Un filtru este un dispozitiv care permite trecerea doar a părții dorite a unui semnal, rejectând partea nedorită. Semnalele nedorite pot degrada serios performanțele unui sistem mecatronic. Perturbările externe, componentele de eroare din excitații și zgomotul generat intern în componentele sistemului și instrumentație sunt astfel de semnale neplăcute, care pot fi îndepărtate de un filtru. De asemenea, un filtru este capabil să formeze un semnal într-o manieră dorită.

În aplicațiile obișnuite de achiziție și prelucrare a semnalelor într-un sistem mecatronic, sarcina de filtrare ar presupune eliminarea componentelor de semnal într-un interval specific de frecvență. În acest context, putem identifica următoarele patru mari categorii de filtre:

1. Filtre trece-jos (low-pass)

2. Filtre trece-sus (high-pass)

3. Filtre trece-bandă (band-pass)

4. Filtre oprește-bandă (band-reject sau notch)

Caracteristica ideală de răspuns-frecvență (magnitudinea funcției de transfer în frecvență) a fiecăruia dintre aceste patru tipuri de filtre este prezentată în figura 4.12. De asemenea, distorsiunea de fază a semnalului de intrare ar trebui să fie mică în banda de trecere (intervalul de frecvență permis). Filtrele practice sunt mai puțin ideale. Funcțiile lor de răspuns în frecvență nu prezintă tăieri (cut-off) ascuțite ca în figura 4.12 și, în plus, unele distorsiuni de fază vor fi inevitabile.

Un tip special de filtru band-pass care este utilizat pe scară largă în achiziția și monitorizarea semnalelor de răspuns este filtrul de urmărire. Acesta este pur și simplu un filtru band-pass cu o bandă de trecere îngustă, care poate fi ajustată în frecvență. Frecvența centrală (valoarea medie) a benzii de trecere este variabilă, de obicei prin cuplarea acesteia la frecvența unui semnal purtător (de ex., semnal de acționare). În acest mod, semnalele a căror frecvență variază cu o anumită variabilă de bază în sistem (de ex., viteza rotorului, frecvența unui semnal de excitație armonică, frecvența unui oscilator de baleiere) pot fi urmărite cu exactitate în prezența zgomotului. Intrările la un filtru de urmărire sunt semnalele de urmărit și frecvența de urmărire variabilă (intrarea purtătoarei). Un filtru tipic de urmărire care poate urmări simultan două semnale este prezentat schematic în figura 4.13.

FIGURA 4.12 Caracteristici de filtru ideal: (a) Filtru trece-jos. (b) Filtru trece-sus.
(c) Filtru trece-bandă. (d) Filtru oprește-bandă (notch)

FIGURA 4.13 Reprezentarea schematică a unui filtru de urmărire cu două canale.

Filtrarea poate fi realizată atât prin filtre digitale, cât și prin filtre analogice. Înainte ca procesarea semnalului digital să devină eficientă și economică, filtrele analogice au fost utilizate exclusiv pentru filtrarea semnalelor și sunt încă utilizate pe scară largă. Într-un filtru analogic, semnalul de intrare este trecut printr-un circuit analogic. Dinamica circuitului va determina care componente ale semnalului (dorite) vor fi permise să treacă și care componente ale semnalului (nedorite) ar fi rejectate. Un filtru analogic este, de obicei, un filtru activ care conține componente active, cum ar fi tranzistoare sau op-amp. Versiunile anterioare ale filtrelor analogice au folosit elemente de circuit discrete, cum ar fi tranzistoare, condensatoare, rezistoare și chiar inductoare discrete. Întrucât inductoarele prezintă mai multe deficiențe, cum ar fi susceptibilitate la zgomotul electromagnetic, efecte de rezistență necunoscute și dimensiuni mari, astăzi sunt rareori utilizate în circuitele de filtrare. Mai mult, datorită avantajelor bine-cunoscute ale dispozitivelor IC, astăzi filtrele analogice sub formă de cipuri IC monolitice sunt utilizate pe scară largă în aplicațiile modeme și sunt preferate filtrelor cu elemente discrete. Filtrele digitale, care utilizează procesarea semnalelor digitale apentru realizarea filtrării, sunt de asemenea utilizate astăzi pe scară largă.

