3.2 Sisteme și modele dinamice
3.2.1 Terminologie
3.2.2 Modele dinamice
3.2.3 Model concentrat al unui sistem distribuit
Fiecare componentă sau element interacționat al unui sistem de inginerie va avea o relație intrare-ieșire (sau cauză-efect sau cauzală). Un model analitic (sau model matematic) cuprinde ecuații (de exemplu, ecuații diferențiale) sau un set echivalent de informații, care reprezintă sistemul într-un anumit grad de precizie. Alternativ, un set de curbe, date digitale (de exemplu, matrici sau tabele) stocate într-un computer și alte date numerice - mai degrabă decât un set de ecuații - pot fi denumite un model, strict un model numeric (sau model experimental) din care se poate stabili sau „identifica” un model analitic reprezentativ (subiectul aferent se numește „identificare model” sau „identificare sistem” în subiectul controlului automat).
3.2.1 Terminologie
O reprezentare generală a unui sistem dinamic este dată în figura 3.1. Unii termeni utili sunt definiți mai jos.
Sistem: Colecție de componente în interacțiune care sunt demarcate de o graniță a sistemului.
Sistem dinamic: sistem ale cărui rate de variații ale variabilelor de răspuns/stare nu pot fi neglijate.
FIGURA 3.1 Nomenclatorul unui sistem dinamic
Instalație sau proces: Sistemul care trebuie controlat.
Intrări: Excitații (cunoscute sau necunoscute) aplicate sistemului.
Ieșiri: Răspunsurile sistemului.
Variabile de stare: un set minim de variabile care identifică complet starea „dinamică” a sistemului. Notă: Dacă variabilele de stare la o stare în timp și intrările de la acea stare până la o stare viitoare sunt cunoscute, starea viitoare poate fi complet determinată.
Sistem de control: sistemul care include cel puțin instalația și controlerul acesteia. Poate include alte subsisteme și componente (de exemplu, senzori, condiționarea semnalului și modificări).
Sistemele dinamice nu sunt neapărat sisteme de inginerie, fizice sau create de om. Câteva exemple de sisteme dinamice cu intrările și ieșirile lor reprezentative sunt prezentate în tabelul 3.1. Încercați să identificați mai multe intrări cunoscute și aplicate în mod deliberat; intrări necunoscute și/sau nedorite (de exemplu, perturbări); ieșiri dorite și ieșiri nedorite pentru fiecare din aceste sisteme.
Tabelul 3.1 Exemple de sisteme dinamice
3.2.2 Modele dinamice
3.2.2.1 Complexitatea modelului
Nu este realist să încercăm să dezvoltăm un „model universal” care să încorporeze toate aspectele imaginabile ale sistemului. De exemplu, un model de automobil care va reprezenta simultan calitatea de rulare, puterea, viteza, consumul de energie, caracteristici de tracțiune, manevrabilitate, rezistența structurală, capacitatea, caracteristici de încărcare, costul, siguranța și așa mai departe nu este foarte practic și poate fi imposibil de complex. Modelul trebuie să fie cât se poate de simplu și poate aborda doar câteva aspecte specifice de interes pentru studiul sau aplicația particulară. Modelarea aproximativă și reducerea modelului sunt subiecte relevante în acest context.
3.2.2.2 Tipuri de model
În general, modelele pot fi grupate în următoarele categorii:
1. Modele fizice (prototipuri)
2. Modele analitice
3. Modele pe computer (numerice) (tabele de date, matrici, curbe, programe, fișiere etc.)
4. Modele experimentale (utilizați date experimentale de intrare-ieșire pentru „identificarea” modelului )
Principalele avantaje ale modelelor analitice (și ale modelelor pe computer) față de modelele fizice sunt următoarele:
1. Computerele moderne, de mare capacitate, de mare viteză, pot gestiona modele analitice complexe la viteză mare și costuri reduse
2. Modelele analitice/pe computer pot fi modificate rapid, convenabil și cu viteză mare la costuri reduse
3. Există o flexibilitate ridicată a modificărilor structurale și parametrice
4. Se aplică direct în simulările pe computer
5. Modelele analitice pot fi ușor integrate cu modele pe computer/numerice/experimentale, pentru a genera modele „hibride”
6. Modelarea analitică poate fi făcută bine înainte de construirea unui prototip (de fapt, acest pas poate fi important pentru a decide dacă se face prototipul)
3.2.2.3 Tipuri de modele analitice
Există multe tipuri de modele analitice. Acestea includ următoarele:
1. Model în domeniu-timp: Ecuații diferențiale cu timpul t ca variabilă independentă
2. Model funcție de transfer: Transformata Laplace a variabilei de ieșire împărțită la transformata Laplace a variabilei de intrare (ecuația algebrică cu variabila Laplace s ca variabilă independentă)
3. Model în domeniu-frecvență: Funcția de transfer în frecvență (sau funcția de răspuns în frecvență), care este un caz special al funcției de transfer Laplace, cu s = jω. Variabila independentă este frecvența ω.
4. Model neliniar: Ecuații diferențiale neliniare (principiul suprapunerii nu este valabil)
5. Model liniar: Ecuații diferențiale liniare (principiul suprapunerii se menține)
6. Model cu parametru distribuit (sau continuu): Ecuații diferențiale parțiale (variabilele dependente sunt funcții de timp și spațiu)
7. Model cu parametri concentrați: ecuații diferențiale obișnuite (variabilele dependente sunt funcții de timp, nu de spațiu)
8. Model variabil în timp (sau nestaționar sau neautonom): Ecuații diferențiale cu coeficienți variind în timp (parametrii modelului variază cu timpul)
9. Model invariant în timp (sau staționar sau autonom): Ecuații diferențiale cu coeficienți constanți (parametrii modelului sunt constanți)
10. Model aleatoriu (stocastic): Ecuații diferențiale stocastice (variabile și/sau parametri guvernate de distribuții de probabilitate)
11. Model determinist: Ecuații diferențiale nestocastice
12. Model de timp continuu: Ecuații diferențiale (variabila de timp este definită continuu)
13. Model de timp discret: Ecuații de diferență (variabila de timp este definită ca valori discrete la o secvență de puncte de timp)
14. Model de funcție de transfer discretă: transformata z a ieșirii în timp discret împărțită la transformata z a intrării în timp discret
3.2.2.4 Principiul suprapunerii
Toate sistemele practice pot fi neliniare până la o anumită măsură. Dacă neliniaritatea este neglijabilă, pentru situația luată în considerare, sistemul poate fi presupus liniar. Deoarece sistemele/modelele liniare sunt mult mai ușor de gestionat (a analiza, simula, proiecta, controla etc.) decât sistemele/modelele neliniare, liniarizarea unui model neliniar, care poate fi valabilă pentru o gamă limitată sau un set de condiții de operare, ar putea fi necesară. Acest subiect va fi studiat în detaliu într-un alt capitol.
Toate sistemele (modele) liniare satisfac principiul suprapunerii. Un sistem este liniar dacă și numai dacă principiul suprapunerii este satisfăcut. Acest principiu afirmă că, dacă y1 este ieșirea sistemului atunci când intrarea în sistem este u1, iar y2 este ieșirea când intrarea este u2, atunci α1∙ y1 + α2∙ y2 este ieșirea când intrarea este α1∙ u1 + α2∙ u2 unde α1 și α2 sunt constante reale. Această proprietate este reprezentată grafic în figura 3.2a.
FIGURA 3.2 Proprietățile unui sistem liniar: (a) Principiul suprapunerii;
(b) interschimbabilitatea în conexiunea serie
O altă proprietate importantă care este satisfăcută de sistemele liniare este interschimbabilitatea în conexiunea serie. Acest lucru este ilustrat în figura 3.2b. În mod specific, sistemele liniare (sau subsistemele sau componentele sau elementele) conectate secvențial pot fi schimbate între ele fără a afecta ieșirea sistemului general pentru o intrare dată. Rețineți că interschimbabilitatea în conexiune paralelă este un fapt banal, care este, de asemenea, satisfăcut.
