Lățimea de bandă joacă un rol important în specificarea și caracterizarea componentelor unui sistem mecatronic. În special, gama de frecvențe utilă, lățimea de bandă de operare și lățimea de bandă de control sunt considerente importante. În această secțiune, vom studia câteva aspecte importante legate de aceste subiecte.

Lățimea de bandă are înțelesuri diferite în funcție de contextul și aplicația particulară. De exemplu, când se studiază răspunsul unui sistem dinamic, lățimea de bandă se raportează la frecvența de rezonanță fundamentală și corespunzător la viteza de răspuns pentru o excitație dată. În filtrele trece-bandă, lățimea de bandă se referă la banda de frecvențe în care componentele de frecvență ale semnalului sunt permise să treacă prin filtru; componentele de frecvență din afara benzii fiind rejectate de aceasta. În ceea ce privește instrumentele de măsurare, lățimea de bandă se referă la frecvențele intervalului în care instrumentul măsoară cu acuratețe un semnal. În rețelele de comunicații digitale (de exemplu, internet), lățimea de bandă indică capacitatea rețelei în raport de rata informațiilor (biți/s). Notă: Aceste diverse interpretări ale lățimii de bandă sunt oarecum legate. În special, dacă un semnal trece printr-un filtru band-pass, știm că conținutul său de frecvență este în lățimea de bandă a filtrului, dar nu putem determina conținutul de frecvență real al semnalului pe baza observației. În acest context, lățimea de bandă pare să reprezinte o incertitudine a frecvenței în observație (adică, cu cât este mai mare lățimea de bandă a filtrului, cu atât ești mai puțin sigur cu privire la conținutul de frecvență real al unui semnal care trece prin filtru).

FIGURA 5.2 Caracteristicile (a) unui filtru trece-bandă ideal și
(b) unui filtru trece-bandă practic

5.4.1 Nivelul de transmisie al unui filtru trece-bandă

Filtrele practice pot fi interpretate ca sisteme dinamice. De fapt, toate sistemele fizice, dinamice (de ex., sisteme electromecanice) sunt filtre analogice. Rezultă că caracteristica filtrului poate fi reprezentată de funcția de transfer în frecvență G(f) a filtrului. În figura 5.2 este prezentată o diagramă de magnitudine pătratică a unei astfel de funcții de transfer a filtrului. Într-o diagramă logaritmică, curba magnitudinei-pătratice este obținută prin simpla dublare a curbei de magnitudine corespunzătoare (în diagrama Bode). Rețineți că funcția de transfer a filtrului real (figura 5.2b) nu este plată ca filtrul ideal prezentat în figura 5.2a. Nivelul de referință Gr este valoarea medie a magnitudinei funcției de transfer în vecinătatea vârfului său.

5.4.2 Lățime de bandă de zgomot efectivă

Lățimea de bandă de zgomot efectiv a unui filtru este egală cu lățimea de bandă a unui filtru ideal care are același nivel de referință și care transmite aceeași cantitate de putere de la o sursă de zgomot alb. Rețineți că zgomotul alb are o densitate spectrală de putere (psd) constantă (plată). Prin urmare, pentru o sursă de zgomot de psd-unitate, puterea transmisă de filtrul practic este dată de

care, prin definiție, este egală cu puterea Gr²Be transmisă de filtrul ideal echivalent. Prin urmare, lățimea de bandă de zgomot efectivă Be este dată de

5.4.3 Lățime de bandă la jumătate de putere (sau 3 dB)

Jumătate din puterea de la o sursă de zgomot psd-unitate deoarece este transmisă de un filtru ideal este Gr²Br/2. Prin urmare, Gr/√2 este denumit nivel de jumătate de putere. Acest lucru este cunoscut și ca nivel de 3 dB, deoarece 20 log10 √2 = 10 log10 2 = 3 dB. (Notă: 3 dB se referă la un raport de putere de 2 sau un raport de amplitudine de √2. Mai mult, 20 dB corespunde unui raport de amplitudine de 10 sau un raport de putere de 100.) Lățimea de bandă de 3 dB (sau jumătate de putere) corespunde lățimii funcției de transfer a filtrului la nivel de jumătate de putere. Acest lucru este notat prin Bp în figura 5.2b. Rețineți că Be și Bp sunt diferite în general. Într-un caz ideal, în care caracteristica filtrului cu magnitudine-la pătrat are segmente lineare de creștere și cădere, dar, aceste două lățimi de bandă sunt egale (a se vedea figura 5.3).