4.4.1 Filtre pasive și filtre active

Filtrele analogice pasive utilizează circuite analogice care conțin elemente pasive, cum ar fi numai rezistoare și condensatoare (și uneori inductoare) și nu este necesară o sursă de alimentare externă. Filtrele analogice active utilizează elemente și componente active, cum ar fi tranzistoare și op-amp-uri, care necesită o sursă de alimentare externă, pe lângă elemente pasive. Filtrele active sunt disponibile pe scară largă într-o carcasă IC monolitică și sunt de obicei preferate filtrelor pasive.

Avantajele filtrelor active includ următoarele:

1. Efectele de încărcare și interacțiunea cu alte componente sunt neglijabile, deoarece filtrele active pot oferi o impedanță de intrare foarte mare și o impedanță de ieșire foarte scăzută.

2. Pot fi utilizate cu nivele de semnal scăzute, deoarece amplificarea și filtrarea semnalului pot fi furnizate de același circuit activ.

3. Sunt disponibile pe scară largă într-o formă IC cu costuri reduse și compacte.

4. Ele pot fi ușor integrate cu dispozitive digitale.

5. Sunt mai puțin sensibile la zgomotul din interferențe electromagnetice.

Dezavantajele menționate frecvent ale filtrelor active sunt următoarele:

1. Au nevoie de o sursă de alimentare externă.

2. Sunt sensibile la neliniaritate de tip „saturație” la nivele ridicate de semnal.

3. Pot introduce multe tipuri de zgomot intern și erori de semnal nemodelat (offset, semnalizare de polarizare etc.).

4.4.1.1 Numărul de poli

Filtrele analogice sunt sisteme dinamice și pot fi reprezentate prin funcții de transfer, asumând dinamica liniară. Numărul de poli ai unui filtru este numărul de poli din funcția de transfer asociată. Acesta este, de asemenea, egal cu ordinul polinomului caracteristic al funcției de transfer a filtrului (adică, ordinul filtrului). Rețineți că polii (sau valori proprii) sunt rădăcinile ecuației caracteristice.

4.4.2 Filtre trece-jos (low-pass)

Scopul unui filtru trece-jos este de a permite să treacă toate componentele de semnal sub o anumită frecvență (de tăiere: cut-off) și de a bloca toate componentele de semnal de deasupra acestei cut-off. Filtrele analogice trece-jos sunt utilizate pe scară largă ca filtre antialiasing pentru a elimina eroarea de aliasing (frecvențe fantomă) în procesarea semnalelor digitale (vezi Capitolul 5). O altă aplicație tipică ar fi eliminarea zgomotului de înaltă frecvență într-un răspuns al sistemului măsurat.

FIGURA 4.14 Un filtru trece-jos cu un singur pol.
(a) Un etaj de filtru activ. (b) Caracteristica răspunsului în frecvență.

În figura 4.14a este prezentat un circuit activ de filtru trece-jos, cu un singur pol pasiv. Dacă două etaje de filtru pasiv sunt conectate între ele, funcția de transfer total nu este egală cu produsul funcțiilor de transfer ale etajelor individuale. Dar, dacă două etaje de filtru activ similare cu Figura 4.14a sunt conectate între ele, erorile de încărcare electrică vor fi neglijabile, deoarece op-amp cu feedback (adică un repetor de tensiune) introduce o impedanță de intrare foarte mare și o impedanță de ieșire foarte mică. Un filtru activ are proprietatea de dorit de interacțiune foarte scăzută cu orice altă componentă conectată.

