Sistemele reale sunt neliniare și sunt reprezentate de modele analitice neliniare constând din ecuații diferențiale neliniare. Sistemele liniare (modelele) sunt de fapt reprezentări idealizate și sunt reprezentate de ecuații diferențiale liniare. În mod clar, este mult mai convenabil să analizați, să simulați, să proiectați și să controlați sisteme liniare. În special, principiul suprapunerii este valabil pentru sistemele liniare, făcând astfel procedurile analitice mult mai simple. Din aceste motive, sistemele neliniare sunt adesea aproximate de modele liniare.

Dacă relațiile de intrare/ieșire sunt ecuații algebrice neliniare, aceasta reprezintă o neliniaritate statică. O astfel de situație poate fi gestionată pur și simplu utilizând curbe de calibrare neliniare, care vor liniariza dispozitivul fără a introduce erori de neliniaritate. Dacă, pe de altă parte, relațiile de intrare/ieșire sunt ecuații diferențiale neliniare, analiza devine de obicei destul de complexă. Această situație reprezintă o neliniaritate dinamică. Manifestările obișnuite ale neliniarităților în dispozitive și sisteme sunt saturația, zona moartă, histerezisul, fenomenul de salt, răspunsul ciclului limită și crearea frecvenței.

Nu este posibilă reprezentarea unui sistem extrem de neliniar de către un singur model liniar în întreaga sa gamă de operații. Pentru mici „modificări” în răspunsul sistemului, totuși, poate fi elaborat un model liniar, care este valabil în vecinătatea unui punct de operare al sistemului în jurul căruia au loc mici modificări de răspuns. În această secțiune, vom studia linearizarea unui sistem/model neliniar într-o gamă restrânsă de operare, în jurul unui punct de operare. Vor fi tratate prima liniaritare atât a modelelor analitice, în special a modelelor spațiu-stare, cât și a modelelor intrare-ieșire. Apoi, este abordată linearizarea modelelor experimentale (date experimentale).

3.5.1 Linearizare în jurul unui punct de operare

Linearizarea se realizează în jurul unui punct de operare - de obicei starea normală de funcționare a sistemului, în mod necesar (care este starea staționară sau o stare de echilibru). În stare staționară, prin definiție, ratele de variație a variabilelor sistemului sunt zero. Prin urmare, starea de echilibru este determinată prin stabilirea termenilor derivați de timp în ecuațiile sistemului la zero și apoi soluționarea ecuațiilor algebrice rezultate. Acest lucru poate duce la mai mult de o soluție, deoarece ecuațiile de stare constantă (algebrice) în sine sunt neliniare. Soluțiile de stare staționară (echilibru) pot fi

1. Stabile (dând o schimbare ușoară, răspunsul sistemului va reveni în cele din urmă la starea inițială de echilibru)

2. Instabile (dând o schimbare ușoară, răspunsul sistemului va continua să se îndepărteze de starea inițială de echilibru)

3. Neutre (dând o schimbare ușoară, răspunsul sistemului va rămâne în condiția schimbată)

Luați în considerare o funcție neliniară f(x) a variabilelor independente x. Aproximarea ei în seria Taylor în jurul unui punct de operare (o), până la prima derivată, este dată de

Rețineți că δx reprezintă o modificare mică de la punctul de operare.

Acum indicați condiția de operare cu (¯) și o mică creștere în jurul acestei condiții cu (ˆ). Avem

O ilustrație grafică a acestei abordări de linearizare este dată în figura 3.9.

Din Ecuația 3.7 se vede că incrementul funcției, datorită creșterii variabilei sale independente, este

Eroarea rezultată din această aproximare este

FIGURA 3.9 Linearizare în jurul unui punct de operare

Această eroare poate fi diminuată cu

1. Făcând funcția neliniară mai liniară

2. Reducerea variației xˆ de la punctul de operare

Notă: Dacă termenul este deja liniar, de exemplu, este cazul lui f = ax, unde a este coeficientul (constanta) termenului, termenul incremental liniarizat corespunzător este

Acest lucru este evident, deoarece, pentru un termen liniar, prima derivată (panta) este pur și simplu coeficientul său.

