Metoda transformatei Laplace poate fi utilizată în analiza răspunsului sistemelor dinamice, și în special a sistemelor mecatronice și de control. Vom da exemple pentru abordare.

Exemplul B.1

Ecuația condensator-sarcină a circuitului RC prezentat în figura B.1 este

Se înlocuiește (ii) în (i) pentru a obține ecuația circuitului:

FIGURA B.1 Un circuit RC cu tensiunea aplicată e și tensiunea v pe condensator

Luați transformata Laplace a fiecărui termen din (iii) cu toate condițiile inițiale = 0:

Funcția de transfer exprimată ca raportul de ieșire/intrare (sub formă de transformată) este

unde τ = RC.

Răspunsul real poate fi găsit acum din tabelul B.1 pentru o intrare dată E. Primul pas este de a obține transformata într-o formă adecvată (cum ar fi linia 2)

unde a = 1/τ. Să presupunem că intrarea (excitația) e este un impuls unitate. Transformata sa Laplace (vezi tabelul B.1) este E = 1. Atunci din (iv),

Din linia 2 din tabelul B.1, răspunsul este

O funcție de transfer obișnuită pentru un sistem de ordin secundar supraamortizat (de exemplu, unul cu două componente de circuit RC din figura B.1) ar fi

Acest lucru poate fi exprimat cu „fracții parțiale” în forma

și poate fi rezolvat în mod obișnuit.

Exemplul B.2

Funcția de transfer a unui sistem termic este dată de

Dacă o intrare treaptă unitară este aplicată sistemului, cu condiții inițiale zero, care este răspunsul rezultat?

Soluţie

Intrarea U(s) = (1/s) (pentru o treaptă unitate)

Deoarece ieșirea (răspuns)

Transformarea sa Laplace inversă oferă răspunsul în timp. Pentru aceasta, mai întâi, convertiți expresia în fracții parțiale ca

Necunoscuta A este determinat prin înmulțirea ecuației (i) cu s și apoi setarea s = 0. Obținem

Similar, B se obține prin înmulțirea (i) cu (s+1) și apoi setarea s = −1. Obținem

În continuare, C se obține înmulțind (i) cu (s+3) și apoi setând s = −3. Obținem

Luați transformata inversă folosind linia 2 din tabelul B.1.

Exemplul B.3

Funcția de transfer a unui oscilator simplu amortizat este cunoscută a fi de forma

unde
ωn este frecvența naturală neamortizată
ζ este raportul de amortizare

Să presupunem că o intrare treaptă unitate (de exemplu, U(s) = (1/s) este aplicată sistemului. Folosind tabele de transformate Laplace, determinați răspunsul rezultat cu condiții inițiale zero.

Soluţie

Fracțiile parțiale corespunzătoare sunt de forma

Trebuie să determinăm A, B și C.

Înmulțiți (i) cu s și setați s = 0. Obținem

A = 1

Urmează să notăm că rădăcinile ecuației caracteristice

Acestea sunt poli ai sistemului și sunt conjugate complexe. Două ecuații pentru B și C sunt obținute prin înmulțirea (i) cu

Obținem B = −1 și C = −2ζωn.

Prin urmare,

Acum folosiți Tabelul B.1 pentru a obține transformata Laplace inversă:

unde
cos ϕ = ζ = raportul de amortizare
sin ϕ = √1-2ζ²

Exemplul B.4

S-a constatat că răspunsul în buclă deschisă al unei instalații la o intrare de impuls unitar, cu zero CI, a fost 2e^-tsin t. Care este funcția de transfer a instalației?

Soluţie

Prin liniaritate, întrucât un impuls unitate este derivata unei trepte unitate, răspunsul la un impuls unitate este dat de derivata rezultatului dat în exemplul precedent; prin urmare

Comparați acest lucru cu expresia dată. Noi avem

Funcția de transfer a sistemului este

Exemplul B.5

Exprimați expresia transformată Laplace

ca fracții parțiale. Din rezultat, determinați funcția inversă Laplace x(t).

Soluţie

Din tabelul B.1, obținem transformata Laplace inversă

unde δ(t) = funcția impuls unitate.