5.4.4 Lățimea de bandă a analizei Fourier

În analiza Fourier, lățimea de bandă este interpretată ca incertitudine de frecvență în rezultatele spectrale. În rezultatele transformatei integrale Fourier (FIT) analitice, care presupun că întregul semnal este disponibil pentru analiză, spectrul este continuu definit pe întregul interval de frecvență [−∞, ∞] și incrementul de frecvență df este infinitezimal de mic (df → 0).

FIGURA 5.3 Un filtru idealizat cu segmente liniare

Nu există o incertitudine în frecvență în acest caz, iar lățimea de bandă a analizei este infinitezimal de restrânsă. În transformata digitală Fourier, liniile spectrale discrete sunt generate la intervale de frecvență de ΔF. Acest increment de frecvență finită ΔF, care este incertitudinea de frecvență, este, prin urmare, lățimea de bandă B a analizei pentru această analiză. Se știe că ΔF = 1/T, unde T este lungimea înregistrării semnalului (sau lungimea ferestrei când se utilizează o fereastră dreptunghiulară pentru selectarea segmentului de semnal pentru analiză). De asemenea, rezultă că frecvența minimă care are o acuratețe semnificativă este lățimea de bandă. Această interpretare pentru lățimea de bandă a analizei este confirmată prin menționarea faptului că componentele armonice de frecvență mai mică de ΔF (sau o perioadă mai mare de T) nu pot fi studiate prin observarea unei înregistrări a semnalului de lungime mai mică de T. O lățime de bandă de analiză poartă informații privind separarea frecvenței minime distinctibilă în rezultatele calculate. În acest sens, lățimea de bandă este direct legată de rezoluția de frecvență a rezultatelor analizate.

Acuratețea analizei crește prin creșterea lungimii înregistrării T (sau scăderea lățimii de bandă B a analizei).

Atunci când o fereastră de timp, alta decât cea dreptunghiulară, este utilizată pentru a trunchia un semnal, atunci apare remodelarea segmentului de semnal (date) conform cu forma ferestrei.

Această remodelare suprimă lobii laterali din spectrul Fourier al ferestrei și, prin urmare, reduce scurgerea de frecvență care rezultă din trunchierea semnalului. În același timp, însă, este introdusă o eroare din cauza informațiilor pierdute prin remodelarea datelor. Această eroare este proporțională cu lățimea de bandă a ferestrei în sine. Lățimea de bandă efectivă de zgomot a unei ferestre dreptunghiulare este doar puțin mai mică de 1/T, deoarece lobul principal al spectrului său Fourier este aproape dreptunghiular. Prin urmare, pentru toate scopurile practice, lățimea de bandă efectivă de zgomot poate fi luată ca lățime de bandă de analiză. Rețineți că trunchierea datelor (multiplicarea în domeniul-timp) este echivalentă cu convoluția spectrului Fourier (în domeniul-frecvență). Lobul principal al spectrului afectează uniform toate liniile spectrale din spectrul discret al semnalului de date. Rezultă că un lob principal al ferestrei care are o lățime de bandă efectivă mai largă a zgomotului introduce o eroare mai mare în rezultatele spectrale.

Prin urmare, în analiza digitală Fourier, lățimea de bandă este considerată ca lățime de bandă efectivă a zgomotului din fereastra de timp utilizată.

5.4.5 Gama de frecvență utilă

Aceasta corespunde regiunii plate (regiunii statice) din curba de câștig și a regiunii de avans a fazei zero în curba de fază a unui dispozitiv (în raport cu frecvența). Ea este determinată de frecvența de rezonanță dominantă (adică cea mai mică) a dispozitivului. Limita de frecvență superioară fmax în gama de frecvențe utilă este de câteva ori mai mică decât fr pentru un dispozitiv intrare/ieșire tipic (de exemplu, fmax = 0,25 fr). O gamă de frecvențe utilă poate fi, de asemenea, determinată prin specificarea planeității porțiunii statice a curbei de răspuns în frecvență. De exemplu, deoarece un singur pol sau un singur zero introduce o pantă de ordinul ± 20 dB /decadă pe curba de magnitudine Bode a dispozitivului, o pantă cu 5% din această valoare (adică ± 1 dB/decadă) poate fi considerată plată pentru cele mai multe scopuri practice. Pentru un instrument de măsurare, de exemplu, operarea în gama de frecvențe utilă implică faptul că conținutul de frecvență semnificativ al semnalului măsurat este limitat la această bandă. În acest caz, măsurarea fidelă și răspunsul rapid sunt garantate, deoarece dinamica dispozitivului de măsurare nu va altera măsurarea.