Mai mult, următoarele rezultate incrementale păstrează derivatele de timp ale variabilelor:

3.5.2 Funcția de două variabile

Procesul de linearizare, așa cum este prezentat mai sus, poate fi extins cu ușurință la funcțiile de mai multe variabile independente. Pentru ilustrare, considerăm o funcție neliniară f(x, y) de două variabile independente x și y. Aproximarea în serie Taylor de prim ordin este

unde (¯) indică condiția de operare și (ˆ) arată o mică creștere a acestei condiții, ca de obicei. În acest caz, pentru procesul de linearizare, avem nevoie de două pante locale ∂f(x¯,ӯ)/∂x și ∂f(x¯,ӯ)/∂y de-a lungul celor două direcții ortogonale ale variabilelor independente x și y.

Ar trebui să fie clar acum că linearizarea unui sistem neliniar se realizează prin înlocuirea fiecărui termen din ecuația sistemului prin incrementul său, în jurul unui punct de operare. Rezumăm mai jos pașii linearizării locale în jurul unui punct de operare:

1. Selectați punctul de operare (sau starea de referință). Aceasta este în mod obișnuit o stare de echilibru care poate fi determinată prin stabilirea termenilor derivați de timp în ecuațiile sistemului la zero și rezolvarea ecuațiilor algebrice neliniare rezultate.

2. Determinați pantele (derivate de ordinul întâi) ale fiecărui termen (funcție) neliniar din ecuația sistemelor în punctul de operare, în raport cu fiecare variabilă independentă.

3. Luați în considerare fiecare termen din ecuația sistemului. Dacă un termen este neliniar, înlocuiți-l cu panta sa (în punctul de operare) ori variabila incrementală corespunzătoare. Dacă un termen este liniar, înlocuiți-l cu coeficientul său (care este într-adevăr panta constantă a termenului liniar) ori variabila incrementală corespunzătoare.

3.5.3 Reducerea neliniarităților sistemului

În condiții constante, neliniaritățile sistemului pot fi eliminate prin calibrare. În condiții dinamice, însă, sarcina devine mult mai dificilă. Următoarele sunt câteva dintre măsurile de precauție și procedurile care pot fi luate pentru a elimina sau reduce neliniaritățile în sistemele dinamice:

1. Evitați operarea dispozitivului pe o gamă largă de nivele de semnal

2. Evitați operarea pe o bandă largă de frecvență

3. Folosiți dispozitive care nu generează mișcări mecanice mari

4. Minimizați frecarea Coulomb și frecarea statică (de exemplu, prin lubrifiere)

5. Evitați îmbinările slabe, cuplajul angrenajului etc., care pot provoca recul

6. Folosiți elemente de liniarizare, cum ar fi rezistoare și amplificatoare

7. Folosiți feedback de linearizare

În continuare, vom ilustra linearizarea modelului și analiza punctelor de operare folosind câteva exemple, care implică modele spațiu-stare și modele intrare-ieșire.

Exemplul 3.3

Sistemul robotizat de vopsire prin pulverizare a unei instalații de montaj automobilelor folosește un motor cu inducție și o combinație de pompe pentru a furniza vopsea, la o rată de vârf totală de 15 gal/min, la un grup de capete de vopsea prin pulverizare în mai multe cabine de vopsire. Cabinele de vopsire fac parte integrantă din linia de producție din fabrică. Stațiile de pompare și filtrare sunt la nivelul solului clădirii, iar cabinele de vopsire se află la un nivel superior. Nu toate cabinele sau capetele de vopsire funcționează la un moment dat. Presiunea în linia de alimentare a vopselei este menținută la un nivel dorit (aproximativ 275 psi sau 1,8 MPa) prin controlul vitezei pompei, care se realizează printr-o combinație de control al tensiunii și controlul frecvenței motorului cu inducție. În figura 3.10 este prezentat un model aproximativ pentru sistemul de pompare a vopselei.

