,8 s înseamnă (a se vedea tabelul 9.2): Ts = 4τ = 4/ζωn = 0,8 sau: ζωn = 5,0.

Pentru specificațiile date, avem nevoie de ϕ ≤ 53° și ζωn ≥ 5.0. Regiunea corespunzătoare de pe planul-s este dată de zona umbrită în figura 9.7.

Notă: În acest exemplu, dacă am fi specificat și o specificație Tp, atunci aceasta ar corespunde cu un ωd specific. Aceasta va duce la o linie orizontală a liniei pentru regiunea de proiectare din figura 9.7.

Figura 9.7 Specificații de proiectare pe planul-s

9.4 Scheme de control