Dintre instrumentele grafice pentru dezvoltarea și reprezentarea unui model de sistem mecatronic, un loc important îl ocupă grafurile liniare. În particular, modelele spațiu-stare ale sistemelor dinamice cu parametri concentrați (mecanice, electrice, fluide, termice sau cu mai multe domenii sau mixte) pot fi dezvoltate în mod convenabil prin grafuri liniare. Segmentele de linie interconectate (numite ramuri) sunt utilizate într-un graf liniar pentru a reprezenta un model dinamic. Termenul „graf liniar” provine din această utilizare a segmentelor de linie și nu înseamnă că sistemul însuși trebuie să fie liniar. Avantajele deosebite ale utilizării grafurilor liniare pentru elaborarea și reprezentarea modelului sunt: ​​ele permit vizualizarea structurii sistemului (înainte de a formula un model analitic); ele ajută la identificarea asemănărilor (structură, performanță etc.) în diferite tipuri de sisteme; sunt aplicabile pentru sisteme cu mai multe domenii (aceeași abordare este folosită în orice domeniu); și oferă o abordare unificată a dispozitivelor multifuncționale de model (de exemplu, un dispozitiv piezoelectric care poate funcționa atât ca senzor cât și ca actuator.

3.6.1 Variabile și convenția de semn

Fiecare ramură din modelul de graf liniar are o variabilă through și o variabilă across asociată cu ea. Produsul lor este variabila putere. Este important să respectăm convențiile standard și uniforme, astfel încât să nu existe ambiguități într-o reprezentare de graf liniar dat. În particular, trebuie să se stabilească o convenție cu semne standard.

3.6.1.1 Convenția de semn

Considerați figura 3.14 unde este prezentat un element de bază general (strict, un element cu un singur port, după cum vom discuta mai târziu) al unui sistem dinamic. În reprezentarea cu graf liniar, așa cum se arată în figura 3.14b, elementul este prezentat ca o ramură (adică un segment de linie). Un capăt al oricărei ramuri este selectat ca punct de referință, iar celălalt capăt devine automat punctul de acțiune (vezi figura 3.14a și c). Alegerea este oarecum arbitrară și poate reflecta fizica sistemului real. O ramură orientată este cea căreia i se atribuie o direcție, folosind un cap de săgeată, ca în figura 3.14b. Vârful de săgeată indică direcția pozitivă a fluxului de putere la fiecare capăt al elementului. Prin convenție, direcția pozitivă a puterii este luată ca „spre” element la punctul de acțiune, și „dinspre” element la punctul de referință. Conform acestei convenții, vârful săgeții al unei ramuri este întotdeauna îndreptat către punctul de referință. În acest mod, punctul de referință și punctul de acțiune sunt ușor de identificat.

Variabila across este întotdeauna dată relativ la punctul de referință. De asemenea, este convenabil să se dea variabila through f și variabila across v ca pereche ordonată (f ∙ v) pe o parte a ramurii, ca în figura 3.14b. În mod clar, relația dintre f și v (relația constitutivă sau relația fizică) poate fi liniară sau neliniară. Parametrul elementului (de exemplu, masa, capacitatea) este prezentat pe cealaltă parte a ramurii. Trebuie remarcat faptul că direcția unei ramuri nu reprezintă direcția pozitivă a lui f sau v. De exemplu, atunci când direcțiile pozitive ale ambelor f și v sunt schimbate, ca în figura 3.14a și c, graful liniar rămâne neschimbat, ca în figura 3.14b, deoarece direcția pozitivă a fluxului de putere rămâne aceeași. Într-o problemă dată, direcția pozitivă a oricăreia dintre cele două variabile f și v ar trebui să fie prestabilită pentru fiecare ramură. Atunci direcția pozitivă corespunzătoare a altei variabile este determinată automat de convenția folosită pentru grafuri liniare orientate. Se obișnuiește să se atribuie aceeași direcție pozitivă pentru f (și v) și fluxul de putere la punctul de acțiune (adică convenția prezentată în figura 3.14a este uzuală, nu figura 3.14c). Apoi, sunt stabilite automat direcțiile pozitive ale variabilelor din punctul de referință.

FIGURA 3.14 Convenția de semn pentru un graf liniar:
(a) Un element de bază și direcții pozitive ale variabilelor sale;
(b) ramura grafului liniar al elementului;
(c) o convenție de semne alternative

Rețineți că, într-o ramură (segment de linie), variabila through (f) este transmisă prin element fără modificări de valoare; ea este variabila „through”. Valoarea absolută a variabilei across se schimbă totuși pe element (de la v2 la v1, în figura 3.14a). De fapt, este această modificare (v = v2 - v1) pe element care se numește variabila across. De exemplu, v2 și v1 pot reprezenta potențialele electrice la cele două capete ale unui element electric (de exemplu, un rezistor) și atunci v reprezintă tensiunea pe element. În consecință, variabila across, este măsurată în raport cu punctul de referință al elementului particular.

Conform convenției de semn prezentată în figura 3.14, lucrul depus asupra elementului la punctul de acțiune (de către un dispozitiv extern) este pozitiv (adică, fluxurile de putere intră) și lucrul realizat de element la punctul de referință (pe o sarcină sau un mediu extern) este pozitiv (adică se scurge energia). Diferența dintre lucrul depus pe element și lucrul realizat de element (adică, diferența în fluxul de lucru la punctul de acțiune și la punctul de referință) este fie stocată ca energie (de exemplu, energie cinetică a unei mase; energia potențială a unui arc; energia electrostatică a unui condensator; energia electromagnetică a unui inductor), care are capacitatea de a face lucru suplimentar; sau disipată (de exemplu, amortizor mecanic; rezistor electric) prin diferite mecanisme manifestate ca transfer de căldură, zgomot și alte fenomene.

În concluzie,

1. Un element (un element cu un singur port) este reprezentat de un segment de linie (ramură). Un capăt este punctul de acțiune, iar celălalt capăt este punctul de referință.

