Am putut face următoarele observații privind modelele dinamice analitice:

• Un model dinamic este reprezentarea unui sistem dinamic.

• El este util în analiza, simularea, proiectarea, modificarea și controlul al unui sistem.

• Având în vedere natura multi-domeniu a sistemelor de inginerie practică, se dorește dezvoltarea integrată și unificată a modelelor. Atunci, toate domeniile sunt modelate împreună folosind abordări similare.

• Este de dorit să folosiți proceduri analogice pentru a modela toate componentele dintr-un sistem.

• Capacitatea de a încorpora dispozitive multifuncționale (de exemplu, elemente piezoelectrice care funcționează atât ca senzori cât și ca actuatoare) în cadrul modelării este de dorit.

• Există analogii între sisteme mecanice, electrice, fluidice și termice.

O procedură sistematică pentru dezvoltarea unui model analitic cu parametri concentrați al unui sistem dinamic implică formularea a trei tipuri de ecuații:

1. Ecuații constitutive (legi fizice pentru elementele concentrate)

2. Ecuații de continuitate (sau ecuații nodale sau ecuații de echilibru) pentru variabilele through

3. Ecuații de compatibilitate (sau ecuații de buclă sau ecuații de cale) pentru variabilele across

Dintre acestea, ecuațiile constitutive au fost studiate în capitolul 2. O ecuație de continuitate este ecuația scrisă pentru variabile through la o joncțiune (adică un nod) care leagă mai multe elemente concentrate în sistem. Ea dictează faptul că acolo nu poate fi nicio acumulare (stocare) sau dispariție (disipare) sau generare (sursă) de variabile through la o joncțiune (adică, ceea ce intră trebuie să iasă), deoarece nodul nu este un element, ci o joncțiune care conectează elemente. Însumarea de forțe (echilibru de forțe), curenți (legea curenților a lui Kirchhoff), debite de fluide (ecuația de continuitate a fluxului) sau rate de transfer a căldurii la o joncțiune la zero oferă o ecuație de continuitate. Rețineți că elementele sursă, care generează intrări pentru sistem, ar trebui să fie incluse și ele în scrierea acestor ecuații.

O ecuație de compatibilitate este ecuația scrisă pentru variabile across din jurul unei căi închise (de exemplu, buclă) care conectează mai multe elemente concentrate în sistem. Ea dictează faptul că la un moment dat, valoarea variabilei across la un punct din sistem ar trebui să fie unică (adică nu poate avea două sau mai multe valori diferite). Aceasta garantează cerința ca o cale închisă să fie într-adevăr o cale închisă; nu există nicio rupere a buclei (adică, compatibilă).

Însumarea vitezelor, tensiunilor (legea tensiunilor a lui Kirchhoff), presiunilor sau temperaturilor la zero în jurul unei bucle de elemente oferă o ecuație de compatibilitate. Din nou, elementele sursă, care generează intrări pentru sistem, ar trebui să fie incluse și ele în scrierea ecuațiilor.

3.4.1 Etapele dezvoltării modelului

Dezvoltarea unui model analitic adecvat pentru un sistem mare și complex necesită o abordare sistematică. Sunt disponibile instrumente pentru a ajuta acest proces. Procesul de modelare poate fi simplificat urmând o secvență sistematică de etape. Etapele principale sunt enumerate mai jos:

1. Identificați sistemul de interes definind scopul său și limita sistemului.

2. Identificați sau specificați variabilele de interes. Acestea includ intrări (funcții de forțare sau excitații) și ieșiri (răspuns).

3. Aproximați (sau modelați) diferite segmente (componente sau procese sau fenomene) din sistem prin elemente ideale care sunt interconectate adecvat.

