Transformata Fourier Y(f) a unui semnal y(t) leagă domeniul-timp de domeniul-frecvență. Mai exact,

Utilizând terminologia operatorului Fourier,

Rețineți că, dacă y(t) = 0 pentru t < 0, ca în definiția convențională a excitațiilor și răspunsurilor sistemului, transformata Fourier se obține din transformata Laplace prin simpla schimbare a variabilei conform cu s = j2πf sau s = jω. Transformata Fourier este un caz special al transformatei Laplace unde, în ecuația B.2, σ = 0:

Funcția (complexă) Y(f) este denumită, de asemenea, spectrul Fourier (continuu) al semnalului (real) y(t). Transformata inversă este dată de

Rețineți că, conform definiției date de ecuația B.13, spectrul Fourier Y(f) este definit pentru întregul interval de frecvență f(-∞,+∞), care include valori negative. Acesta este denumit spectrul bilateral. Întrucât în ​​aplicațiile practice nu este posibil să existe „frecvențe negative”, spectrul unilateral este de obicei definit doar pentru intervalul de frecvență f(0, ∞).

Pentru ca un spectru bilateral să aibă aceeași cantitate de putere ca și un spectru unilateral, este necesar ca spectrul unilateral să se facă dublul spectrului bilateral pentru f > 0.

Dacă semnalul nu este suficient de tranzitoriu (cu decădere rapidă sau amortizat), integrala infinită dată de Ecuația B.13 ar putea să nu existe, dar transformata Laplace corespunzătoare ar putea exista.

B.4.1 Funcția de răspuns-frecvență (funcția de transfer în frecvență)

Transformata integrală Fourier a funcției răspuns-impuls este dată de

unde f este frecvența ciclică (măsurată în cicluri/s sau hertz). Aceasta este cunoscută ca funcție de răspuns-frecvență (sau funcție de transfer în frecvență) a unui sistem. Operația transformatei Fourier este notată ca

Având în vedere faptul că h(t) = 0 pentru t < 0, limita inferioară de integrare în Ecuația B.18 ar putea fi făcută zero. Apoi, din Ecuația B.9, aceasta este clar că H(f) se obține doar prin setarea s = j2πf în H(s). Prin urmare, strict vorbind, ar trebui să folosim notația H(j2πf) și nu H(f). Dar pentru simplitatea notațională, notăm H(j2πf) cu H(f). Mai mult, având în vedere că frecvența unghiulară ω = 2πf, putem exprima funcția de răspuns în frecvență cu H(jω) sau pur și simplu cu H(ω) pentru comoditatea notațională. Trebuie remarcat că funcția de răspuns-frecvență, precum funcția de transfer (Laplace), este o reprezentare completă a unui sistem liniar, cu parametri constanți. Având în vedere faptul că ambele u(t) = 0 și y(t) = 0 pentru t < 0, putem scrie transformatele Fourier ale intrării și ieșirii unui sistem direct prin setarea s = j2πf = jω în Transformate Laplace corespunzătoare.

Atunci, din Ecuația B.8, avem

Notă: Uneori, pentru comoditate notațională, se folosesc aceleași litere mici pentru a reprezenta transformatele Laplace și Fourier, precum variabilele originale ale domeniului-timp.

Dacă există o transformată integrală Fourier a unei funcții, există și transformata Laplace. În schimb, inversul nu este adevărat, din cauza unei convergențe slabe a integralei Fourier în comparație cu integrala Laplace. Aceasta rezultă din faptul că factorul exp (−σt) nu este prezent în integrala Fourier. Pentru un sistem realizabil fizic, liniar, cu parametri constanți, H(f) există chiar dacă U(f) și Y(f) nu există pentru o anumită intrare. Determinarea experimentală a lui H(f) necesită, totuși, stabilitatea sistemului. Pentru sistemul de ordinul al n-lea dat de ecuația B.10, funcția de răspuns-frecvență este determinată prin setarea s = j2πf în ecuația B.12 ca

Aceasta este, în general, o funcție complexă de f, care are o magnitudine notată prin |H(f)| și un unghi de fază notat cu ∠H(f).