2. Variabila through f este aceeași la punctul de acțiune și la punctul de referință al unui element; variabila across diferă, și este această diferență (valoare în raport cu punctul de referință) cea care se numește variabila across v.

3. Perechea de variabile (f, v) a elementului este prezentată pe o parte a ramurii. Relația lor (relația constitutivă) poate fi liniară sau neliniară. Parametrul elementului este afișat pe cealaltă parte a ramurii.

4. Fluxul de putere p este produsul variabilei through cu variabila across. Prin convenție, la punctul de acțiune, f și p sunt considerate pozitive în aceeași direcție; la punctul de referință, f este pozitivă în sens opus.

5. Direcția pozitivă a fluxului de putere p (sau energie sau lucru) este spre element la punctul de acțiune; și din element la punctul de referință. Această direcție este arătată de o săgeată pe ramura grafului liniar (o ramură orientată).

6. Diferența dintre fluxurile de energie de la cele două capete ale elementului este fie stocată (cu capacitate de a face lucru ulterior), fie disipată, în funcție de tipul elementului.

Reprezentarea cu graf liniar este deosebit de utilă pentru înțelegerea ratelor de transfer al energiei (putere) asociate cu diverse fenomene, iar interacțiunile dinamice într-un sistem fizic (mecanic, electric, fluidic etc.) pot fi interpretate în termeni de transfer de putere. Puterea este produsul unei variabile through (o forță sau un curent generalizat) și a variabilei across corespunzătoare (viteză sau tensiune generalizată). De exemplu, considerați un sistem mecanic. Lucrul total efectuat pe sistem este utilizat, în parte, ca energie stocată (cinetică și potențială), iar restul este disipat. Energia stocată poate fi recuperată complet atunci când sistemul este readus la starea inițială (adică la finalizarea ciclului). Un astfel de proces este reversibil. Pe de altă parte, disiparea corespunde unui transfer de energie ireversibil care nu poate fi recuperat prin readucerea sistemului la starea inițială. (O fracțiune din energia mecanică pierdută în acest mod ar putea fi recuperată, în principiu, prin acționarea unui motor termic, dar nu vom intra în aceste detalii termodinamice, care sunt în afara domeniului de aplicare actual). Disiparea energiei poate apărea sub multe forme, inclusiv creșterea temperaturii (un fenomen molecular), zgomotul (un fenomen acustic) sau lucru folosit în mecanismele de uzură.

3.6.2 Elemente de grafuri liniare

Vom discuta două tipuri de elemente de bază în categoriile de elemente cu un singur port și elemente cu două porturi. Elementele analoage din aceste categorii există în cea mai mare parte a domeniilor (mecanice, electrice, fluide și termice).

3.6.2.1 Elemente cu un singur port

Elementele cu un singur port (sau, un singur port de energie) sunt cele care pot fi reprezentate de o singură ramură (un singur segment de linie) a grafului liniar. Aceste elemente posedă o singură variabilă de putere (sau energie); de aici denumirea „un singur-port”. Ele au două terminale. Forma generală a acestor elemente este prezentată în figura 3.14b.

În modelarea sistemelor mecanice, avem nevoie de trei elemente pasive cu un singur port, așa cum se arată în figura 3.15. Deși în figura 3.15 sunt prezentate elementele mecanice translatorii, elementele rotative corespunzătoare sunt ușor de vizualizat: f semnifică un cuplu aplicat și v viteza unghiulară relativă în aceeași direcție. Rețineți că graful liniar al unui element de inerție are un segment de linie ruptă. Acest lucru se datorează faptului că, prin inerție, forța (forța de inerție) nu se deplasează fizic de la un capăt al ramurii sale de graf liniar la celălalt capăt, ci mai degrabă este „simțită” la cele două capete.

Elementele electrice cu un singur port analoage pot fi reprezentate într-o manieră similară. Ele sunt prezentate în figura 3.16.

3.6.2.1.1 Elemente sursă

În modelele cu graf liniar, intrările sistemului sunt reprezentate de elemente sursă. Există două tipuri de surse, așa cum se arată în figura 3.17.

(a) Sursa de tip-T (de exemplu, sursa de forță, sursa de curent):

Variabila independentă (adică ieșirea sursei, care este intrarea sistemului) este variabila through f. Vârful de săgeată indică direcția pozitivă a lui f.

Notă: Pentru o sursă de tip-T, convenția de semn că săgeata indică direcția pozitivă a lui f este în continuare. Dar, convenția de semn că săgeata este de la punctul de acțiune la punctul de referință (sau direcția de scădere a variabilei across) nu se menține.

(b) Sursa de tip-A (de exemplu, sursa de viteză, sursa de tensiune):

Variabila independentă este variabila across v. Vârful de săgeată indică direcția pozitivă a „scăderii” în v. Notă: semnele + și - sunt indicate, de asemenea, în cazul în care scăderea v are loc de la terminale + la -.

Notă: Pentru o sursă de tip-A, convenția de semn că săgeata este de la punctul de acțiune la punctul de referință (sau direcția de scădere a variabilei across) se menține.

FIGURA 3.17 (a) sursă tip-T (intrare de variabilă through);
(b) reprezentarea grafului liniar al unei surse tip-T;
(c) sursă tip-A; (d) reprezentarea grafului liniar al unei surse tip-A

Dar, convenția de semn că săgeata dă direcția pozitivă a lui f nu se menține. O sursă de forță ideală (sursă de variabilă-through) este capabilă să furnizeze o intrare de forță care nu este afectată de interacțiunile cu restul sistemului. Dar, viteza relativă across corespunzătoare sursei de forță va varia, deoarece este determinată de dinamica sistemului general. Ar trebui să fie clar că direcția lui f(t), așa cum se arată în figura 3.17a, este a forței aplicată. Reacția pe sursă ar fi în direcția opusă. O sursă ideală de viteză (sursă de variabilă-across) furnizează o intrare de viteză independentă de sistemul la care este aplicată. Forța corespunzătoare este, desigur, determinată de dinamica sistemului.