Pentru a obține ecuația filtrului pentru figura 4.14a, rețineți că tensiunea la nodul A (vA) este zero, iar curenții prin cei doi conductori de intrare sunt de asemenea zero (proprietățile op-amp). Prin urmare, însumarea curenților la A (legea curentului a lui Kirchoff) dă

unde constanta de timp a filtrului este τf = Rf Cf și câștigul filtrului este k = Rf/R. Din Ecuația 4.18, rezultă că funcția de transfer a filtrului este

Din această funcție de transfer, este clar că un filtru analogic trece-jos este în esență un circuit lag-de întârziere (adică oferă o întârziere de fază).

Funcția de răspuns în frecvență corespunzătoare ecuației 4.19 este obținută prin setarea s = jω. Aceasta oferă răspunsul filtrului atunci când se aplică un semnal sinusoidal de frecvență ω. Magnitudinea |G(jω)| a funcției de transfer în frecvență dă amplificarea semnalului și unghiul de fază ∠G(jω) dă avansul de fază a semnalului de ieșire în raport cu intrarea. Curba de magnitudine (curba de mărime Bode) este prezentată în figura 4.14b. Rețineți din Ecuația 4.19 cu s = jω că pentru frecvențe mici (adică ω << 1/τf), magnitudinea este aproximativ constantă la k. Prin urmare, 1/τf poate fi considerată frecvența cut-off ωc. Poate fi arătat că aceasta este, de asemenea, lățimea de bandă la jumătate de putere pentru filtrul low-pass. În cazul frecvențelor mult mai mari decât aceasta, funcția de transfer a filtrului pe planul de magnitudine Bode (adică, log magnitudine funcție de log frecvența) poate fi aproximată cu o linie dreaptă cu o pantă de -20 dB/decadă. Această pantă este cunoscută sub denumirea de viteză de derulare: roll-off rate (a se vedea figura 4.14b). Frecvența cut-off și viteza de derulare sunt cele două specificații principale de proiectare pentru un filtru low-pass. Într-un filtru practic se preferă o roll-off rate de cel puțin −40 dB/decadă și chiar −60 dB/decadă.

4.4.2.1 Filtru Butterworth trece-jos

Un filtru Butterworth trece-jos cu 2 poli poate asigura o rată de derulare (roll-off) de -40 dB/decadă, iar unul cu 3 poli poate oferi o rată de derulare de -60 dB/decadă. Mai mult decât atât, cu cât mai abruptă panta de derulare, cu atât mai plată curba de magnitudine a filtrului în banda de trecere.

În figura 4.15 este prezentat un filtru Butterworth trece-jos, cu doi poli. Am putea construi un filtru cu doi poli, prin simpla conectare a două etaje cu un singur pol de tipul prezentat în figura 4.14a. Atunci, am avea nevoie de două op-amp, în timp ce circuitul prezentat în figura 4.15 atinge același obiectiv folosind doar un singur op-amp (adică cu un cost mai mic).

FIGURA 4.15 Un filtru Butterworth trece-jos cu doi poli

Pentru a obține ecuația filtrului, mai întâi scriem cele două ecuații de echilibru curenți (suma curenților prin R1 și C1 trece prin R2 și, de asemenea, prin C2), deoarece curentul prin conductorul op-amp este zero:

De asemenea, întrucât op-amp cu un rezistor de feedback Rf este un repetor de tensiune (cu câștig unitate), avem: vB = vo.

Eliminând vA și vB din aceste trei ecuații (cu derivata de timp înlocuită de variabila Laplace s), obținem funcția de transfer a filtrului

unde τ1 = R1C1, τ2 = R2C2 și τ3 = R1C2. Această funcție de transfer de ordinul doi devine oscilatorie dacă (τ2 + τ3)² < 4τ1τ2. Frecvența naturală neamortizată este ω_n = 1/√τ₁τ₂, raportul de amortizare este ζ = (τ_{2 +}τ₃)/√4τ₁τ₂, iar frecvența de rezonanță este ω_r = (√1-2ζ²)ω_n.