4. Desenați o diagramă de corp liber pentru sistemul în care elementele individuale sunt izolate sau separate, după caz.

5. a. Scrieți ecuațiile constitutive (legi fizice) pentru elemente.

b. Scrieți ecuațiile de continuitate (sau de conservare) pentru variabile through (echilibrul forțelor la articulații; echilibrul curenților la noduri, echilibrul fluxului de fluid etc.) la joncțiunile (nodurile) sistemului.

c. Scrieți ecuațiile de compatibilitate pentru variabile across (potențial sau cale) în jurul căilor închise care leagă elemente. Acestea sunt ecuații de buclă pentru viteze (conectivitate geometrică), tensiune (echilibru potențial), cădere de presiune etc.

d. Eliminați variabilele auxiliare care sunt redundante și care nu sunt necesare pentru a defini modelul.

6. Exprimați condițiile de delimitare a sistemului și condițiile inițiale de răspuns utilizând variabile de sistem.

Aceste etape ar trebui să fie auto-explicative și ar trebui să fie integrate cu tehnica particulară de modelare folosită. Procedurile asociate vor fi elaborate în secțiunile și capitolele ulterioare, unde vor fi furnizate și numeroase exemple ilustrative.

3.4.2 Modele intrare-ieșire

Poate fi necesară mai mult de o variabilă pentru a reprezenta răspunsul unui sistem dinamic. Mai mult, pot exista mai multe variabile de intrare într-un sistem. Atunci avem un sistem multivariabil sau un sistem MIMO (multi-input-multi-output). Un model analitic pe domeniu-timp poate fi dezvoltat ca un set de ecuații diferențiale legând variabilele de răspuns cu variabilele de intrare. Acesta este specific unui model intrare-ieșire multivariabil. În general, acest set de ecuații de sistem este cuplat, astfel încât în ​​fiecare ecuație diferențială apare mai mult de o variabilă de răspuns și fiecare ecuație nu poate fi analizată, rezolvată sau simulată pe computer separat.

3.4.3 Modele spațiu-stare

O reprezentare de domeniu-timp deosebit de utilă pentru un sistem dinamic este un model spațiu-stare. Variabilele de stare sunt un set minim de variabile care pot defini starea dinamică a unui sistem. În reprezentarea spațiu-stare, dinamica unui sistem de ordinul al n-lea este reprezentată de n ecuații diferențiale de prim ordin care sunt în general cuplate. Acesta se numește model de spațiu-stare sau pur și simplu model de stare. Un întreg set de ecuații de stare poate fi scris ca o singură ecuație de stare vector-matrice.

Alegerea variabilelor de stat nu este unică: multe opțiuni sunt posibile pentru un sistem dat. Selectarea corectă a variabilelor de stare este crucială în dezvoltarea unui model analitic (model de stare) pentru un sistem dinamic. O abordare generală care poate fi adoptată este utilizarea variabilelor across a elementelor independente de stocare a energiei de tip-A (sau tip-across), și a variabilelor through ale elementelor de stocare a energiei independente de tip-T (sau tip-through) ca variabile de stare. Rețineți că, dacă oricare două elemente nu sunt independente (de exemplu, dacă două elemente de arc sunt conectate direct în serie sau paralel), atunci doar o singură variabilă de stare trebuie utilizată pentru a reprezenta ambele elemente. Nu sunt necesare variabile de stare separate pentru a reprezenta elemente tip-D (disipative), deoarece răspunsul lor poate fi reprezentat în raport de variabilele de stare ale elementelor de stocare a energiei (tip-A și tip-T). Modelele spațiu-stare și caracteristicile lor sunt discutate mai detaliat acum.