3.6.2.2 Elemente cu două porturi

Un element cu două porturi are două porturi de energie și două ramuri separate, dar cuplate, care corespund acestora. Aceste elemente pot fi interpretate ca o pereche de elemente cu un singur port a căror putere netă este zero. Un transformator (mecanic, electric, fluidic etc.) este un element cu două porturi. De asemenea, un gyrator (titirez) mecanic este un element cu două porturi. Exemple de transformatoare mecanice sunt pârghia și scripete pentru mișcări translatorii și o pereche de roți dințate pentru rotire. Un gyrator este de obicei un element care afișează proprietăți giroscopice. Vom lua în considerare doar cazul liniar, adică doar transformatoarele și giratoarele ideale. Extensia la cazul neliniar trebuie să fie clară.

3.6.2.2.1 Transformator

Într-un transformator ideal, variabilele across din cele două porturi (ramuri) sunt schimbate fără a disipa sau a stoca energie în proces. Prin urmare, variabilele through din cele două porturi se vor schimba și ele. Exemple de transformatoare mecanice, electrice și fluidice sunt prezentate în figura 3.18a ... d. Reprezentarea cu graf liniar a unui transformator este dată în figura 3.18e.

În figura 3.18e, ca în cazul unui element pasiv cu un singur port, săgețile de pe cele două ramuri (segmentele de linie) dau direcția pozitivă a fluxului de putere (adică, atunci când produsul variabilei through și variabilei across pentru acel segment este pozitiv). Unul dintre cele două porturi poate fi considerat portul de intrare și celălalt portul de ieșire.

FIGURA 3.18 Transformator: (a) Pârghie; (b) roți dințate angrenate; (c) transformator electric;
(d) transformator de fluid; (e) reprezentarea grafului liniar

Dacă
vi și fi sunt variabile across și through la portul de intrare
vo și fo sunt variabile across și through la portul de ieșire

Raportul de transformare (liniar) al transformatorului este dat de

Datorită conservării puterii, avem

Substituind Ecuația 3.17 în Ecuația 3.18 dă

Aici r este un parametru dimensional. Cele două relații constitutive pentru un transformator sunt date de ecuațiile 3.17 și 3.19.

3.6.2.2.2 Transformator electric

Așa cum se arată în figura 3.18c, un transformator electric are o bobină primară, care este alimentată de o tensiune AC (vi), o bobină secundară în care este indusă o tensiune AC (vo) și un miez comun, pentru conectarea fluxului magnetic între cele două bobine. Rețineți că un transformator convertește vi în vo fără a folosi o sursă de alimentare externă. Prin urmare, este un dispozitiv pasiv, la fel ca un condensator, inductor sau rezistor. Raportul de spire al transformatorului:

r = Numărul de spire în bobina secundară (No)/Numărul de spire în bobina primară (Ni)

În figura 3.18c, cele două puncte din partea superioară a celor două bobine indică faptul că cele două bobine sunt înfășurate în aceeași direcție.

Într-un transformator pur și ideal, va exista o inducție de flux maxim, fără nici o disipare a energiei. Atunci, inducția fluxului va fi proporțională cu numărul de spire. Prin urmare,

unde λ semnifică inducția de flux din fiecare bobină. Diferențierea ecuației 3.20, remarcând că tensiunea indusă în bobină este dată de rata de variație a fluxului, dă

Pentru un transformator ideal, nu există o disipare a energiei și, de asemenea, semnalele vor fi în fază. Prin urmare, puterea de ieșire va fi egală cu puterea de intrare; deci,

Prin urmare, relația de curent devine

3.6.2.2.3 Gyrator

Un giroscop ideal este un exemplu de gyrator mecanic (figura 3.19a). Este pur și simplu un vârf de rotire care se rotește în jurul axei sale cu viteză unghiulară mare ω (pozitiv în direcția x) și se presupune că rămâne neafectat de alte mișcări mici care pot fi prezente. Dacă momentul de inerție în jurul acestei axe de rotație (x în configurația arătată) este J, momentul unghiular corespunzător este h = Jω, iar acest vector este, de asemenea, direcționat în direcția x pozitivă, așa cum se arată în figura 3.19b.

FIGURA 3.19 (a) Gyrator (giroscop sau titirez) - un element cu două porturi;
(b) derivarea ecuațiilor constitutive; (c) reprezentarea grafului liniar

Să presupunem că vectorului de moment unghiular h i se dă o rotație incrementală δθ în jurul axei z pozitivă, după cum se arată. Capătul liber al giroscopului se va deplasa în direcția y pozitivă, ca urmare. Variația rezultată în vectorul momentului unghiular este δh = Jωδθ în direcția y pozitivă, așa cum se arată în figura 3.19b. De aici, viteza de variație a momentului unghiular este

unde δt este incrementul de timp al mișcării. De aici, la limită, rata de variație a momentului unghiular este

Dacă viteza dată la capătul liber al giroscopului, în direcția y pozitivă, pentru a genera această mișcare este vi (care va duce la o forță fi în acel punct, în direcția y pozitivă) viteza unghiulară corespunzătoare în jurul axe z pozitivă este

în care L este lungimea giroscopului. Înlocuiți (iii) în (ii). Rata de variație a momentului unghiular este

în jurul direcției y pozitivă. Prin a doua lege a lui Newton, pentru a susține această viteză de variație a momentului unghiular, va necesita un cuplu egal cu Jωvi/L în aceeași direcție. Dacă forța corespunzătoare la capătul liber al giroscopului este notată cu fo în direcția z pozitivă, cuplul corespunzător este foL care acționează în jurul direcției y negative. Urmează că

Acest lucru poate fi exprimat ca:

Prin conservarea puterii (Ecuația 3.18) pentru un giroscop ideal, rezultă din Ecuația 3.23 că

în care, parametrul giroscopului

Notă: M este un parametru „mobilitate” (viteză/forță).

