Analiza erorii într-un instrument sau într-un sistem mecatronic multicomponent este o sarcină foarte provocatoare. Dificultăți apar din mai multe motive, în special următoarele:

1. Valoarea adevărată este de obicei necunoscută.

2. Citirea instrumentului poate conține erori aleatoare care nu pot fi determinate cu exactitate.

3. Eroarea poate fi o funcție complexă (adică nu simplă) de mai multe variabile (variabile de intrare și variabile de stare sau variabile de răspuns).

4. Sistemul/instrumentul poate fi format din mai multe componente care au interrelații complexe (cuplare dinamică, răspunsuri cu multiple grade de libertate, neliniarități etc.) și fiecare componentă poate contribui la eroarea generală.

Primul subiect este un subiect filosofic care ar duce la un argument similar cu controversa găină-ou. De exemplu, dacă valoarea adevărată este cunoscută, nu este necesară măsurarea acesteia; și dacă valoarea adevărată nu este cunoscută, este imposibil să se determine exact cât de inexactă este o anumită citire. De fapt, această situație poate fi abordată într-o oarecare măsură folosind reprezentări statistice ale erorii, ceea ce ne duce la al doilea subiect enumerat. Al treilea și al patrulea subiect pot fi abordate prin combinarea erorilor în sisteme multivariabile și prin propagarea erorilor în sisteme complexe multicomponent. Nu este posibil să se ofere aici o tratare completă a tuturor acestor subiecte. Doar o introducere în tehnici analitice simple va fi dată, folosind exemple ilustrative. Conceptele discutate aici sunt utile nu numai în analiza statistică a erorilor, ci și în domeniul controlului statistic al proceselor (SPC) - utilizarea semnalelor statistice pentru a îmbunătăți performanța unui proces. Efectuarea analizei statistice a unui semnal de răspuns și desenarea graficului său de control, împreună cu o linie de control superioară și o linie de control inferioară, sunt proceduri cheie în SPC.

5.7.1 Reprezentare statistică

În general, eroarea este o variabilă aleatoare. Este definită ca

Eroare = (citirea instrumentului) - (valoarea adevărată) (5.6)

Hazardul asociat cu un măsurand poate fi interpretat în două moduri. În primul rând, având în vedere că valoarea adevărată a măsurandului este o cantitate fixă, hazardul poate fi interpretat ca o comportarea aleatoare în eroare, care provine de obicei din factorii aleatori în răspunsul instrumentului. În al doilea rând, analizând problema într-o manieră mai practică, analiza erorilor poate fi interpretată ca o „problemă de estimare” în care obiectivul este de a estima adevărata valoare a unui măsurand dintr-un set cunoscut de citiri. În acest ultim punct de vedere, valoarea adevărată „estimată” în sine devine o variabilă aleatoare. Indiferent ce abordare este folosită, totuși, aceleași concepte statistice pot fi utilizate pentru a reprezenta eroarea. Anexa C oferă o introducere la baza analitică a procedurilor necesare.

5.7.2 Acuratețe și precizie

Evaluările instrumentului, așa cum am menționat anterior, afectează acuratețea generală a unui instrument. Acuratețea poate fi atribuită fie unei anumite citiri, fie unui instrument. Rețineți că acuratețea instrumentului depinde nu numai de hardware fizic al instrumentului, ci și de condițiile de operare (de exemplu, condiții de proiectare care sunt condiții normale, condiții de funcționare staționară sau condiții tranzitorii extreme, cum ar fi pornirea și oprirea de urgență). Acuratețea măsurătorii determină apropierea valorii măsurate de valoarea adevărată. Acuratețea instrumentului este legată de cea mai proastă acuratețe obținută în gama dinamică a instrumentului într-un mediu de operare specific. Eroarea de măsurare este definită ca:

Eroare = (valoarea măsurată) - (valoarea adevărată) (5.7)

Corecția, care este negativul erorii, este definit ca fiind

Corecție = (valoarea adevărată) - (valoarea măsurată) (5.8)

Fiecare dintre acestea poate fi exprimată și ca procent din valorile adevărate. Acuratețea unui instrument poate fi determinată prin măsurarea unui parametru a cărui valoare adevărată este cunoscută, în apropierea extremelor gamei dinamice a instrumentului, în anumite condiții de operare.

În acest scop, ar fi nevoie de parametri sau semnale standard care pot fi generate la nivele foarte ridicate de acuratețe. Institutul Național pentru Standarde și Testare (NIST) este de obicei responsabil pentru generarea acestor standarde. Dar, acuratețea și valorile de eroare nu pot fi determinate la exactitate de 100% în aplicațiile tipice, deoarece nu se știe valoarea adevărată pentru începe cu ea. Într-o situație dată, putem face doar estimări pentru acuratețe, folosind evaluările furnizate de producătorul instrumentului sau analizând datele din măsurătorile și modelele anterioare.

