Am observat că variabila Laplace s este o variabilă complexă cu o parte reală și o parte imaginară. Prin urmare, pentru a o reprezenta va fi nevoie de două axe în unghi drept una cu cealaltă - axa reală și axa imaginară. Aceste două axe provin dintr-un plan, care este numit planul-s. Orice valoare generală a lui s (sau orice variație sau urmă a lui s) poate fi marcată pe planul-s.

B.5.1 O interpretare a transformatelor Laplace și Fourier

În transformata Laplace a unei funcții f(t), înmulțim funcția prin e^-st și integrăm în raport cu t. Acest proces poate fi interpretat ca determinarea „componentelor” F(s) ale lui f(t) în „direcția” e^-st, unde s este o variabilă complexă. Toate astfel de componente F(s) ar trebui să fie echivalente cu funcția inițială f(t).

În transformata Fourier a lui f(t), o înmulțim prin e^-jωt și integrăm în raport cu t. Aceasta este aceeași cu setarea s = jω. Prin urmare, transformata Fourier a lui f(t) este F(jω). Mai mult, F(jω) reprezintă componentele lui f(t) care sunt în direcția e^-jωt. Deoarece e^-jωt = cos ωt - jsin ωt, în transformata Fourier, ceea ce este de făcut este să determinăm componentele sinusoidale de frecvență ω ale unei funcții de timp f(t). Deoarece s este complex, F(s) este complexă și așa este și F(jω). Prin urmare, trebuie toate să aibă o parte reală și o parte imaginară.

B.5.2 Aplicație în analiza circuitelor

Faptul că sin ωt și cos ωt sunt defazate cu 90° este confirmat în continuare

Considerați circuitul R-L-C prezentat în figura B.2. Pentru condensator, curentul (i) și tensiunea (v) sunt legate prin

Dacă tensiunea v = vo sin ωt, curentul i = voωC cosωt. Rețineți că magnitudinea lui v/i este 1/ωC (sau 1/2πfC unde ω = 2πf; f este frecvența ciclică și ω este frecvența unghiulară). Dar v și i sunt defazate cu 90°. De fapt, în cazul unui condensator, i conduce v cu 90°. Rezistența circuitului echivalent unei capacități se numește reactanță și este dată de

FIGURA B.2 (a) Circuitul R-L-C serie;
(b) faze ale căderilor de tensiune;
(c) triunghiul impedanței

Rețineți că acest parametru se schimbă cu frecvență.

Nu putem aduna algebric reactanța condensatorului și rezistența rezistorului; trebuie să le adunăm vectorial, deoarece tensiunile pe condensator și rezistor în serie nu sunt în fază, spre deosebire de cazul unui rezistor. De asemenea, rezistența unui rezistor nu se schimbă cu frecvența. Într-un circuit serie, ca în figura B.2, curentul este identic pentru fiecare element, dar tensiunile diferă în amplitudine și în fază; într-un circuit paralel, tensiunile sunt identice, dar curenții diferă în amplitudine și în fază.

În mod similar, pentru un inductor avem

Reactanța corespunzătoare este

Dacă tensiunea (E) pe R din figura B.2a este în direcția prezentată în figura B.2b (adică, indicând spre dreapta), atunci tensiunea pe inductorul L trebuie să fie orientată în sus (conduce cu 90°) și tensiunea pe condensatorul C trebuie să fie orientată în jos (întârzie cu 90°). Deoarece curentul (I) este identic în fiecare componentă a unui circuit serie, vedem direcțiile IR, IXL și IXC ca în figura B.2b dând triunghiul de impedanță prezentat în figura B.2c.

Pentru o exprima aceste reactanțe în domeniu-s, se înlocuiește pur și simplu s pentru jω:

Impedanța serie a unui circuit R-L-C poate fi exprimată ca:

În această discuție, rețineți utilizarea lui √-1 sau j pentru a indica o schimbare de fază de 90°.