Motorul cu inducție este conectat la pompă printr-o transmisie de angrenare cu eficiența η și raport de viteză 1: r și printr-un arbore flexibil cu rigiditate torsională kp. Momentele de inerție ale rotorului motor și ale rotorului de pompă sunt notate cu Jm și, respectiv, Jp. Inerția angrenajului este neglijată (sau concentrată cu Jm). Disipația mecanică în motor și rulmenții acestuia este modelată cu un amortizor de vâscozitate liniară cu constantă de amortizare bm.

FIGURA 3.10 Un model pentru un sistem de pompare
a vopselei într-o fabrică de montaj auto

Sarcina pe pompă (sarcina de vopsire plus orice disipație mecanică) este modelată și ea de un amortizor vâscos, iar constanta de amortizare echivalentă este bp. Cuplul magnetic Tm generat de motorul cu inducție este dat de

în care ωm este viteza motorului. Parametrul To depinde direct (pătratic) de tensiunea de fază (ac) furnizată motorului. Al doilea parametru ωo este direct proporțional cu frecvența de linie a alimentării cu curent alternativ. Al treilea parametru q este pozitiv și mai mare decât unitatea, iar acest parametru este presupus constant în sistemul de control.

(a) Comentați cu privire la acuratețea modelului prezentat în figura 3.10.

(b) Luând viteza motorului ωm, cuplul de arbore-pompă Tp și turația pompei ωp ca variabile de stare, obțineți sistematic cele trei ecuații de stare pentru acest model (neliniar). Explicați clar toate etapele implicate în obținere. Care sunt intrările în sistem?

(c) Ce reprezintă parametrii motorului ωo și To în ceea ce privește comportamentul motorului? Obțineți derivatele parțiale ∂Tm/∂ωm, ∂Tm/∂To și ∂Tm/∂ωo și verificați dacă prima dintre aceste trei expresii este negativă, iar celelalte două sunt pozitive.

Notă: în condiții normale de funcționare 0 < ωm <ωo.

Soluţie

(a) Reculul și inerția transmisiei angrenajului au fost neglijate în modelul prezentat. Acest lucru nu este exact în general. De asemenea, eficiența angrenajului η, care se presupune constantă aici, variază de obicei cu viteza angrenajului.

• De obicei, există o anumită flexibilitate în ax (cuplaj), care conectează angrenajul la motorul de antrenare.

• Disiparea de energie (în sarcina pompei și în diferiți rulmenți) a fost concentrată într-un singur element de amortizare vâscoasă liniară. În practică, această disipare a energiei este neliniară și distribuită.

(b) Viteza motorului ω_m = dθm/dt

Viteza de sarcină (pompă) ω_p = dθp/dt

unde

θm = rotirea motorului
θp = rotirea pompei

Fie Tg = cuplul de reacție la motor din angrenaj. Prin definire, eficiența angrenajului este dată de

Deoarece r este raportul de viteză, rωm este viteza de ieșire a angrenajului. De asemenea, putere = cuplu × viteză.

Avem

Următoarele trei ecuații constitutive pot fi scrise ca a doua lege a lui Newton (cuplu = inerție × accelerație unghiulară) pentru motor:

A doua lege a lui Newton pentru pompă:

Legea lui Hooke (cuplul = rigiditatea torsională × unghiul de răsucire) pentru arborele flexibil:

Ecuațiile (ii) ... (iv) furnizează cele trei ecuații de stare. În mod special, înlocuiți (i) în (ii):

Diferențiați (iv):

FIGURA 3.11 Curba caracteristică cuplu-viteză a unui motor cu inducție

Ecuația (iii):

Ecuațiile (v) ... (vii) sunt cele trei ecuații de stare. Acesta este un model neliniar cu vectorul de stare [ωm Tp ωp]^T. Intrarea este Tm. În mod strict, există două intrări, având în vedere curba caracteristică cuplu-viteză a motorului, așa cum este dată de ecuația 3.8 și schițată în figura 3.11, unde alunecarea parțială S a motorului de inducție este dată de

Cele două intrări sunt
ωo, viteza câmpului magnetic rotativ, care este proporțională cu frecvența de linie
To, care depinde în mod pătratic de tensiunea de fază

(c) Din ecuația 3.8:

Când ωm = 0 avem Tm = To. De aici To = ​​cuplul de pornire al motorului.

