A.6.1 Porțiuni circulare

Ipoteze:

1. Secțiunile transversale rămân plane

2. Toate razele rămân drepte

3. Fără deplasare longitudinală

Considerați o porțiune de rază r a cilindrului de rază a (a > r), așa cum se arată în figura A.3. Pe aceasta, o linie pe suprafață, paralelă cu axa (generatoare) înainte de aplicarea T, va fi o spirală după aplicarea lui T. Considerați elementul de lungime dz din acesta, ca în figura A.3b.

γ = deformația de forfecare = deformația unghiulară a elementului

Avem, dz·γ = r·dθ

Prin urmare,

FIGURA A.3 (a) porțiune de torsiune circulară; (b) element mic

Deoarece există condiții identice la fiecare secțiune,

Unghiul de răsucire/unitate de lungime

Prin urmare, distribuția deformației (elastică sau nu) este așa cum se arată în figura A.4.

FIGURA A.4 Distribuția deformației de forfecare sub torsiune

Solicitarea de forfecare pentru cazul elastic: τ = Gγ = Gαr (A.41)

unde
dA = o arie elementară la rază r pe secțiunea transversală a arborelui
τ = solicitare de forfecare

Înlocuind (A.41) în (A.42) și folosind definiția lui J, obținem

unde J este momentul polar al ariei, care este definit ca fiind

Înlocuind (A.41) în (A.43), obținem

Pentru porțiuni conice unde dθ/dz nu este o constantă (deoarece J variază de la secțiune la secțiune),

Pentru arbori cilindrici, din (A.40)

A.6.2 Senzor de cuplu

Tratați porțiunea de torsiune cilindrică prezentată în figura A.3a ca un senzor de cuplu. Rețineți că în ecuațiile de mai sus, r este orice rază în secțiunea transversală a arborelui și τ este solicitarea de forfecare la acea locație. Acum presupunem că r semnifică raza exterioară (maximă) și τ este solicitarea de forfecare τmax corespunzătoare (adică folosiți r ≡ rmax și τ ≡ τmax pentru a evita utilizarea indicilor).

Într-un element pătrat (bidimensional) mic pe suprafața exterioară cilindrică a arborelui, cu o parte paralelă cu axa arborelui și o altă parte de-a lungul circumferinței arborelui, starea de solicitare este o „forfecare pură”, așa cum se arată în figura A.5. Cercul lui Mohr al stării de solicitare pe suprafața exterioară a arborelui este indicat în figura A.6.

Solicitările principale apar în punctele A și C din figura A.6 și o stare de forfecare pură apare într-o direcție care este la 45° față de direcția principală. Deoarece un unghi de-a lungul cercului lui Mohr este dublul unghiului real din domeniul fizic, forfecarea pură apare la un unghi de 90° față de starea solicitărilor principale, așa cum sunt date de punctele B și D din figura A.6.

Din cercul lui Mohr rezultă că pe suprafața exterioară a arborelui, pentru un element, așa cum se arată în figura A.5, la 45° față de axa arborelui, starea de solicitare este pură întindere sau compresiune fără forfecare. În consecință, x și y în figura A.5 sunt direcții de solicitare principală pe suprafața arborelui. Rețineți că solicitarea principală (întindere sau compresie) σ este dată de (vezi figura A.6)

σ = τ (A.48)

FIGURA A.5 Starea de forfecare pură și direcțiile principale x și y în torsiune pură

FIGURA A.6 Cercul lui Mohr pentru torsiunea pură a unui arbore

Acum, pentru a determina deformația de-a lungul celor două direcții principale x și y, folosim relații constitutive solicitare-deformație pentru o problemă de solicitare plană:

unde
E este modulul de elasticitate al lui Young
v este raportul lui Poisson

Folosind faptul că

din ecuațiile A.49 și A.50, obținem

Acum, având în vedere ecuațiile A46, A.48 și A.52, avem

sau folosind faptul că modulul de forfecare G este dat de

Ecuația A.55 este utilizată pentru a determina cuplul T din deformația principală ε, măsurată folosind un dispozitiv cu mărci tensometrice. Acesta este principiul unui senzor de cuplu folosind metoda mărcilor tensometrice.

Exemplul A.1

Determinați cuplurile de la capetele trunchiului de con (frustum), care sunt fixate rigid, prezentate în figura A.7.

Soluţie

Selectând coordonatele așa cum se arată în figura A.7b, răsucirea unui element dz la z este

FIGURA A.7 (a) Torsiunea într-o porțiune tronconică (frustum);
(b) un element de analiză în porțiune conică