3.4.3.1 Ecuații liniare de stare

Modelele de stare neliniare sunt dificil de analizat și simulat. Adesea, liniaritatea este necesară, prin diferite forme de aproximări și presupuneri. Un model de stare, liniar, de ordin n este dat de ecuațiile de stare (diferențiale):

și ecuațiile de ieșire (algebrice):

Aici, x˙= dx/dt; x1, x2,…, xn sunt n variabile de stare; u1, u2,…, ur sunt r variabile de intrare; și y1, y2,…, ym sunt m variabile de ieșire. Ecuația 3.5a spune pur și simplu că o modificare a oricăreia dintre n variabile și r intrări ale sistemului va afecta rata de modificare a oricărei variabile de stat date. În general, pe lângă variabilele de stare, sunt necesare și variabile de ieșire pentru a reprezenta variabilele de ieșire, așa cum este indicat în Ecuația 3.6a. Totuși, mai des, variabilele de intrare nu sunt prezente în acest set de ecuații de ieșire (adică coeficienții dij sunt toți zero).

Acest model de stare poate fi rescris în forma vector-matrice ca

Litera mare cu bold indică faptul că variabila este o matrice; o literă mică, cu bold, indică un vector, de obicei un vector coloană. Specific,

unde

x = [x₁x₂ ... x_n]^T este vectorul de stare (ordinul n)
u = [u₁u₂ ... u_r]^T este vectorul de intrare (ordinul r)
y = [y₁ y₂ ... y_m]^T este vectorul de ieșire (ordinul m)
A este matricea sistemului (n × n)
B este matricea de distribuție a intrării (n × r)
C este matricea câștigului de ieșire (sau măsurare) (m × n)
D este matricea câștigului de intrare a semnalului de comandă (m × r)

Rețineți că [ ]^T reprezintă transpusa unei matrice sau a unui vector. Matricea sistemului A ne spune cum răspunde natural sistemul fără nicio intrare externă, iar B ne spune cum intrarea u afectează (adică, modul în care este amplificată și distribuită atunci când ajunge) sistemul.

Rezumând

• Vectorul de stare este cel mai mic (minimal) set de variabile care determină complet starea dinamică a sistemului → O variabilă de stare nu poate fi exprimată ca o combinație liniară a celorlalte variabile de stare rămase.

• Vectorul de stare nu este unic; multe opțiuni sunt posibile pentru un anumit sistem.

• Variabilele de ieșire (răspuns) pot fi complet determinate din orice alegere a variabilelor de stare.

• Variabilele de stare pot avea sau nu o interpretare fizică.

Un sistem liniar este invariant în timp dacă matricile A, B, C și D (în ecuațiile 3.5 și 3.6) sunt constante.

Pași pentru dezvoltarea modelului de stare

Notă: Sunt introduse intrări (u) și ieșiri (y)

Pasul 1: selectarea variabilei de stare (x)

Variabile across pentru elemente independente de stocare a energiei de tip-A

Variabile through elemente independente de stocare a energiei de tip-T

Pasul 2: Scrieți ecuațiile constitutive pentru toate elementele (atât elemente de stocarea energiei, cât și elemente disipative)

Pasul 3: Scrieți ecuațiile de compatibilitate și ecuațiile de continuitate

Pasul 4: Eliminați variabilele redundante

Pasul 5: Exprimați ieșirile în raport de variabilele de stare

Exemplul 3.1

Arborele de ieșire rigid al unui motor diesel funcționează la viteza unghiulară Ω(t) cunoscută. El este conectat printr-un ambreiaj de frecare la un arbore flexibil, care la rândul său acționează o pompă hidraulică (vezi figura 3.5a). Un model liniar pentru acest sistem este prezentat schematic în figura 3.5b. Un amortizor rotativ vâscos cu constanta de amortizare B1 reprezintă ambreiajul (unități: cuplu/viteză unghiulară). Rigiditatea arborelui flexibil este K (unități: cuplu/rotație). Pompa este reprezentată de o roată cu moment de inerție J (unități: cuplu/accelerație unghiulară) și constantă de amortizare vâscoasă B2.