Ecuațiile 3.23 și 3.24 sunt ecuațiile constitutive ale unui gyrator. Reprezentarea grafului liniar al unui gyrator este prezentată în figura 3.19c.

3.6.3 Ecuațiile grafurilor liniare

Trei tipuri de ecuații trebuie scrise pentru a obține un model analitic dintr-un graf liniar:

1. Ecuații constitutive pentru toate elementele care nu sunt surse (intrări)

2. Ecuații de compatibilitate (ecuații pe buclă) pentru toate căile independente închise

3. Ecuații de continuitate (ecuații de nod) pentru toate joncțiunile independente ale două sau mai multor ramuri

Ecuațiile constitutive ale elementelor au fost discutate anterior. În unele exemple, ecuațiile de compatibilitate și ecuațiile de continuitate nu sunt utilizate în mod explicit deoarece variabilele de sistem sunt alese pentru a satisface aceste două tipuri de ecuații. În modelarea sistemelor dinamice complexe, abordările sistematice, care pot fi automatizate pe computer, vor fi utile. În acest context, abordările sunt necesare pentru a scrie explicit ecuațiile de compatibilitate și ecuațiile de continuitate. Abordările și problemele conexe sunt discutate în continuare.

3.6.3.1 Ecuații (bucle) de compatibilitate

O buclă într-un graf liniar este o cale închisă formată din două sau mai multe ramuri. O ecuație pe buclă (ecuația de compatibilitate) este obținută prin însumarea tuturor variabilelor across de-a lungul ramurilor buclei care este zero. Aceasta este o condiție necesară, deoarece la un punct dat în graful liniar trebuie să existe o valoare unică pentru variabila across, la un moment dat. De exemplu, o masă și un arc conectate la același punct trebuie să aibă aceeași viteză la un moment dat și acest punct trebuie să fie intact (adică să nu se rupă); prin urmare, sistemul este „compatibil”.

3.6.3.1.1 Convenția de semn

1. Mergeți în sensul invers acelor de ceasornic al buclei.

2. În direcția unei săgeți de ramură, variabila across scade. Această direcție este considerată pozitivă (cu excepția unei surse-T, unde direcția săgeții indică o creștere a variabilei sale across, care este direcția negativă).

Săgeata din fiecare ramură este importantă, dar nu trebuie să mergem întotdeauna în direcția săgeților din ramurile care formează o buclă. Dacă mergem în direcția săgeții într-o ramură, variabila across asociată este considerată pozitivă. Când mergem opus săgeții, variabila across asociată este considerată negativă.

3.6.3.1.2 Numărul de bucle „primare”

Buclele primare sunt un set „minimal” de bucle din care poate fi determinată orice altă buclă din graful liniar. Un set de bucle primare este un set „independent”. Va genera toate ecuațiile buclelor independente.

Notă: Buclele închise de ramuri cu linie ruptă (inerție) ar trebui să fie incluse și ele în contabilizarea buclelor primare.

3.6.3.2 Ecuații (noduri) de continuitate

Un nod este punctul în care se întâlnesc două sau mai multe ramuri. O ecuație de nod (sau, ecuație de continuitate) este creată prin egalarea cu zero a sumei tuturor variabilelor through de la un nod. Acest lucru ține cont de faptul că un nod nu poate stoca și nici să disipeze energie; de fapt se spune: „Ceea ce intră trebuie să iasă”. Prin urmare, o ecuație de nod dictează continuitatea variabilelor through la un nod. Din acest motiv, trebuie să folosiți semne adecvate pentru variabile atunci când scrieți ecuații de nod sau ecuații pe buclă. Convenția de semn care se utilizează este că variabila through “spre” nod este pozitivă.

Semnificația unei ecuații de nod în diferite domenii este indicată mai jos.

Sisteme mecanice: echilibru de forțe, ecuație de echilibru, a treia lege a lui Newton, etc.

Sisteme electrice: echilibru de curenți, legea curenților a lui Kirchoff, conservarea sarcinii, etc.

Sisteme hidraulice: conservarea materiei

Sisteme termice: conservarea energiei

3.6.4 Modele de stare din grafuri liniare

Putem obține un model de stare al unui sistem dinamic din graful său liniar. Fiecare ramură din graful liniar este un „model” al unui element de sistem real, cu o „relație constitutivă” asociată. Pentru un sistem mecanic, s-a justificat pentru utilizarea vitezei elementelor de inerție independente și a forțelor prin elemente de rigiditate (arc) independente ca variabile de stare. În mod similar, pentru un sistem electric, tensiunile pe condensatoare independente și curenți prin inductoare independente sunt variabile de stare adecvate. În general atunci, în abordarea grafurilor liniare folosim ca variabile de stare: variabile across ale elementelor independente de tip-A și variabile through ale elementelor independente de tip-T.

3.6.4.1 Ordinul sistemului

Se știe că elementele de tip-A și elementele de tip-T sunt elemente de stocare a energiei. Ordinul sistemului este dat de numărul de elemente independente de stocare a energiei din sistem. Aceasta este, de asemenea, egal cu numărul variabilelor de stare, ordinul modelului spațiu-stare, numărul de condiții inițiale necesare pentru a rezolva răspunsul modelului analitic și ordinul modelului cu ecuație diferențială de intrare-ieșire.

Numărul total al elementelor de stocare a energiei într-un sistem poate fi mai mare decât ordinul sistemului, deoarece unele dintre aceste elemente ar putea să nu fie independente.

3.6.4.2 Convenția de semn

Primul pas important al dezvoltării unui model spațiu-stat folosind grafuri liniare este, într-adevăr, desenarea unui graf liniar pentru sistemul considerat. Ar trebui stabilită o convenție de semn, așa cum s-a discutat anterior. Convenția de semn pe care o folosim este următoarea:

1. Puterea curge spre punctul de acțiune și dinspre punctului de referință al unui element (ramură). Săgeata ramurii (care este o ramură orientată) arată această direcție. Excepție: într-un element sursă, puterea curge dinspre punctul de acțiune.