Ideal, dorim să avem o frecvență de rezonanță zero, care corespunde unei valori a raportului de amortizare ζ = 1/√2. Aceasta corespunde cu (τ2 + τ3)² = 2τ1 τ2.

Funcția de răspuns în frecvență a filtrului este

Acum pentru ω << ωn, răspunsul în frecvență al filtrului este plat, cu un câștig unitate. Pentru ω >> ωn, răspunsul în frecvență al filtrului poate fi aproximat cu

Într-o scară log (magnitudine) versus log (frecvență), această funcție este o linie dreaptă cu panta = −2. Prin urmare, când frecvența crește cu un factor de 10 (adică o decadă), log10 (magnitudinea) scade cu 2 unități (adică 40 dB). Cu alte cuvinte, rata de derulare este de -40 dB/decadă.

De asemenea, ωn poate fi luat ca frecvență cut-off a filtrului. Prin urmare, ω_c = 1/√τ₁τ₂ .Se poate verifica cu ușurință că atunci când ζ = 1/√2, această frecvență este identică cu lățimea de bandă la jumătate de putere (adică, frecvența la care magnitudinea funcției de transfer devine 1/√2).

Notă: dacă două etaje cu un singur pol (de tipul prezentat în figura 4.14a) sunt în cascadă, filtrul cu doi poli rezultat are o funcție de transfer (neoscilatorie) supraamortizată și nu este posibilă realizarea ζ = 1/√2, ca în cazul de față. De asemenea, rețineți că un filtru Butterworth low-pass, cu trei poli, poate fi obținut prin legarea în cascadă a unității cu doi poli, prezentată în figura 4.15, cu o unitate cu un singur pol, prezentată în figura 4.14a.

4.4.3 Filtre trece-sus (high-pass)

În mod ideal, un filtru trece-sus permite să treacă prin el toate componentele de semnal de peste o anumită frecvență (cut-off) și blochează toate componentele semnalului de sub acea frecvență. În figura 4.16 este prezentat un filtru trece-sus cu un singur pol. Ecuația filtrului se obține luând în considerare balanța de curent la punctul A și punctul B separat din figura 4.16a:

FIGURA 4.16 Filtru trece-sus cu un singur pol:
(a) Un etaj de filtru activ. (b) Caracteristica răspunsului în frecvență.

Eliminând vB, obținem

în care constanta de timp a filtrului τ = RC și τf = RfC. Introducând variabila Laplace s, funcția de transfer a filtrului este

Acest lucru corespunde unui „circuit de avans-lead” (adică, un avans de fază total este asigurat de această funcție de transfer). Funcția de răspuns în frecvență G(jω) este obținută prin setarea s = jω. Deoarece magnitudinea sa este zero pentru ω << (1/τ, 1/τf) și este unitate pentru ω >> (1/τ, 1/τf), avem frecvența de tăiere (cut-off) ωc = min (1/τ, 1/τf).

Notă: De obicei, τ = τf.

Semnalele peste această frecvență cut-off ar trebui să treacă nedistorsionate de un filtru ideal trece-sus, iar semnalele de sub cut-off ar trebui blocate complet. Comportamentul real al filtrului de bază trece-sus discutat mai sus nu este atât de perfect, așa cum s-a observat din caracteristica de răspuns în frecvență prezentată în figura 4.16b. Se poate verifica cu ușurință că lățimea de bandă la jumătatea de putere a filtrului trece-sus de bază este egală cu frecvența cut-off, iar panta roll-up este de 20 dB/decadă. Pantele mai abrupte sunt de dorit. Filtre Butterworth trece-sus, cu mai mulți poli, pot fi construite pentru a oferi pante roll-up mai abrupte și caracteristici ale magnitudinii rezonabil de plate, în banda de trecere.