(a) Scrieți cele două ecuații de stare referitoare la variabilele de stare T și ω la intrarea Ω.

unde: T este cuplul din arborele flexibil
ω este viteza pompei

FIGURA 3.5 (a) Motor diesel; (b) model liniar;
(c) diagrama corpului liber a arborelui; (d) diagrama corpului liber a roții

Sugestii:

1. Diagrama corpului liber pentru arbore este prezentată în figura 3.5c, unde ω1 este viteza unghiulară la capătul stâng al arborelui.

2. Scrieți relațiile „echilibru de cuplu” și „constitutivă” pentru arbore și eliminați ω1.

3. Desenați diagrama corpului liber pentru roata J și folosiți principiul lui D'Alembert.

4. Comentați de ce ecuațiile de compatibilitate și ecuațiile de continuitate nu sunt utilizate explicit în dezvoltarea ecuațiilor de stare.

(a) Exprimați ecuațiile de stare sub forma vector-matrice.

(b) Pentru a completa modelul spațiu-stare, determinați ecuația de ieșire pentru: (i) Ieșire = ω; (ii) Ieșire = T; (iii) Ieșire = ω1.

(c) Cu care dintre sistemele de translatare din figura 3.6 este similar sistemul din figura 3.5b?

Soluţie

(a)

Relație constitutivă pentru K:

FIGURA 3.6 Trei sisteme mecanice translatorii

Relație constitutivă pentru B1:

Înlocuiți (ii) în (i):

Aceasta este o ecuație de stare.

Ecuația constitutivă pentru J (principiul lui D'Alembert, a se vedea figura 3.5d):

Relație constitutivă pentru B2:

Înlocuind (v) în (iv):

Aceasta este a doua ecuație de stare.

Notă: Pentru acest exemplu, nu este necesară scrierea ecuațiilor de continuitate și compatibilitate, deoarece sunt implicit satisfăcute de alegerea particulară a variabilelor, așa cum este prezentată în figura 3.5.

Comentarii importante

1. În general, unele dintre ecuațiile de continuitate (ecuații de nod) și ecuații de compatibilitate (ecuații de buclă) sunt satisfăcute automat prin alegerea variabilelor. Atunci, nu trebuie să scriem ecuațiile corespunzătoare.

2. În sistemele mecanice, de regulă, ecuațiile de compatibilitate sunt satisfăcute automat. Acesta este cazul prezentului exemplu. În particular, din figura 3.7a avem:

Ecuația buclei 1: ω + (−ω) = 0

Ecuația buclei 2: ω + (ω1 - ω) + (Ω - ω1) + (−Ω) = 0

3. Ecuațiile nodurilor pot fi scrise în detaliu prin introducerea altor variabile auxiliare în diagrama corpului liber; și, în plus, ecuațiile constitutive pentru elementele de amortizare pot fi scrise separat. Specific, din figura 3.7b, putem scrie

Nodul 1: Td1 - T = 0

Nodul 2: T - TJ1 = 0

Nodul 3: TJ2 - Td2 = 0

Amortizor B1: Td1 = B1(Ω - ω1)

Amortizor B2: Td2 = B2ω

FIGURA 3.7 Detalii model pentru scriere (a) ecuații pe buclă; (b) ecuațiile în nod

(b) Forma vector-matrice a ecuațiilor de stare (iii) și (iv) este

(c)

cu vectorul de stare x = [T ω]^T și intrarea u = [Ω]

(i) C = [0 1]; D = [0]

(ii) C = [1 0]; D = [0]

(iii) Aici, folosim ecuația de continuitate pentru a exprima ieșirea ca

Atunci, matricile corespunzătoare sunt

C = [−1/B1 0]; D = [1]

În acest caz, observăm un „feed-forward” direct al intrării Ω în ieșirea ω1 prin ambreiajul B1. Mai mult, acum funcția de transfer a sistemului va avea ordinul numărătorului său egal cu ordinul numitorului (= 2). Aceasta este o caracteristică a sistemelor cu transmisie directă („feed-forward”) a intrărilor la ieșiri.

(d) Sistemul de translație din figura 3.6a este analog cu sistemul de rotație dat.