În această carte, vom studia/folosi următoarele tehnici de modelare pentru analiza răspunsului, simularea și controlul unui sistem mecatronic:
1. Modele de stare: Acestea folosesc variabile de stare (de exemplu, poziția și viteza maselor concentrate, forța și deplasarea în arcuri, curent printr-un inductor, tensiune pe un condensator) pentru a reprezenta starea sistemului, în termeni la care răspunsul sistemului poate fi exprimat. Acestea sunt modele din domeniu-timp, cu timpul t ca variabilă independentă
2. Grafuri liniare: Acestea folosesc grafuri de linie unde fiecare linie reprezintă o componentă de bază a sistemului, cu un capăt ca punct de acțiune și celălalt capăt ca punct de referință. Ele sunt deosebit de utile în dezvoltarea unui model de stare.
3. Modele ca funcții de transfer, inclusiv modele din domeniu-frecvență
3.2.3 Model concentrat al unui sistem distribuit
Într-un model cu parametri concentrați, diverse caracteristici ale sistemului sunt concentrate în elemente reprezentative situate la un set discret de puncte într-un spațiu geometric. Modelele analitice corespunzătoare sunt ecuații diferențiale obișnuite. În majoritatea sistemelor fizice, proprietățile sunt distribuite continuu în diverse componente sau regiuni; au componente distribuite (sau continue). Pentru a reprezenta parametrii sistemului care sunt distribuiți continuu în spațiu, avem nevoie de coordonate spațiale. Aceste sisteme dinamice au coordonatele de timp (t) și spațiu (de exemplu, x, y și z) ca variabile independente. Modelele analitice corespunzătoare sunt ecuații diferențiale parțiale. Pentru comoditate analitică, putem încerca să aproximăm astfel de modele cu parametri distribuiți cu cele cu parametri concentrați. Acuratețea modelului poate fi îmbunătățită prin creșterea numărului de elemente discrete într-un astfel de model, de exemplu, prin utilizarea tehnicilor cu elemente finite. Având în vedere comoditatea lor, modelele cu parametri concentrați sunt utilizate mai frecvent decât modelele cu parametri continui. Pentru a îmbunătăți acuratețea modelului, pot fi incluse elemente cu parametri continui dealtfel în modele cu parametri concentrați.
3.2.3.1 Arcul puternic
Un arc bobină are o masă, un efect elastic (arc) și o caracteristică de disipare a energiei, fiecare fiind distribuit pe întreaga bobină. Masa distribuită a arcului are capacitatea de a stoca energia cinetică prin dobândirea vitezei. Energia cinetică stocată poate fi recuperată ca lucru realizat printr-un proces de frânare. Mai mult, având în vedere flexibilitatea distribuită a bobinei, fiecare element mic din bobină are capacitatea de a stoca energia potențială elastică printr-o deflecție reversibilă (elastică). Dacă bobina s-ar mișca în direcția verticală, ar exista schimbări în energia potențială gravitațională, dar putem ignora acest lucru în studiile de răspuns dinamic dacă deflecțiile sunt măsurate de la poziția de echilibru static a sistemului. Bobina se va încălzi, fără îndoială, va produce zgomote, iar în timp se va uza la articulații, dovezi clare ale capacității sale de disipare a energiei. O altă indicație de amortizare este oferită de faptul că atunci când bobina este presată și eliberată, aceasta va ajunge în cele din urmă în repaos; lucrul depus prin presarea bobinei este complet disipată. Adesea, un model cu parametri discreți sau concentrați este suficient pentru a prezice răspunsul sistemului la o funcție de forțare. De exemplu, dacă energia cinetică maximă este mică în comparație cu energia potențială elastică maximă în general (particular valabilă pentru bobine ușor rigide și la frecvențe joase de oscilație), și dacă în plus, rata de disipare a energiei este relativ mică (determinată în raport cu intervalul de timp de interes), bobina poate fi modelată numai printr-un element de rigiditate (arc) discretă (concentrată). Acestea sunt decizii de modelare.