2. Variabila through (f), variabila across (v) și fluxul de putere (fv) sunt pozitive în aceeași direcție într-un punct de acțiune. La punctul de referință, v este pozitivă în aceeași direcție dată de săgeata graf-liniar, dar f este luată pozitiv în direcția opusă.

3. În scrierea ecuațiilor de nod: Fluxul spre nod este pozitiv.

4. În scrierea ecuațiilor pe buclă: direcția buclei este în sens contrar acelor de ceasornic. Un potențial (variabilă-A) care „scade” este pozitiv (aceeași direcție ca săgeata ramurii. Excepție: într-o sursă-T, săgeata este în direcția în care variabila-A crește).

Notă: Odată ce convenția de semn este stabilită, valorile reale ale variabilelor pot fi pozitive sau negative, în funcție de direcția lor reală.

Pași pentru obținerea unui model de stare

1. Alegeți ca variabile de stare: variabile across pentru elemente independente tip-A și prin variabile through pentru elemente independente tip-T.

2. Scrieți ecuații constitutive pentru elementele independente de stocare a energiei. Acest lucru va oferi structura de spațiu-stare.

3. Faceți în mod similar pentru elementele rămase (elemente de stocare a energiei dependente și elemente de disipare (tip-D), transformatoare etc.).

4. Scrieți ecuațiile de compatibilitate pentru buclele primare.

5. Scrieți ecuațiile de continuitate pentru nodurile primare (numărul total de noduri - 1).

6. În structura spațiu-stare, păstrați numai variabile de stare și de intrare. Eliminați toate celelalte variabile utilizând ecuațiile pe buclă și nod și ecuații constitutive suplimentare.

3.6.4.3 Observații generale

Acum, unele observații generale sunt făcute cu privire la un graf liniar în funcție de caracteristicile sale geometrice (topologice) (noduri, bucle, ramuri), elemente, variabile necunoscute și cunoscute și ecuații relevante (constitutive, compatibilitate și continuitate). Mai întâi să luăm

Numărul de surse = s
Numărul de ramuri = b

Deoarece fiecare ramură sursă are 1 variabilă necunoscută (deoarece o variabilă este cunoscută intrare în sistem — ieșirea sursei) și toate celelalte ramuri pasive au 2 necunoscute variabile fiecare, avem

Numărul total de variabile necunoscute = 2b - s (3.26)

Deoarece fiecare ramură, alta decât ramura sursă, oferă 1 ecuație constitutivă, avem

Numărul ecuațiilor constitutive = b - s (3.27)

Luăm
Numărul de bucle primare = l

Deoarece fiecare buclă primară dă o ecuație de compatibilitate, avem

Număr de ecuații de buclă (compatibilitate) = l

Luăm
Număr de noduri = n

Deoarece unul dintre aceste noduri nu oferă o ecuație de nod suplimentară, avem

Numărul ecuațiilor de nod (continuitate) = n - 1 (3.28)

Prin urmare,
Numărul total de ecuații = (b - s) + l + (n - 1) = b + l + n - s - 1

Pentru a rezolva în mod unic modelul analitic, trebuie să avem
Numărul de necunoscute = Numărul de ecuații sau 2b - s = b + l + n - s - 1

Prin urmare, avem rezultatul

l = b - n + 1

(3.29)

Acest rezultat topologic trebuie să fie satisfăcut de orice graf liniar.

Exemplul 3.4

Un sistem de cusut robotizat constă dintr-un cap de cusut convențional. În timpul funcționării, un panou de îmbrăcăminte este introdus de o mână robotizată spre capul de cusut. Sistemul de detecție și control al mâinii robotizate asigură cusătura să fie corectă și tensiunea îmbrăcămintei este corectă pentru a garanta calitatea cusăturii. Capul de cusut are un mecanism de alimentare cu fricțiune, care scoate țesătura într-o manieră ciclică departe de mâna robotică, folosind un element de alimentare dințat. Când există o alunecare între elementul de alimentare și îmbrăcăminte, alimentatorul funcționează ca o sursă de forță, iar forța aplicată este presupusă ciclică cu o amplitudine constantă. Dar, atunci când nu există alunecare, alimentatorul funcționează ca o sursă de viteză, ceea ce se întâmplă în timpul funcționării normale. Mâna robotului are inerție. Există o anumită flexibilitate la locul de montare al mâinii pe robot. Articulațiile robotului sunt presupuse rigide, iar unele dintre acestea pot fi blocate pentru a reduce numărul de grade de libertate, atunci când se dorește.

Considerați cazul simplificat al unui robot cu un singur grad de libertate. Sistemul de cusut robotizat corespunzător este modelat ca în figura 3.20. Aici robotul este modelat ca un singur moment de inerție Jr, care este conectat la mână cu un dispozitiv ușor cremalieră-și-pinion cu parametrul de transmisie a vitezei dat de

r = Mișcarea de tanslație a cremalierei/mișcarea de rotație a pinionului

Cuplul de antrenare al robotului este Tr și viteza de rotație asociată este ωr. În condiții de alunecare intrarea de alimentare pentru panoul de îmbrăcăminte este forța ff, iar fără alunecare intrarea este viteza vf.

Diferite mecanisme de disipare a energiei sunt modelate ca amortizare vâscoasă liniară cu constanta de amortizare b (cu indicii corespunzători). Flexibilitatea diferitelor elemente ale sistemului este modelată de arcuri liniare cu rigiditate k. Efectele de inerție ale panoului de îmbrăcăminte și ale mâinii robotizate sunt notate cu masele concentrate mc și, respectiv, mh, având viteze vc și vh, așa cum se arată în figura 3.20.