Exemplul 3.2

Luați în considerare două rezervoare de apă unite de o conductă orizontală cu o supapă ON-OFF. Cu supapa închisă, nivelele de apă din cele două rezervoare au fost inițial menținute inegale. Când supapa a fost deschisă brusc, au fost observate unele oscilații în nivelele de apă ale rezervoarelor. Să presupunem că sistemul este modelat ca două condensatoare tip gravitație conectate printr-un rezistor fluid. Acest model ar prezenta oscilații ale nivelelor de apă atunci când este supus unei excitații cu condiție inițială? Explicați-vă clar răspunsul.

O pompă centrifugă este utilizată pentru a pompa apa dintr-un puț într-un rezervor aerian. Acest sistem de fluide este prezentat schematic în figura 3.8a. Pompa este considerată o sursă de presiune Ps(t), iar nivelul apei h din rezervorul aerian este ieșirea sistemului. Pa este presiunea ambientală. Se dau următorii parametri de sistem:

Lv, dv = lungimea și diametrul intern al segmentului vertical al conductei
Lh, dh sunt lungimea și diametrul intern al segmentului orizontal al conductei
At este aria secțiunii transversale a rezervorului aerian (uniformă)
ρ este densitatea de masă a apei
μ este vâscozitatea dinamică a apei
g este accelerația datorată gravitației

FIGURA 3.8 (a) Un sistem de pompare a apei dintr-un puț într-un rezervor aerian; (b) un model cu parametri concentrați ai sistemului de fluide

Să presupunem că acest sistem de fluide este aproximat de modelul cu parametri concentrați, prezentat în figura 3.8b.

(a) Dați expresii pentru rezistența liniară echivalentă a fluidului pentru întreaga conductă (adică segmentele vertical și orizontal combinate) Req, inertanța echivalentă a fluidului în toată conducta Ieq, și capacitatea gravitațională de fluid a rezervorului aerian Cgrv, în raport de parametrii sistemului definiți ca mai sus.

(b) Tratând x = [P3a Q]^T ca vector de stare,

unde

P3a este capul de presiune al rezervorului aerian
Q este debitul de volum prin conductă

dezvoltați un model complet spațiu-stare pentru sistem. În mod special, obțineți matricele A, B, C și D.

(c) Obțineți ecuația diferențială de intrare-ieșire a sistemului.

Soluţie

Deoarece efectele de inerție sunt neglijate în model și doar două condensatoare sunt folosite ca elemente de stocare a energiei, există un singur tip de energie în acest sistem. Prin urmare, acest model nu poate oferi un răspuns oscilator la o excitație a condiției inițiale (adică, oscilațiile naturale nu sunt posibile). Totuși, sistemul fizic real are inerție fluidă și, prin urmare, sistemul poate prezenta un răspuns oscilator.

(a) Presupunând un profil parabolic de viteză, inertanța fluidului într-o conductă de secțiune transversală uniformă A și lungime L, este dată de

Întrucât același debit de volum Q este prezent în ambele segmente de conductă (continuitate), avem pentru conectarea în serie,

Rezistența liniară a fluidului într-o conductă circulară este

unde d este diametrul intern.

Din nou, deoarece același Q există în ambele segmente ale conductei conectate în serie,

Notă: Ecuațiile constitutive (nod) sunt satisfăcute automat.

Ecuații de compatibilitate (buclă):

Acum eliminați variabila auxiliară P23 din shell-ul spațiu-stare, folosind ecuațiile rămase. Va da

P23 = P1a - P12 - P3a = Ps(t) - ReqQ - P3a

Prin urmare, modelul spațiu-stare este dat de

Ecuații de stare:

Matricile corespondente sunt

(c) Înlocuiți ecuația (i) în (ii):

Acum ecuația substitutivă (iii) pentru P3a:

Acesta este modelul intrare-ieșire.

3.5 Liniarizarea modelului