Într-un model analitic, caracteristicile individuale distribuite ale inerției, flexibilității și disipării unui arc puternic pot fi aproximate de un element masă separat, un element arc și un element amortizor, care sunt interconectate într-o configurație oarecum serie-paralel a unui model cu parametri concentrați. Întrucât un arc puternic are masa distribuită continuu în tot corpul, are un număr infinit de grade de libertate. O singură coordonată nu poate reprezenta mișcarea sa. Dar, în scopuri practice, ar fi suficientă o aproximare a parametrului concentrat cu o singură masă concentrată pentru a reprezenta caracteristicile inerțiale ale arcului. O astfel de aproximare poate fi obținută folosind una dintre mai multe abordări, de exemplu, echivalența energetică și echivalența frecvenței naturale.
3.2.3.1.1 Echivalența energiei cinetice
Luați în considerare arcul uniform, puternic prezentat în figura 3.3, cu un capăt fixat și celălalt capăt mișcându-se la viteza v. Rețineți că: ms = masa arcului; k = rigiditatea arcului; și l = lungimea arcului.
FIGURA 3.3 (a) Un arc puternic uniform; (b) reprezentarea analitică
Având în vedere distribuția liniară a vitezei de-a lungul arcului, cu viteză zero la capătul fix și v la capătul liber (figura 3.3b), viteza locală a unui element infinitesimal δx a arcului este dată de (x/l)v. Masa elementului = (ms/l) δx. De aici, de energia cinetică a elementului
În timp la limită, avem δx → dx. În consecință, prin efectuarea integrării necesare, ne dă
Prin urmare,
Masa echivalentă concentrată la capătul liber = 1/3 × masa arcului (3.1)
Notă: Această derivare presupune că un capăt al arcului este fixat și, în plus, condițiile sunt uniforme de-a lungul arcului.
3.2.3.1.2 Echivalența frecvenței naturale
Aici obținem un model echivalent cu parametri concentrați, echivalând frecvența naturală fundamentală (cea mai joasă) a sistemului cu parametri distribuiți cu frecvența naturală a modelului cu parametri concentrați (în cazul cu un grad de libertate). Vom ilustra abordarea noastră folosind un exemplu.
În figura 3.4a este prezentat un arc puternic de masă ms și rigiditate ks cu un capăt fixat și celălalt capăt atașat la o masă glisantă m. Dacă masa m este suficient de mare față de ms, atunci la frecvențe relativ înalte, masa va sta aproape nemișcată. În aceste condiții, avem configurația prezentată în figura 3.4b unde cele două capete ale arcului sunt fixate. De asemenea, aproximați masa distribuită cu o masă echivalentă me în punctul de mijloc al arcului: fiecare segment de arc are dublul rigidității arcului inițial.
FIGURA 3.4 (a) O masă concentrată conectată la un sistem cu parametri distribuiți; (b) un model cu parametri concentrați ai sistemului
Prin urmare, rigiditatea generală este de 4 ks. Frecvența naturală a modelului-concentrat este
(3.2)
Se știe, dintr-o analiză completă a unui arc puternic (care este în afara scopului prezent), că frecvența naturală pentru configurația fix-fix este
(3.3)
unde n este numărul modului. Atunci, pentru modul fundamental (primul) (adică n = 1), echivalența frecvenței naturale dă sau,
(3.4)
Notă: Deoarece efectul inerției scade odată cu creșterea frecvenței, nu este necesar să se ia în considerare cazul frecvențelor înalte.
Echivalența frecvenței naturale poate fi generalizată ca o echivalență a valorii proprii (echivalență pol) pentru orice sistem dinamic. În această abordare generală, valorile proprii ale modelului cu parametri concentrați sunt echivalate cu valorile proprii corespunzătoare ale sistemului de parametri distribuiți, iar parametrii modelului sunt determinați în consecință.