FIGURA 3.20 Un sistem de cusut robotizat

Notă: Panoul de îmbrăcăminte este în mod normal în tensiune cu forța de tensionare fc. Pentru a împinge panoul, încheietura robotică este în mod normal în compresiune cu forța de compresie fr.

În primul rând, luați în considerare cazul elementului de alimentare cu alunecare:

(a) Desenați un graf liniar pentru modelul prezentat în figura 3.20, orientați graful și marcați toți parametrii elementului, variabilele through și variabilele across pe grafic.

(b) Scrieți toate ecuațiile constitutive (ecuațiile fizice ale elementului), ecuațiile independente în noduri (continuitate) și ecuațiile independente pe bucle (compatibilitate). Care este ordinul modelului?

(c) Dezvoltați un model complet de spațiu-stare pentru sistem. Ieșirile sunt luate ca tensiunea îmbrăcămintei fc, și viteza robotului ωr, care reprezintă cele două variabile care trebuie măsurate pentru a controla sistemul. Obțineți matricele de sistem A, B, C și D. Considerați acum cazul în care nu există alunecare la elementul de alimentare:

(d) Care este ordinul sistemului acum? Cum este graful liniar al modelului modificat pentru această situație? În consecință, modificați modelul spațiu-stat obținut mai devreme pentru a reprezenta situația actuală și din care obțineți noile matrice de model A, B, C și D.

(e) Comentează în general valabilitatea ipotezelor făcute pentru obținerea modelului prezentat în figura 3.20 pentru un sistem robotizat de cusut.

Soluţie

(a) Graful liniar al sistemului este desenat ca în figura 3.21. Întrucât, în acest caz, intrarea de alimentare a panoului de îmbrăcăminte este forța ff, o sursă-T, săgeata elementului sursă trebuie păstrată, dar semnele + și - (utilizate pentru o sursă-A) trebuie eliminate.

(b) În prezenta operație, ff este o intrare. Acest caz corespunde unui model de ordinul al 5-lea, după cum va fi clar din dezvoltarea prezentată mai jos.

FIGURA 3.21 Graful liniar al sistemului de cusut robotizat

Ecuații constitutive:

Ecuații de continuitate (ecuații nod):

Ecuații de compatibilitate (ecuații de buclă):

(c) Eliminați variabilele nedorite după cum urmează:

Model de stare-spațiu:

(a) În acest caz, vf este o intrare, care este o sursă-A. Elementul corespunzător din graful liniar prezentat în figura 3.21 ar trebui modificat pentru a ține cont de acest lucru. În mod special, direcția săgeții acestui element sursă ar trebui să fie inversată (deoarece este o sursă-A) și trebuie păstrate semnele + și - (utilizate pentru o sursă-A). Mai mult, elementul de inerție mc încetează să influențeze dinamica sistemului global deoarece, vc = vf în acest caz și este complet specificat. Acest lucru rezultă din faptul că orice elemente conectate în paralel cu o sursă-A nu au niciun efect asupra restului sistemului. În consecință, ramura reprezentând elementul mc ar trebui eliminată din graful liniar.

Prin urmare, avem acum un model de ordinul al patrulea, cu

Model de stare:

Matricele modelului corespunzător sunt

3.6.4.3.1 Amplificatoare

Un amplificator este o componentă comună, în primul rând într-un sistem electric sau subsistem electric. Au fost dezvoltate și avute în vedere și amplificatoare pur mecanice, fluidice și termice. Caracteristicile comune ale amplificatoarelor sunt

1. Ele îndeplinesc sarcini de amplificare a semnalului

2. Sunt dispozitive active (adică au nevoie de o alimentare externă pentru a funcționa)

3. Nu sunt afectate (ideal) de sarcina pe care o acționează (adică efectele de încărcare sunt mici)

4. Au un efect de decuplare asupra sistemelor (adică efectul dorit de reducere a interacțiunilor dinamice între componente)

Tensiunile, curentul și puterea semnalelor electrice sunt amplificate folosind amplificatoare de tensiune, amplificatoare de curent și respectiv amplificatoare de putere. Amplificatoarele operaționale (op-amp) constituie blocul de bază în construirea acestor amplificatoare. În particular, un op-amp, cu feedback oferă caracteristicile dorite ale impedanței de intrare foarte ridicate, impedanței scăzute de ieșire și funcționării stabile. De exemplu, datorită caracteristicilor sale de impedanță, dispozitivul (sarcina) care este conectat la ieșirea sa nu afectează caracteristicile de ieșire ale unui amplificator bun. Cu alte cuvinte, erorile de încărcare electrică sunt neglijabile.

Analog cu amplificatoarele electrice, un amplificator mecanic poate fi proiectat pentru a asigura amplificarea forței (un amplificator de tip-T) sau un amplificator de fluide poate fi proiectat pentru a asigura amplificarea presiunii (un amplificator de tip-A). Amplificatoarele sunt de obicei dispozitive active - este necesară o sursă de alimentare externă pentru a acționa amplificatorul (de exemplu, pentru a acționa o combinație de motor-sarcină mecanică).

3.6.4.4 Reprezentare grafului liniar

În reprezentarea grafului său liniar, un amplificator este considerat un element „sursă dependentă” sau un element „sursă modulată”. Mai exact, ieșirea amplificatorului depinde de (modulată de) intrarea amplificatorului și nu este afectată de dinamica dispozitivelor care sunt conectate la ieșirea amplificatorului (adică de sarcina amplificatorului). Acesta este cazul ideal. În practică va fi prezentă o eroare de încărcare (adică, ieșirea amplificatorului va fi afectată de sarcina pe care o acționează).

Reprezentările grafului liniar ale unui amplificator de variabilă-across (de ex., amplificator de tensiune, amplificator de presiune) și unui amplificator de variabilă-through (de exemplu, amplificator de curent, amplificator de forță) sunt prezentate în figura 3.22a și, respectiv, b. Ecuațiile constitutive pertinente în cazurile generale și liniare sunt prezentate și ele în figuri.