Cauzele erorii includ instabilitatea instrumentului, zgomotul extern (perturbări), calibrarea slabă, informații inexacte (de exemplu, modele analitice slabe, legi de control inexacte și algoritmi de control digital), variații ale parametrilor (de exemplu, din cauza variațiilor de mediu, îmbătrânirea și uzura), neliniarități necunoscute și utilizarea necorespunzătoare a instrumentului.

Erorile pot fi clasificate ca deterministe (sau sistematice) și aleatorii (sau stocastice). Erorile deterministe sunt cele cauzate de factori bine definiți, ca neliniaritățile și offset-urile din citiri. Acestea pot fi contabilizate, de regulă, prin practici de calibrare și analiză adecvate. Evaluările erorilor și graficele de calibrare sunt utilizate pentru a elimina erorile sistematice din citirile instrumentului. Erorile aleatorii sunt cauzate de factori incerți care intră în răspunsul instrumentului. Acestea includ zgomotul dispozitivului, zgomotul de linie și efectele variațiilor aleatoare în mediul de operare. O analiză statistică folosind cantități suficient de mari de date este necesară pentru a estima erorile aleatorii. Rezultatele sunt de obicei exprimate ca o eroare medie, care este partea sistematică a erorii aleatoare și o abatere standard sau un interval de încredere pentru răspunsul instrumentului.

Precizia nu este sinonimă cu acuratețea. Reproductibilitatea (sau repetabilitatea) unei citiri a unui instrument determină precizia unui instrument. Un instrument care are o eroare de offset mare poate fi capabil să genereze un răspuns la o precizie ridicată, chiar dacă această ieșire este în mod clar inexactă. De exemplu, luați în considerare un dispozitiv de cronometrare (ceas) care indică foarte exact creșteri de timp (să zicem până la cea mai apropiată nanosecundă). Dacă ora de referință (ora de pornire) este setată incorect, citirea timpului va fi în eroare, chiar dacă ceasul are o precizie foarte mare.

Eroarea instrumentului poate fi reprezentată de o variabilă aleatoare care are o valoare medie μe și o abatere standard σe. Dacă abaterea standard este zero, variabila este considerată deterministă. În acest caz, se spune că eroarea este deterministă sau repetabilă. In caz contrar, se spune că eroarea este aleatoare. Precizia unui instrument este determinată de abaterea standard de eroare în răspunsul instrumentului. Citirile unui instrument pot avea o valoare medie mare de eroare (de exemplu, offset mare), dar dacă abaterea standard este mică, instrumentul are o precizie ridicată. Prin urmare, o definiție cantitativă pentru precizie ar fi

Precizie = intervalul de măsurare/σe (5.9)

Lipsa de precizie provine din cauze aleatorii și din practicile de construcție deficitare. Nu poate fi compensată prin recalibrare, deoarece precizia unui ceas nu poate fi îmbunătățită prin resetarea orei. Pe de altă parte, acuratețea poate fi îmbunătățită prin recalibrare. Acuratețea repetabilă (deterministă) este invers proporțională cu mărimea erorii medii μe.

Potrivirea evaluărilor instrumentului cu specificațiile este foarte importantă în selectarea instrumentelor pentru aplicația mecatronică. De asemenea, trebuie luate în considerare câteva aspecte suplimentare. Acestea includ limitări geometrice (dimensiune, formă etc.), condiții de mediu (de exemplu, reacții chimice incluzând coroziune, temperaturi extreme, lumină, acumulare de murdărie, câmpuri electromagnetice, medii radioactive, șoc și vibrații), cerințe de putere, simplitate operațională, disponibilitate, înregistrare anterioară și reputația producătorului și a instrumentului particular și aspecte economice legate de costuri (costuri inițiale, costuri întreținere, costul componentelor suplimentare, cum ar fi dispozitivele de condiționare și prelucrare a semnalului, durata de viață a proiectării și frecvența asociată de înlocuire și costul dislocării și înlocuirii). Adesea, aceste considerente devin factorii decisivi finali în procesul de selecție.

