Circuitele digitale pot efectua operații logice și binare la viteze foarte mari și foarte exacte. Similar, ele pot efectua operații numerice, în special atunci când sunt implementate în computere digitale. Operațiile logice și numerice sunt direct utile în toate tipurile de sisteme mecatronice. Înțelegerea conceptelor de logică binară este importantă în analiza și proiectarea circuitelor logice digitale. Mulțimile clare și logica binară sunt analoge. Mai mult, algebra booleană este utilă în reprezentarea și analiza mulțimilor și logicii binare.

8.3.1 Logica

Logica convențională tratează cu afirmații numite „propoziții”. În logica binară (sau cu două valori), o propoziție poate presupune una din cele două valori de adevăr: adevărat (T), fals (F). Un exemplu de propunere ar fi „Ioan are peste 50 de ani”. Acum, considerați următoarele propoziții: (1) cărbunele este alb, (2) zăpada este rece, (3) temperatura este peste 60°C. Aici, propoziția 1 are valoarea de adevăr F, iar propoziția 2 are valoarea de adevăr T. Dar, pentru propoziția 3, valoarea de adevăr depinde de valoarea reală a temperaturii: dacă este peste 60° C, valoarea de adevăr este T și altminteri ea este F.

Propozițiile pot fi conectate/modificate de conectori logici precum AND, OR, NOT și IMPLIES. Aceste operații logice de bază sunt definite mai jos.

8.3.1.1 Negare

Negarea unei propoziții A este „NOT A” și poate fi notată ca Ā (de asemenea). Este clar că atunci când A este ADEVĂRAT, atunci NOT A este FALS și invers. Aceste proprietăți ale negației pot fi exprimate printr-un tabel de adevăr, așa cum se arată în tabelul 8.1a. Un tabel de adevăr oferă valorile de adevăr ale unei propoziții combinate în raport de valorile de adevăr ale componentelor sale individuale.

8.3.1.2 Disjuncție

Disjuncția celor două propoziții A și B este „A OR B” și este notată de simbolul A V B. Tabelul său de adevăr este dat în tabelul 8.1b. În acest caz, propoziția combinată este adevărată dacă cel puțin unul dintre elementele sale constitutive este adevărat. Acesta nu este „OR exclusiv” unde „A OR B” este fals și atunci când atât A cât și B sunt adevărate și este adevărat doar atunci când A este adevărat sau B este adevărat. Disjuncția în logică corespunde „reuniunii” în mulțimi.

8.3.1.3 Conjuncție

Conjuncția a două propoziții A și B este „A AND B” și este notată cu un simbol A Λ B. Tabelul său de adevăr este dat în tabelul 8.1c. În acest caz, propoziția combinată este adevărată dacă și numai dacă ambele componente sunt adevărate. Conjuncția în logică este analoagă intersecției de mulțimi.

TABEL 8.1 Tabel de adevăr ale unor conectori logici

8.3.1.4 Implicație

Considerați două propoziții A și B. Declarația „A implică B” este aceeași cu „IF A THEN B.” Acest lucru poate fi notat cu A → B. Rețineți că, dacă A și B sunt adevărate, A → B este adevărată. Dacă A este falsă, afirmația „Dacă A este adevărată atunci B este, de asemenea, adevărată” nu este încălcată, indiferent dacă B este adevărată sau falsă. Dar dacă A este adevărată și B este falsă, atunci afirmația A → B este falsă. Aceste fapte sunt reprezentate de Tabelul de adevăr 8.1d.

Exemplul 8.4

Considerați două propoziții A și B. Putem forma tabelul de adevăr al propoziției combinate (NOT A) OR B, astfel cum este prezentat mai jos:

Aici am folosit tabelele de adevăr (Tabelul 8.1a și b). Rețineți că rezultatul este identic cu Tabelul 8.1d. Această echivalență este exploatată în mod obișnuit în logica asociată cu luarea deciziilor bazate pe cunoștințe.

În logică, cunoașterea este reprezentată de propoziții. O propoziție simplă nu creează de obicei o bază de cunoștințe. Multe propoziții conectate de conectori logici pot fi necesare. Cunoașterea poate fi procesată prin raționament, prin aplicarea diverselor legi ale logicii, incluzând o regulă adecvată de deducție, supusă unui set dat de date (măsurători, observații, comenzi externe, decizii anterioare etc.) pentru a ajunge la noi deducții sau decizii.

8.3.2 Algebra booleană

Algebra booleană este algebra logicii cu două valori. Este utilă în analiza și proiectarea circuitelor logice digitale. Cele două valori utilizate sunt 1 (corespunzătoare adevărului) și 0 (care corespunde la fals). În consecință, există și o corespondență între operațiile algebrei booleene și logică. Cele două valori din algebra booleană pot reprezenta orice tip de două stări (de exemplu, stare ON sau OFF, stare de prezență sau absență, stare high sau low, două nivele de tensiune în logica tranzistor-tranzistor) în aplicații practice.

Legile algebrei booleane provin din caracteristicile logicii cu două valori. Unele legi de bază sunt prezentate în tabelul 8.2. Unele dintre acestea sunt evidente, iar altele pot fi verificate folosind tabele de adevăr. Notația folosită pentru operațiunile de bază este următoarea: Logica „NOT” este analoagă comutării biților (între 0 și 1) în algebra booleană și este notată printr-o bară superioară. Logica „OR” este notată cu „+” boolean, iar logica „AND” este notată cu „-” boolean. Pentru „SAU exclusiv” (XOR), notația booleană este „⊕”.

Notă: Când ordinea de efectuare a operațiunilor nu este indicată explicit (de exemplu, prin utilizarea parantezelor), operațiile „NOT” sunt efectuate înainte de operațiile „AND”, iar operațiile „AND” sunt efectuate înainte de operațiile „OR”.

TABEL 8.2 Unele legi ale algebrei booleane și ale celor două valori

8.3.2.1 Formele Sumă și Produs

Conversia unei expresii booleane din forma „sumă” în forma „produs” și invers, se poate realiza folosind legile lui De Morgan și faptul că executarea a două negații va avea ca rezultat expresia inițială.

În primul rând, începeți cu

Aceste rezultate sunt utile în analiza și proiectarea circuitelor logice.

8.4 Circuite logice combinaționale