Când Tm = 0, avem ωm = ωo. Prin urmare, ωo = viteza fără sarcină.

Aceasta este viteza sincronă - în condiții de neîncărcare, nu există nicio alunecare în motorul cu inducție (adică, viteza reală a motorului este egală cu viteza ωo a câmpului magnetic rotativ).

Diferențiați ecuația 3.8 în raport cu To, ωo și ωm. Avem

Avem, β1 > 0; β2 > 0; și be > 0.

Notă: be = constanta de amortizare electrică a motorului.

(d) La un punct de operare în stare constantă, ratele de variație ale variabilelor de stare vor fi zero. Prin urmare, setați

în ecuațiile (v) ... (vii). Ne dă

Prin urmare,

(e) Luăm creșterile ecuațiilor de stare (v) ... (vii). Ne dă

unde, în fiecare derivată parțială, variabilele independente rămase sunt păstrate constante (prin definiție).

Ecuațiile (xi) ... (xiii) subordonate lui (ix) sunt cele trei ecuații de stare liniarizate. Definiți liniar:

Notă:
be este constanta electrică de amortizare a motorului
bm este constanta mecanică de amortizare a motorului

Aceasta este o ecuație diferențială de ordinul al treilea, așa cum era de așteptat, deoarece sistemul este de ordinul al treilea. De asemenea, așa cum am văzut, modelul spațiu-stare este de asemenea de ordinul al treilea.

Observație de la (xv):

Mai mult, se pot face următoarele observații, oarecum generale, din acest exemplu:

1. Constanta mecanică de amortizare bm provine din frecarea rulmentului și din alte surse mecanice ale motorului

2. Constanta de amortizare electrică be provine din interacțiunile electromagnetice din motor

3. Cele două trebuie să apară împreună (de exemplu, în analiza modelului, simularea, proiectarea și controlul). De exemplu, dacă răspunsul este subamortizat sau supraamortizat depinde de suma bm + be și nu de componentele individuale ← cuplare electromecanică.

3.5.4 Linearizare folosind curbe de operare experimentale

În unele situații, este posibil ca un model analitic exact să nu fie ușor disponibil pentru un sistem fizic existent. Dar, pot fi efectuate experimente pe sistem pentru a aduna curbe de operare pentru sistem. Aceste curbe de operare sunt utile în obținerea unui model liniar, care poate fi valoros, de exemplu, în controlul sistemului. Această abordare este discutată acum, luând ca sistem exemplu un motor electric.

3.5.4.1 Curbe de cuplu-turație a motoarelor

Curbele viteză-cuplu ale motoarelor în condiții constante (adică curbe de operare în stare constantă), sunt disponibile de la producătorii de motoare. Aceste curbe au forma caracteristică că scad lent până la un punct și apoi scad rapid la zero. Un exemplu de motor cu inducție AC este prezentat în figura 3.11. Curbele de operare ale motoarelor DC iau o formă caracteristică similară, nu identică. Forma curbei de operare depinde de modul în care înfășurările motorului (rotor și stator) sunt conectate și excitate. Cuplul la viteză zero este „cuplul de frânare” sau „cuplul de pornire” sau „cuplul de blocare”. Viteza la un cuplu zero este „viteza fără sarcină” care, pentru un motor cu inducție AC este și „viteza sincronă”. De obicei, aceste curbe experimentale sunt obținute după cum urmează. Tensiunea de alimentare a înfășurărilor motorului este menținută constantă, se aplică o sarcină (cuplu) cunoscută pe arborele motorului și odată ce condițiile devin constante (adică viteza constantă) se măsoară viteza motorului. Experimentul se repetă pentru creșteri de cuplu într-un interval adecvat. Aceasta oferă o curbă de operare pentru o tensiune de alimentare specificată. Experimentul se repetă pentru alte tensiuni de alimentare și se obține o serie de curbe.

