A.1.1 Componentele deformației

Prin definiție, pentru deformațiile u, v și w în direcțiile carteziene x, y și z, avem componentele corespunzătoare de deformație directă (ε) și deformație de forfecare (γ):

A.1.2 Ecuații constitutive

Acestea sunt solicitări (solicitare directă σ sau solicitare de forfecare τ) față de deformație (deformație directă ε sau deformație de forfecare γ)

Ipoteze:

1. Elastic liniar ⇒ relațiile solicitare-deformație sunt de gradul 1

2. Omogen ⇒ material uniform

3. Izotrop ⇒ proprietățile materialului sunt independente de direcție

Ne dă

Aici
E este modulul lui Young (de elasticitate)
ν este raportul lui Poisson

Pe lângă aceste șase ecuații constitutive, avem următoarele ecuații.

A.1.3 Ecuații de echilibru

Din echilibrul unui paralelipiped δx × δy × δz, obținem

Avem trei ecuații de echilibru.

Notă: Xj este forța corpului pentru direcția j.

Acum luând momentul în jurul axei centrale, anulăm δx × δy × δz, și apoi neglijăm termenii lui O(δ) [Notă: forțele corpului și derivatele conțin multiple O(δ); neglijați-le], obținem

σij = σji (În lipsa momentelor corpului) (A.4)

A.1.4 Ecuații de compatibilitate

Compatibilitate înseamnă că, pe lângă continuitate, nu există kink-uri (singularități geometrice). Acestea sunt ecuații satisfăcute de derivatele secunde ale deformațiilor. Ele se obțin prin diferențierea dublă (A.1) și prin eliminarea termenilor care conțin u, v și w. Există șase ecuații de compatibilitate.

Solicitări principale: solicitări directe maxime sau minime. Pe planurile corespunzătoare, solicitarea de forfecare va fi zero.

Deformații principale: deformații directe maxime sau minime. Pe planurile corespunzătoare, deformațiile de forfecare vor fi zero.

Notă: Pentru solide izotrope, planurile principale de solicitare și deformație coincid.