5.7.3 Combinarea erorilor

Eroarea într-o variabilă de răspuns a unui dispozitiv sau într-un parametru estimat al unui sistem ar depinde de erorile prezente în variabilele măsurate și valorile parametrilor care sunt folosite pentru a determina variabila sau parametrul necunoscut. Cunoașterea modului în care erorile componente sunt propagate într-un sistem multicomponent și modul în care erorile individuale din variabilele și parametrii sistemului contribuie la eroarea generală într-o anumită variabilă sau parametru de răspuns ar fi importantă în estimarea limitelor de eroare în sisteme mecatronice complexe. De exemplu, dacă puterea de ieșire a unui manipulator de rotație este calculată prin măsurarea cuplului și a vitezei la arborele de ieșire, marjele de eroare din cele două „variabile de răspuns” măsurate (cuplu și viteză) ar fi combinate direct în eroarea din calculul puterii. În mod similar, dacă frecvența naturală a unui sistem simplu de suspensie este determinată prin măsurarea „parametrilor” masă și rigiditatea arcului ai suspensiei, estimarea frecvenței naturale ar fi direct afectată de posibile erori în măsurările de masă și rigiditate. Extinzând în continuare această idee, eroarea generală într-un sistem mecatronic depinde de nivelele individuale de eroare din diferite componente (senzori, actuatoare, hardware controller, filtre, amplificatoare etc.) ale sistemului și de modul în care aceste componente sunt interconectate fizic și interrelaționate fizic. De ex., într-un manipulator robot, acuratețea traiectoriei reale a efectorului final va depinde de acuratețea senzorilor și a actuatoarelor la articulațiile manipulatorului și de acuratețea controllerului robotului. Rețineți că avem de-a face cu o idee generalizată de propagare a erorilor care consideră erorile în variabilele sistemului (de exemplu, semnalele de intrare și ieșire, cum ar fi viteze, forțe, tensiuni, curenți, temperaturi, viteze de transfer a căldurii, presiuni și debite), parametrii sistemului (de ex., masa, rigiditatea, amortizarea, capacitatea, inductanța, rezistența, conductivitatea termică și vâscozitatea) și componentele sistemului (de ex., senzori, actuatoare, filtre, amplificatoare, circuite de control, conductori termici și supape).

Pentru dezvoltarea analitică a unui rezultat de bază în combinarea erorilor, vom porni cu o relație funcțională de forma

Aici, xi sunt variabilele de sistem independente sau valorile parametrilor a căror eroare este propagată într-o variabilă dependentă (sau valoarea parametrului) y. Determinarea acestei relații funcționale nu este întotdeauna simplă, iar relația în sine poate fi în eroare. Întrucât intenția noastră este de a face o estimare rezonabilă pentru posibila eroare în y datorită efectului combinat al erorilor din xi, o relație funcțională aproximativă ar fi adecvată în majoritatea cazurilor. Să notăm eroarea într-o variabilă prin diferențiala acelei variabile. Luând diferențiala ecuației 5.10, obținem

pentru erori mici. Pentru cei care nu sunt familiarizați cu calculul diferențial, Ecuația 5.11 ar trebui interpretată ca termeni de ordinul întâi într-o dezvoltare de serie Taylor a Ecuația 5.10. Acum, prin rescrierea Ecuației 5.11 sub forma fracțională, obținem

Aici, δy/y reprezintă eroarea generală și δxi/xi reprezintă eroarea componentă, exprimată ca fracții. Vom lua în considerare două tipuri de estimări pentru eroarea generală.

5.7.4 Eroare absolută

Întrucât eroarea δxi poate fi pozitivă sau negativă, o limită superioară pentru eroarea generală este obținută prin însumarea valorii absolute a fiecărui termen din partea dreaptă în Ecuația 5.12. Această eABS estimată, denumită eroare absolută, este dată de

Rețineți că eroarea componentă ei și eroarea absolută eABS din Ecuația 5.13 sunt întotdeauna cantități pozitive; atunci când se specifică eroarea, însă, limitele pozitivă și negativă ar trebui indicate sau implicite (de exemplu, ± eABS, ± ei).

5.7.5 Eroare SRSS

Ecuația 5.13 oferă o estimare conservativă (limita superioară) pentru eroarea generală. Deoarece estimarea în sine nu este precisă, deseori este risipitor să se introducă așa un conservatorism de înalt. O estimare a erorii neconservativă care este frecvent utilizată în practică este eroarea SRSS. După cum îi spune și numele, aceasta este dată de

Aceasta nu este o estimare de limită superioară pentru eroare. În particular, eSRSS < eABS atunci când există mai multe contribuții de eroare nenule. Relația de eroare SRSS este adecvată în special atunci când eroarea componentă este reprezentată de abaterea standard a variabilei asociate sau valorii parametrului și când sursele de eroare corespunzătoare sunt independente. Acum vom prezenta câteva exemple de combinație de erori.