Trebuie menționat că viteza motorului este menținută constantă în aceste experimente, deoarece reprezintă condiții de funcționare „stabile”. Aceasta înseamnă că inerția motorului (cuplul inerțial) nu este luată în considerare în aceste curbe, în timp ce amortizarea mecanică este. Prin urmare, inerția motorului trebuie introdusă separat atunci când se utilizează aceste curbe pentru a determina un model „dinamic” pentru un motor. Deoarece amortizarea mecanică este inclusă în măsurători, nu trebuie introdusă din nou. Desigur, dacă motorul este conectat la o sarcină externă, amortizarea, inerția și flexibilitatea sarcinii trebuie să fie contabilizate separat atunci când se utilizează curbe experimentale de operare a motoarelor în dezvoltarea de modele pentru sisteme dinamice integrate cu motor.

3.5.4.2 Modele liniare pentru controlul motorului

Luați în considerare un set experimental de curbe de funcționare în stare constantă pentru un motor, fiecare obținută la o tensiune de alimentare/control constantă. În special, considerați o curbă măsurată la tensiune vc și cealaltă măsurată la tensiune vc + Δvc, unde ΔTm este creșterea tensiunii de la un punct de operare la altul, așa cum se arată în figura 3.12.

FIGURA 3.12 Două curbe de funcționare în stare staționară a unui motor la tensiune de intrare constantă.

Desenați o tangentă la prima curbă într-un punct selectat (punctul de operare O). Panta tangentei este negativă, cum se arată. Mărimea sa b este dată de

Ar trebui să fie clar că b reprezintă o constantă de amortizare rotativă echivalentă (cuplu/viteză unghiulară) care include atât efecte electromagnetice cât și mecanice de amortizare în motor. Amortizarea mecanică inclusă provine în principal din frecarea rulmenților motorului și a efectelor aerodinamice. Deoarece nu este considerată o sarcină specifică în curba de operare, amortizarea sarcinii nu este inclusă.

Desenați o linie verticală prin punctul de operare O pentru a intersecta cealaltă curbă de operare. Am luat:

ΔTm = intersectarea cuplului între cele două curbe

Deoarece o linie verticală este o linie de viteză constantă, avem

Deoarece cuplul motor Tm este o funcție atât de viteza motorului ωm cât și de tensiunea de intrare vc (adică Tm = Tm (ωm, vc)), scriem din calculul de bază:

unde constanta de amortizare a motorului b și câștigul de tensiune kv sunt date de ecuațiile 3.13 și, respectiv, 3.14.

FIGURA 3.13 Sistemul mecanic al motorului

Ecuația 3.15 reprezintă un model liniarizat al motorului. Cuplul necesar pentru inerția rotorului de antrenare a motorului nu este inclus în această ecuație (deoarece curbele în stare de echilibru sunt utilizate în determinarea parametrilor). Termenul de inerție ar trebui să fie prezent în mod explicit în ecuația mecanică a rotorului motor, așa cum este dat de a doua lege a lui Newton (a se vedea figura 3.13), sub forma liniarizată (incrementală):

unde

Jm este momentul de inerție al rotorului motor
TL este cuplul de sarcină (cuplul echivalent aplicat pe motor de sarcina care este acționată de motor)

Rețineți că amortizarea mecanică a motorului, așa cum se arată în figura 3.13, nu este inclusă în ecuația 3.16, deoarece aceasta (și amortizarea electromagnetică) este deja inclusă în ecuațiile 3.15.

3.6 Grafuri liniare