4.4.4 Filtre trece-bandă (band-pass)

Un filtru trece-bandă ideal trece toate componentele de semnal dintr-o bandă de frecvență finită și blochează toate componentele de semnal din afara acelei benzi. Limita de frecvență inferioară a benzii de trecere se numește frecvență cut-off inferioară (ωc1), iar limita de frecvență superioară a benzii este numită frecvență cut-off superioară (ωc2). Cea mai simplă modalitate de a forma un filtru trece-bandă este de a pune în cascadă un filtru trece-sus cu frecvența cut-off ωc1 cu un filtru trece-jos cu frecvență cut-off ωc2. Acest lucru va necesita două op-amp. În figura 4.17a este prezentată o versiune simplă care necesită un singur op-amp.

FIGURA 4.17 (a) Un filtru trece-bandă. (b) Caracteristica răspunsului în frecvență.

Pentru a determina ecuația filtrului, scriem ecuațiile de echilibru ale curenților în nodul A și nodul B, separat:

Prin eliminarea vB în domeniul Laplace, obținem funcția de transfer a filtrului:

cu τ = RC, τf = Rf Cf, k = Rf/R și k1 = R/R1.

În mod clar, această funcție de transfer corespunde unui filtru trece-sus de constantă de timp τ1 = τ/(k1 + 1) (sau frecvență cut-off ωc1 = 1/τ1) în cascadă cu un filtru trece-jos de constantă de timp τ2 = τf (sau frecvența cut-off ωc2 = 1/τ2), deși folosind doar un op-amp. Așa cum este indicat în figura 4.17b, trebuie să avem τ1 >τ2, ceea ce va da banda de trecere a filtrului (ωc1, ωc2) = (1/τ1, 1/τ2). Filtre trece-bandă mai complexe (de ordin mai mare) cu cut-off mai ascuțite și benzi de trecere mai plate sunt disponibile comercial.

4.4.4.1 Filtre trece-bandă de tip rezonanță

Există multe aplicații în care este necesar un filtru cu o bandă de trecere foarte îngustă. Filtrul de urmărire menționat la începutul secțiunii despre filtre analogice este o astfel de aplicație. Un circuit de filtru cu o rezonanță ascuțită poate servi ca filtru cu bandă-îngustă. Un filtru trece-jos cu un singur pol în cascadă cu un filtru trece-sus cu un singur pol nu generează un răspuns oscilator (deoarece polii filtrului sunt toți reali) și, prin urmare, nu formează un filtru tip-rezonanță. O deficiență notabilă a unui filtru tip- rezonanță este aceea că răspunsul în frecvență în lățimea de bandă (banda de trecere) nu este plat. Prin urmare, are loc atenuarea destul de neuniformă a semnalului, în interiorul benzii de trecere.

4.4.4.2 Filtre oprește-bandă (band-reject)

Filtrele oprește-bandă sau filtre notch sunt utilizate în mod obișnuit pentru a filtra o bandă îngustă de componente de zgomot dintr-un semnal. De exemplu, zgomotul de linie de 50 Hz dintr-un semnal poate fi eliminat folosind un filtru notch cu o frecvență notch de 50 Hz. În timp ce precedentele trei tipuri de filtre își realizează caracteristicile de răspuns în frecvență prin polii funcției de transfer a filtrului, un filtru notch își realizează caracteristica de răspuns în frecvență prin zerourile sale (rădăcinile ecuației polinomiale a numărătorului). Câteva informații utile despre filtre sunt rezumate în BOX 4.2.

BOX 4.2 FILTRE

4.4.5 Filtre digitale

Orice sistem dinamic fizic poate fi interpretat ca un filtru analogic, care poate fi reprezentat printr-o ecuație diferențială în raport cu timpul. Este nevoie de un semnal de intrare analogic u(t), care este definit continuu în timp t și generează o ieșire analogică y(t). Un filtru digital este un dispozitiv care acceptă o secvență de valori de intrare discrete (să zicem, eșantionate de la un semnal analogic la perioada de eșantionare Δt) reprezentat de {uk} = {uo, u1, u2, ...} și generează o secvență de valori de ieșire discrete:{yk} = {yo, y1, y2, ...}. Rezultă că un filtru digital este un sistem de timp-discret și poate fi reprezentat printr-o ecuație de diferență.