5.4.6 Lățimea de bandă a unui instrument

Aceasta este o măsură a gamei de frecvențe utilă a unui instrument. În plus, cu cât este mai mare lățimea de bandă a dispozitivului, cu atât viteza de răspuns este mai rapidă. Din păcate, cu cât este mai mare lățimea de bandă, cu atât instrumentul va fi mai sensibil la zgomotul de înaltă frecvență, precum și la probleme de stabilitate. Filtrarea va fi necesară pentru a elimina zgomotul nedorit. Stabilitatea poate fi îmbunătățită prin compensare dinamică. Definițiile comune ale lățimii de bandă includ intervalul de frecvență pe care magnitudinea funcției de transfer este plată, frecvența de rezonanță și frecvența la care magnitudinea funcției de transfer scade la 1/√2 (sau 70,7%) din nivelul frecvenței-zero (sau static). Ultima definiție corespunde lățimii de bandă la jumătate de putere deoarece o reducere a nivelului de amplitudine cu un factor de √2 corespunde unei scăderi de putere cu un factor de 2.

5.4.7 Lățimea de bandă pentru control

Aceasta este utilizată pentru a specifica viteza maximă de control posibilă. Este o specificație importantă atât în ​​control analogic, cât și în control digital. În controlul digital, rata de eșantionare a datelor (în eșantioane/secundă) trebuie să fie de câteva ori mai mare decât lățimea de bandă pentru control (în hertz), astfel încât să fie disponibile date suficiente pentru a calcula acțiunea de control. De asemenea, din teorema de eșantionare a lui Shannon (vezi Secțiunea 5.5), lățimea de bandă de control este dată prin jumătate din viteza cu care este calculată acțiunea de control. Lățimea de bandă de control oferă intervalul de frecvență în care poate fi controlat un sistem (presupunând că toate dispozitivele din sistem pot funcționa în cadrul acestei lățimi de bandă).

5.4.8 Câștig static

Aceasta este câștigul (magnitudinea funcției de transfer) unui instrument de măsurare în intervalul util (plat) (sau la frecvențe foarte joase) al instrumentului. Este denumit și câștig DC. O valoare ridicată a câștigului static duce la un dispozitiv de măsurare cu sensibilitate ridicată, care este o caracteristică de dorit.

Exemplul 5.2

În figura 5.4 este prezentat un dispozitiv mecanic pentru măsurarea vitezei unghiulare. Elementul principal al tahometrului este un amortizor vâscoz rotativ (constanta de amortizare b) format din doi cilindri. Cilindrul exterior poartă un lichid vâscos în care se rotește cilindrul interior. Cilindrul interior este conectat la arborele a cărei viteză ωi trebuie măsurată. Cilindrul exterior se opune cu un arc torsional liniar de rigiditate k. Rotația θo a cilindrului exterior este indicată de un indicator pe o scală calibrată corespunzător. Neglijând inerția pieselor mobile, efectuați o analiză a lățimii de bandă pe acest dispozitiv.

FIGURA 5.4 Un tahometru mecanic

Soluţie

Cuplul de amortizare este proporțional cu viteza relativă a celor doi cilindri și i se împotrivește cuplul arcului. Ecuația mișcării este dată de

Funcția de transfer este determinată în primul rând înlocuind derivata în timp de către operatorul Laplace s:

Rețineți că câștigul static sau câștigul DC (magnitudinea funcției de transfer la s = 0) este kg = b/k și constanta de timp este τ = b/k.

În acest caz, ne confruntăm cu cerințe de proiectare. Pe de o parte, ne place să avem un câștig static mare, astfel încât să fie disponibilă o citire suficient de mare. Pe de altă parte, constanta de timp trebuie să fie mică pentru a obține o citire rapidă care să urmeze cu fidelitate viteza măsurată. Aici trebuie să se ajungă la un compromis, în funcție de cerințele specifice de proiectare. În mod alternativ, un dispozitiv de condiționare a semnalului poate fi folosit pentru a amplifica ieșirea senzorului.

Acum, să examinăm lățimea de bandă la jumătate de putere a dispozitivului. Funcția de transfer în frecvență este G(jω) = kg/(τjω+1). Prin definiție, lățimea de bandă ωb la jumătate de putere este dată de

De aici, (τωb)² + 1 = 2. Deoarece ambele τ și ωb sunt pozitive, avem τωb = 1 sau ωb = 1/τ.

Notă: Lățimea de bandă este invers proporțională cu constanta de timp. Acest lucru confirmă afirmația noastră anterioară că lățimea de bandă este o măsură a vitezei de răspuns.

5.5 Eșantionarea semnalului și distorsionarea prin aliasing