FIGURA 3.22 Reprezentarea grafului liniar a: (a) Unui amplificator cu variabilă across (amplificator tip-A);
(b) unui amplificator cu variabilă through (amplificator tip-T).

3.6.4.4.1 Motor DC

Motorul DC este un actuator electric utilizat frecvent. Convertește energia electrică DC în energie mecanică. Principiul de operare se bazează pe faptul că atunci când un conductor care transportă curent este plasat într-un câmp magnetic, se generează o forță (legea lui Lorentz). Această forță este cea care rezultă din interacțiunea a două câmpuri magnetice, care este prezentată ca cuplul magnetic în rotorul motorului.

Un motor DC are un stator și un rotor (armătura) cu înfășurări care sunt excitate de o tensiune de câmp vf și, respectiv, o tensiune de armătură va. Circuitul echivalent al unui motor DC este prezentat în figura 3.23a, unde circuitul de câmp și circuitul de armătură sunt arătate separat, cu tensiunile de alimentare corespunzătoare. Acesta este cazul excitat separat. Dacă câmpul statorului este furnizat de un magnet permanent, atunci circuitul statorului prezentat în figura 3.23a este pur și simplu un circuit echivalent, unde curentul statorului if poate fi asumat constant. În mod similar, dacă rotorul este un magnet permanent, ceea ce este prezentat în figura 3.23a este un circuit echivalent unde curentul de armătură ia poate fi asumat constant. Cuplul magnetic al motorului este generat de interacțiunea câmpului statorului (proporțional cu if) și câmpul rotorului (proporțional cu ia) și este dat de

FIGURA 3.23 (a) Circuitul echivalent al unui motor DC (excitat separat);
(b) încărcarea mecanică a armăturii (rotor bobinat)

O forță electromotoare inversă (e.m.f. inversă) este generată în înfășurările rotorului (armăturii) pentru a se opune rotației sale atunci când aceste înfășurări se rotesc în câmpul magnetic al statorului (legea lui Lenz). Această tensiune este dată de

unde
if este curentul de câmp
ia este curentul de armătură
ωm este viteza unghiulară a motorului

Notă: Pentru transferul perfect al energiei electrice în energia mecanică din rotor avem

Acesta este un transformator electromecanic. Ecuația circuitului de câmp este

unde
vf este tensiunea de alimentare la stator
Rf este rezistența înfășurărilor de câmp
Lf este inductanța înfășurărilor de câmp

Ecuația circuitului armăturii (rotorului) este

unde
va este tensiunea de alimentare a armăturii
Ra este rezistența înfășurării armăturii
La este inductanța de scurgere a armăturii

Să presupunem că motorul acționează o sarcină al cărui cuplu echivalent este TL. Atunci din figura 3.23b, ecuația mecanică (sarcină) este

unde
Jm este momentul de inerție al rotorului
bm este constanta de amortizare (mecanică) echivalentă pentru rotor
TL este cuplul de sarcină

În controlul câmpului motorului, tensiunea de alimentare a armăturii va este menținută constantă și tensiunea de câmp vf este controlată. În controlul armăturii motorului, tensiunea de alimentare a câmpului vf este menținută constantă și tensiunea de armătură va este controlată.

Exemplul 3.5

O problemă clasică în robotică este cazul prizei mâinii robotice și rotirea unui buton pentru a deschide o ușă. Mecanismul este arătat schematic în figura 3.24a. Să presupunem că actuatorul mâinii robotice este un motor DC controlat prin armătură. Circuitul asociat este prezentat în figura 3.24b. Circuitul de câmp oferă motorului un câmp magnetic constant și nu este important în problema actuală. Circuitul armăturii (cu înfășurări ale rotorului motorului) are o e.m.f. inversă vb, o inductanță de scurgere La și o rezistență Ra. Semnalul de intrare la mâna robotică este tensiunea armăturii va(t) după cum se arată. Rotirea motorului (cu o viteză unghiulară ωm) în cele două sisteme de câmp magnetic generează un cuplu Tm (care este negativ, așa cum este marcat în figura 3.24b în timpul funcționării normale).

Acest cuplu (cuplu magnetic) este disponibil pentru a roti butonul și este contrat de forța de inerție (moment de inerție Jd), frecarea (modelată ca amortizare vâscoasă liniară cu constanta de amortizare bd) și arcul (de rigiditate kd) al combinației mână-buton-blocare. În figura 3.24c este prezentat un model mecanic. Motorul DC poate fi considerat ca un traductor electromecanic ideal, care este reprezentat de un transformator cu graf liniar. Ecuațiile asociate sunt

Notă: Semnul negativ din Ecuația 3.37 apare din cauza convenției de semn specific. Graful liniar poate fi desenat cu ușurință, așa cum se arată în figura 3.24d, pentru partea electrică a sistemului.

Răspundeți la următoarele întrebări:

(a) Completați graful liniar prin includerea părții mecanice a sistemului.

(b) Indicați numărul de ramuri (b), noduri (n) și bucle independente (l) din graful liniar completat. Verificați-vă răspunsul.

FIGURA 3.24 (a) Mâna robotică întorcând un buton;
(b) motorul dc controlat de armătură al mâinii robotizate;
(c) modelul mecanic al sistemului buton de ușă manual;
(d) graf liniar incomplet

(c) Luați curentul prin inductor (ia), viteza de rotație a butonului (ωd) și cuplul de rezistență la arc în blocarea ușii (Tk) ca variabile de stare, tensiunea armăturii va(t) ca variabilă de intrare, și ωd și Tk ca variabile de ieșire. Scrie ecuații de nod independente, ecuații pe buclă independente și ecuații constitutive pentru graful liniar completat. Arătați în mod clar shell-ul de spațiu-stare. De asemenea, verificați dacă numărul de variabile necunoscute este egal cu numărul de ecuații obținute în acest mod.