O ecuație liniară de diferență de ordin n poate fi scrisă sub forma

Acesta este un algoritm recursiv în sensul că generează o valoare a secvenței de ieșire folosind valorile anterioare ale secvenței de ieșire și toate valorile secvenței de intrare până la momentul actual. Filtrele digitale reprezentate în acest mod sunt denumite filtre digitale recursive. Există filtre care utilizează procesare digitală în care un bloc (o colecție de eșantioane) din secvența de intrare este convertit printr-un calcul unic într-un bloc al secvenței de ieșire. Ele nu sunt filtre recursive. Filtrele nerecursive folosesc de obicei analiza digitală Fourier, în special algoritmul transformatei Fourier rapide (FFT). Restrângem discuția noastră de mai jos la filtrele digitale recursive.

4.4.5.1 Implementări software și hardware

În filtrele digitale, filtrarea semnalelor se realizează prin procesarea digitală a semnalului de intrare. Secvența datelor de intrare (obținută de obicei prin eșantionarea și digitalizarea semnalului analogic corespunzător) este procesată conform algoritmului recursiv al filtrului digital particular. Acesta generează secvența de ieșire. Ieșirea digitală rezultată poate fi convertită într-un semnal analogic folosind un convertor digital-analogic (DAC).

Un filtru digital recursiv este o implementare a unui algoritm recursiv care guvernează schema de filtrare particulară (de exemplu, low-pass, high-pass, band-pass și band-reject). Algoritmul de filtrare poate fi implementat fie prin software, fie prin hardware. În implementarea software, algoritmul de filtrare este programat într-un computer digital. Procesorul (de exemplu, microprocesorul sau procesorul de semnal digital sau DSP) al computerului poate prelucra o secvență de date de intrare în conformitate cu programul de filtrare în timp de rulare stocat în memorie (în cod mașină) pentru a genera secvența de ieșire filtrată.

Prelucrarea digitală a datelor se realizează cu ajutorul unor circuite logice care pot efectua operații de bază aritmetice, cum ar fi adunarea. În abordarea software, procesorul unui computer digital folosește aceste circuite logice de bază pentru a efectua procesarea digitală conform instrucțiunilor unui program software stocat în memoria computerului. Alternativ, un procesor digital hardware poate fi construit pentru a efectua o operație oarecum complexă, dar totuși fixă. În această abordare, se zice că programul de calcul este în hardware. Procesorul hardware este apoi disponibil ca un cip IC a cărui operație de procesare este fixă ​​și nu poate fi modificată (prin software). Circuitul logic din cipul IC este proiectat pentru a îndeplini funcția de procesare necesară. Filtrele digitale implementate prin această abordare hardware sunt numite filtre digitale hardware.

Implementarea software a filtrelor digitale are avantajul flexibilității; specific, algoritmul de filtrare poate fi ușor modificat prin modificarea programului software care este stocat în computer. Dacă, pe de altă parte, un număr mare de filtre ale unei anumite structuri (fixe) sunt necesare din punct de vedere comercial, atunci ar fi economic să se proiecteze filtrul ca un cip IC și să se reproducă cipul în producția de masă. În acest fel, se pot produce filtre digitale cu costuri foarte mici. Un filtru hardware poate opera cu o viteză mult mai rapidă în comparație cu un filtru software, deoarece în primul caz, prelucrarea are loc automat prin circuite logice în cipul filtru fără a fi nevoie să acceseze de către procesor, un program software și diverse elemente de date stocate în memorie. Dezavantajul principal al unui filtru hardware este că valorile algoritmului și ale parametrilor nu pot fi modificate, iar filtrul este dedicat îndeplinirii unei funcții fixate.

4.5 Modulatoare și demodulatoare