Prin utilizarea transformatei Laplace, o ecuație integrală de convoluție poate fi convertită într-o relație algebrică. Pentru a ilustra acest lucru, luați în considerare integrala de convoluție care dă răspunsul y(t) al unui sistem dinamic la o intrare de excitație u(t) cu CI zero. Prin definiție, ecuația B.1, transformata sa Laplace, este scrisă ca:

Rețineți că h(t) este funcția de răspuns la impuls a sistemului. Întrucât integrarea în raport cu t este realizată păstrând constant τ, avem dt = d(t-τ). Prin urmare,

Limita inferioară a primei integrale poate fi făcută egală cu zero, având în vedere faptul că u(t) = 0 pentru t <0. Din nou, folosind definiția transformatei Laplace, relația de mai sus poate fi exprimată ca

Y(s) = H(s) U(s) (B.8)

în care

Rețineți că, prin definiție, funcția de transfer a unui sistem, notată cu H(s), este dată de ecuația B.8. Mai precis, funcția de transfer a sistemului este dată de raportul dintre ieșirea transformată Laplace și intrarea transformată Laplace cu condiții inițiale zero. Având în vedere ecuația B.9, este clar că funcția de transfer a sistemului poate fi exprimată ca transformata Laplace a funcției de răspuns-impuls a sistemului. Funcția de transfer a unui sistem de parametri liniari și constanți este o funcție unică care reprezintă complet sistemul. Un sistem realizabil fizic, liniar, cu parametri constanți, are o funcție de transfer unică, chiar dacă transformatele Laplace ale unei anumite intrări și ieșirea corespunzătoare nu există. Acesta este clar de la faptul că funcția de transfer este un model de sistem și nu depinde de intrarea sistemului în sine.

Notă: Funcția de transfer este notată în mod obișnuit prin G(s). Dar în contextul actual, folosim H(s) având în vedere relația sa cu h(t).

Luați în considerare sistemul dinamic liniar, de parametri constanți de ordinul al n-lea dat de

Pentru un sistem realizabil fizic, m ≤ n. Prin aplicarea transformatei Laplace și apoi integrarea prin părți, se poate verifica dacă

Prin definiție, condițiile inițiale sunt setate la zero în obținerea funcției de transfer. Rezultă

pentru m ≤ n. Rețineți că ecuația B.12 conține toate informațiile conținute în ecuația B.10. În consecință, funcția de transfer este un model analitic al unui sistem. Funcția de transfer poate fi utilizată pentru a determina răspunsul total al unui sistem pentru o intrare dată, chiar dacă este definită în termeni de răspuns în condiții inițiale zero. Acest lucru este destul de logic, deoarece modelul analitic al unui sistem este independent de condițiile inițiale ale sistemului.