Exemplul 5.7

Folosind metoda valorii absolute pentru combinarea erorilor, determinați eroarea fracțională din fiecare element xi astfel încât contribuția de la fiecare element la eroarea generală eABS să fie aceeași.

Soluţie

Pentru o contribuție egală, trebuie să avem

Exemplul 5.8

Rezultatul obținut în exemplul precedent este util în proiectarea sistemelor multicomponentă și în selectarea rentabilă a instrumentației pentru o anumită aplicație. Utilizând Ecuația 5.15, aranjați elementele xi în ordinea semnificației lor.

Soluţie

Rețineți că ecuația 5.15 poate fi scrisă ca

unde K este o cantitate care nu variază cu xi. Rezultă că pentru o contribuție de eroare egală din partea tuturor elementelor, eroarea în xi ar trebui să fie invers proporțională cu |xi (∂f/∂xi)|. În special, elementul cu cel mai mare |x (∂f/∂x)| ar trebui să fie cel mai exact. În acest mod, poate fi estimată acuratețea relativă admisibilă pentru diverse componente. Întrucât, în general, cel mai exact dispozitiv este și cel mai costisitor, costul instrumentării poate fi optimizat dacă componentele sunt selectate în funcție de acuratețea generală necesară, folosind un criteriu precum cel implicat de Ecuația 5.16.

Exemplul 5.9

Figura 5.10 prezintă schematic un dispozitiv optic pentru măsurarea deplasării. Acest senzor este în esență un potențiometru optic. Elementul potențiometru este uniform și are o rezistență Rc. Un strat fotorezistiv este depus pe acest element și este un conductor perfect de electricitate. O sursă de lumină, care se mișcă cu obiectul a cărui deplasare este măsurată, direcționează un fascicul de lumină a cărui intensitate este I, către o regiune dreptunghiulară îngustă a stratului fotorezistiv. Ca urmare, această regiune devine rezistivă cu rezistența R care unește elementul potențiometru și elementul conductor, așa cum este arătat. S-a constatat o relație empirică între R și I

în care rezistența R este în kΩ și intensitatea luminii I este exprimată în wați pe metru pătrat (W/m² ). Parametrii Ro și Io sunt constante empirice care au aceleași unități ca R și I, respectiv. Acești doi parametri au, în general, unele erori experimentale.

FIGURA 5.10 Un senzor optic de deplasare

(a) Schițați curba lui R față de I și explicați semnificația parametrilor Ro și Io.

(b) Folosind metoda erorii absolute, arătați că eroarea fracțională combinată eR în rezistența de legătură R poate fi exprimată ca

în care eR0, eI și eI0 sunt erorile fracționale în Ro, I și, respectiv, Io.

(c) Să presupunem că eroarea empirică a modelului senzorului poate fi exprimată ca eR0 = ± 0,01 și eI0 = ± 0,01 și datorită variațiilor în alimentarea la sursa de lumină și în condițiile de iluminare ambientală, eroarea fracțională în I este de asemenea ± 0.01. Dacă eroarea eR trebuie menținută în intervalul ± 0,02, la ce nivel de intensitate a luminii (I) ar trebui să opereze sursa de lumină? Presupunem că valoarea empirică a I0 este de 2,0 W/m².

(d) Discutați despre avantajele și dezavantajele acestui dispozitiv ca senzor de deplasare dinamică.

Soluţie

Ro reprezintă rezistența minimă oferită de puntea fotorezistivă (adică la nivele foarte mari de intensitate a luminii). Când I = Io, rezistența punții R este de aproximativ 2,7Ro, prin urmare, Io reprezintă o limită inferioară pentru intensitatea pentru funcționarea corectă a senzorului. O limită superioară adecvată pentru intensitate ar fi 10Io pentru o funcționare satisfăcătoare. La această valoare, R ≈ 1,75Ro, așa cum se arată în figura 5.11.

FIGURA 5.11 Curba caracteristică a senzorului

Diferențiați

Prin urmare, cu metoda absolută de combinare a erorilor,

(c) Cu valorile numerice date, avem

Notă: Pentru valori mai mari ale lui I, eroarea absolută în R0 ar fi mai mică. De exemplu, pentru I = 10Io, avem

d) Avantaje

• Fără contact

• Masă mică în mișcare (încărcare inerțială mică)

• Toate avantajele unui potențiometru

Dezavantaje

• Variația neliniară și exponențială a lui R

• Efectul iluminării ambientale

• Posibil comportament neliniar al dispozitivului (relație intrare-ieșire)

• Efectul variațiilor alimentării la sursa de lumină

• Efectul îmbătrânirii sursei de lumină

5.8 Controlul statistic al proceselor