Modelul funcției de transfer G(s) al unui sistem SISO (single-input single output) poate fi reprezentat de un singur bloc cu o intrare și o ieșire. Un dezavantaj al acestei reprezentări este faptul că nici o informație cu privire la modul în care diferitele elemente sau componente care sunt interconectate în cadrul sistemului pot fi determinate în mod unic din funcția de transfer. Nu conține decât o descriere unică de intrare-ieșire. Totuși, structura internă a unui sistem dinamic poate fi indicată printr-o reprezentare grafică mai elaborată. O astfel de reprezentare este oferită de grafuri liniare. O altă reprezentare detaliată poate fi furnizată de o diagramă bloc cu multe blocuri reprezentând elemente sau componente de sistem care sunt conectate între ele. O astfel de diagramă bloc detaliată poate fi utilizată pentru a indica în mod unic variabilele de stare într-un anumit model.

FIGURA 3.35 O reprezentare diagramă-bloc a unui model spațiu-stare

De exemplu, considerați ecuațiile modelului spațiu-stare (3.5) și (3.6). O diagramă bloc care deține unic acest model este prezentată în figura 3.35. Rețineți calea de avans care corespunde cu D. Căile de feedback (corespunzătoare lui A) nu reprezintă neapărat un sistem de control cu feedback (unde un controler extern generează căi de feedback „active”). Căile de feedback interne prezentate în figura 3.35 sunt căi de feedback naturale.

Într-o diagramă bloc, două sau mai multe blocuri în cascadă pot fi înlocuite cu un singur bloc având produsul funcțiilor de transfer individuale. Cercul din figura 3.35 este o joncțiune de însumare. Un semn negativ la vârful săgeții al unui semnal de intrare corespunde scăderii acelui semnal. Așa cum am menționat anterior, 1/s poate fi interpretat ca integrare, și s ca diferențiere.

În generarea și simplificarea diagramelor bloc, regulile indicate în tabelul 3.10 sunt destul de utile. Toate intrările din tabel sunt destul de evidente și pot fi verificate prin inspecție.

TABELUL 3.10 Relații de bază pentru reducerea diagramei bloc

Notăm următoarele:

1. Cerc (joncțiune de însumare): Două sau mai multe semnale sunt adunate formând noi semnale.

Notă: Semn negativ în vârful săgeții semnalului de intrare → Scădeți semnalul

2. Două sau mai multe blocuri în cascadă = Un singur bloc având produsul funcțiilor de transfer individuale.

3. Două sau mai multe blocuri în paralel = Un singur bloc având suma funcțiilor de transfer individuale.

Totuși, o explicație este potrivită pentru ultima intrare în tabel, unde este dat blocul echivalent pentru o buclă de feedback. Rezultatul poate fi obținut după cum urmează:

Semnalul de feedback la joncțiunea de însumare = −Hx2

Prin urmare, semnalul care ajunge la blocul G este x1 - Hx2

În consecință, ieșirea blocului G este G(x1 - Hx2) care este egală cu x2. Avem: G(x1 - Hx2) = x2

Algebra directă dă

Echivalența din figura 3.35 și relațiile (3.5) și (3.6) ar trebui să fie evidente. În mod alternativ, regulile pentru reducerea diagramei bloc (date în tabelul 3.10) pot fi utilizate pentru a arăta că funcția de transfer a sistemului este dată de

Aceasta este versiunea scalară a ecuației matrice-vector 5.15a.

3.9.1 Diagrame bloc de simulare

Într-o diagramă bloc de simulare, fiecare bloc conține fie un integrator (1/s), fie un termen de câștig constant. Denumirea provine de la aplicațiile de calculator analogice clasice în care modulele hardware ale amplificatoarelor de însumare și integratoarelor (împreună cu alte unități, cum ar fi potențiometre și rezistoare) sunt interconectate pentru a simula sisteme dinamice. Recent, același tip de diagrame bloc a fost utilizat pe scară largă în scopul simulării computerizate a sistemelor dinamice, de exemplu, în instrumente software precum Simulink.

În concluzie,

O diagramă bloc de simulare constă numai din

1. Blocuri de integrare

2. Blocuri de câștig constant

3. joncțiuni de însumare

Într-o diagramă bloc de simulare, avem

1. Variabilele de stat = Ieșiri ale integratoarelor

2. Ecuații de stat = Ecuații pentru semnalele care intră în blocurile de integrare

3. Ecuația de ieșire algebrică = Ecuația pentru joncțiunea de însumare care generează y (extrema dreaptă)

De asemenea, diagramele bloc de simulare

• Sunt utile în simularea pe computer a sistemelor dinamice

• Pot fi obținute din modele de intrare-ieșire (vezi exemplele date în continuare) sau modele de spațiu-stare (a se vedea exemplul anterior sau exemplele următoare)

• Pot fi folosite pentru a dezvolta modele spațiu-stare

• Nu sunt unice (sunt posibile multe forme pentru un anumit sistem)

3.9.2 Principiul suprapunerii

Pentru un sistem liniar, se aplică principiul suprapunerii. În special dacă, cu condiții inițiale zero, x este răspunsul unui sistem la o intrare u, atunci d^rx/dt^r este răspunsul la intrarea d^ru/dt^r. Prin urmare, prin principiul suprapunerii, α1x + α2d^rx/dt^r este răspunsul la intrarea α1u + α2d^ru/dt^r. Această formă a principiului suprapunerii este destul de utilă în gestionarea analitică a diagramelor bloc.

3.9.3 Cauzalitate și realizare fizică

Considerați un sistem dinamic care este reprezentat de modelul cu o singură ecuație diferențiale de intrare-ieșire (3.41), cu n > m. Realizabilitatea fizică a sistemului ar trebui să dicteze cauzalitatea (cauza-efect) a acestui sistem că u ar trebui să fie intrarea și y ar trebui să fie ieșirea. Funcția sa de transfer este dată de ecuația 3.42. Aici, n este ordinul sistemului, Δ(s) este polinomul caracteristic (de ordin n), iar N(s) este polinomul numărător (de ordinul m) al sistemului.

Putem dovedi cele de mai sus prin contradicție. Să presupunem că m > n. Atunci, dacă integrăm ecuația 3.41 de n ori, vom avea y și integralele sale pe partea stângă, dar partea dreaptă va conține cel puțin o derivată a lui u. Deoarece derivata unei funcții treaptă este un impuls, acest lucru implică faptul că o modificare finită în intrare va duce la o schimbare infinită a ieșirii (răspuns). Un astfel de scenariu va necesita o putere infinită și nu este realizabil fizic. Rezultă că un sistem realizabil fizic nu poate avea un ordin al numărătorului mai mare decât ordinul numitorului, în funcția sa de transfer. Dacă de fapt m > n, ceea ce înseamnă fizic este că y ar trebui să fie intrarea sistemului și u ar trebui să fie ieșirea sistemului.

Cu alte cuvinte, cauzalitatea trebuie inversată în acest caz. Pentru un sistem realizabil fizic, se poate stabili o diagramă bloc de simulare folosind integralele (1/s) singure, fără a fi nevoie de derivate (s). Rețineți că derivatele pure nu sunt realizabile fizic. Dacă m > n, diagrama blocului de simulare va avea nevoie de cel puțin o derivată pentru a face legătura între u și y. Acest lucru nu va fi, din nou, realizabil din punct de vedere fizic, deoarece ar presupune posibilitatea de a produce un răspuns infinit printr-o intrare finită. Cu alte cuvinte, diagrama bloc de simulare a unui sistem realizabil fizic nu va necesita căi de avans care conțin derivate pure.

3.10 Analiza răspunsului