(d) Eliminați variabilele auxiliare și obțineți un model complet de spațiu-stare pentru sistem, folosind ecuațiile scrise în partea (c) de mai sus.

FIGURA 3.25 Graful liniar complet al sistemului

Soluţie

(a) Graful liniar complet este prezentat în figura 3.25.

(b) b = 8, n = 5, l = 4 pentru acest graf liniar. Satisface relația topologică l = b - n + 1

(c) Ecuațiile nodurilor independente:

Ecuații de buclă independente:

Ecuații constitutive:

Notă: Există 15 variabile necunoscute (i, iR, ia, ib, Tm, Td, Tb, Tk, vR, vL, vb, ωm, ωd, ωb și ωk) și 15 ecuații.

Număr de variabile necunoscute = 2b - s = 2 × 8 - 1 = 15

Numărul de ecuații ale nodurilor independente = n - 1 = 5 - 1 = 4

Numărul de ecuații ale buclelor independente = l = 4

Numărul ecuațiilor constitutive = b - s = 8 - 1 = 7

Verificați: 15 = 4 + 4 + 7

(d) Eliminați variabilele auxiliare din shell-ul spațiu-stare, prin substituție:

Prin urmare, avem ecuațiile spațiu-stare:

avem modelul de spațiu-stare

Matricele modelului sunt

Nota 1: Acesta este un domeniu multiplu (model electromecanic).

Nota 2: Dispozitivele multifuncționale (de exemplu, un dispozitiv piezoelectric care servește atât ca servomotor cât și ca senzor) pot fi modelate în mod similar, folosind un transformator electromecanic (sau, prin utilizarea „principiului reciprocității”).

3.6.5 Grafurile liniare ale sistemelor termice

Sistemele termice au temperatura (T) ca variabilă across, întrucât ea este întotdeauna măsurată în raport cu o anumită referință (sau ca o diferență de temperatură pe un element) și rata de transfer (debit) de căldură (Q) ca variabilă through. Sursa de căldură și sursa de temperatură sunt cele două tipuri de elemente sursă. Prima este mai frecventă. Ultima poate corespunde unui rezervor mare a cărui temperatură nu este practic afectată de transferul de căldură în, sau din acesta. Există un singur tip de energie (energie termică) într-un sistem termic. Prin urmare, există un singur element de stocare a energiei (tip-A) cu variabila de stare asociată, temperatura. Nu există un element de tip-T într-un sistem termic.

Exemplul 3.6

O budincă tradițională asiatică se realizează prin amestecarea porțiilor aproximativ egale în volum de treac (o miere de palmier asemănătoare siropului de arțar), lapte de cocos și ouă, condimentate cu cuișoare și cardamomi și coacere într-un cuptor special pentru aproximativ 1 oră. Cuptorul tradițional folosește foc de cărbune într-o groapă de pământ care este bine izolată, ca sursă de căldură. Un recipient de aluminiu pe jumătate umplut cu apă este așezat pe foc. Un vas mai mic de aluminiu care conține amestecul de desert este plasat în baia de apă și acoperit complet cu un capac de aluminiu. Atât apa cât și amestecul de desert sunt bine agitate și se presupune că au temperaturi uniforme. Un model simplificat de cuptor este prezentat în figura 3.26a.

Presupunem neglijabile capacitățile termice ale recipientului cu apă din aluminiu, vasului pentru desert și capacului. De asemenea, sunt definiți următorii parametri și variabile echivalente (liniare):

Cr = capacitatea termică a băii de apă
Cd = capacitatea termică a amestecului de desert
Rr = rezistența termică între baia de apă și aerul ambiant
Rd = rezistența termică între baia de apă și amestecul de desert
Rc = rezistența termică între amestecul de desert și aerul ambiental, prin capacul de acoperire

FIGURA 3.26 (a) Un model simplificat de cuptor pentru desert asiatic;
(b) un model îmbunătățit al vasului pentru desert

Tr = temperatura băii de apă
Td = temperatura amestecului de desert
TS = temperatura ambiantă
Q = debitul de căldură de intrare de la focul cu cărbune în baia de apă

(a) Presupunând că Td este ieșirea sistemului, dezvoltați un model complet de spațiu-stare pentru sistem. Care sunt intrările sistemului?

(b) În partea (a), să presupunem că capacitatea termică a vasului pentru desert nu este neglijabilă și este dată de Cp. De asemenea, așa cum se arată în figura 3.26b, rezistențele termice Rp1 și Rp2 sunt definite pentru cele două interfețe ale vasului. Presupunând că temperatura vasului este menținută uniformă la Tp, arătați modul în care modelul spațiu-stare al părții (a) ar trebui modificat pentru a include această îmbunătățire. De ce parametri depind Rp1 și Rp2?

(c) Desenați grafurile liniare pentru sistemele din (a) și (b). Indicați în graf doar parametrii sistemului, variabilele de intrare și variabilele de stare.

Soluţie

(a) Pentru baia de apă:

Pentru amestecul de desert:

Ecuațiile (i) și (ii) sunt ecuațiile de stare cu

Matricile corespunzătoare ale modelului spațiu-stare sunt

(b) Pentru vasul de desert:

Ecuațiile (i) și (ii) trebuie modificate ca

FIGURA 3.27 Graf liniar al: (a) modelului simplificat; (b) modelului îmbunătățit

Sistemul a devenit acum de ordinul al treilea, cu ecuațiile de stare (i*), (ii*) și (iii) și vectorul de stare corespunzător:

Dar u și y rămân la fel ca înainte. Matricile A, B și C trebuie modificate în consecință.

Rezistența Rpi depinde de aria de transfer a căldurii Ai și de coeficientul de transfer a căldurii hi. În mod specific,

(c) Graful liniar pentru cazul (a) este prezentat în figura 3.27a. Graful liniar pentru cazul (b) este prezentat în figura 3.27b.

3.7 Funcții de transfer și modele din domeniu-frecvență