Transformata Laplace leagă domeniul-timp de domeniul Laplace (numit și domeniu-s sau domeniu-frecvență complex). Transformata Laplace Y(s) a unei funcții continuă pe porțiuni sau semnal y(t) este dată, prin definiție, ca

Aici, s este o variabilă independentă complexă cunoscută sub numele de variabila Laplace, definită de

unde σ este o constantă valorică reală care va face transformata (Ecuația B.1) finită, ω este pur și simplu frecvența, și j = √ -1. Valoarea reală (a) poate fi aleasă suficient de mare încât integrala din Ecuația B.1 să fie finită chiar și atunci când integrala semnalului în sine (adică ∫y(t) dt) nu este finită. Acesta este motivul pentru care, de exemplu, transformata Laplace se comportă mai bine decât transformata Fourier, care va fi definită ulterior, din punct de vedere analitic. Simbolul s poate fi considerat a fi o constantă, atunci când se integrează în raport cu t, în ecuația B.1.

Relația inversă (adică obținerea lui y din transformata sa Laplace) este

Integrarea în (B.3) se realizează de-a lungul unei linii verticale paralele cu axa imaginară (verticală), situată la σ de la originea în planul complex Laplace (plan-s). Pentru o funcție y(t) continuă pe porțiuni, transformata Laplace există dacă integrala din Ecuația B.1 converge. O condiție suficientă pentru aceasta este

Convergența este garantată prin alegerea unui σ suficient de mare și pozitiv. Această proprietate este un avantaj al transformatei Laplace față de transformata Fourier.

B.1.1 Transformatele Laplace ale unor funcții comune

Acum determinăm transformata Laplace a unor funcții utile folosind definiția (B.1). De obicei, însă, folosim tabele de transformate Laplace pentru a obține aceste rezultate.

B.1.1.1 Transformata Laplace a unei constante

Să presupunem că funcția noastră y(t) este o constantă, B. Atunci transformata Laplace este

B.1.1.2 Transformata Laplace a exponențialei

Dacă y(t) este e^at, transformata sa Laplace este

Notă: Dacă y(t) este e^-at este evident că transformata Laplace este

Acest rezultat poate fi obținut din rezultatul anterior prin simpla înlocuire a cu −a.

B.1.1.3 Transformata Laplace a lui sinus și cosinus

În cele ce urmează, litera j = √ -1. Dacă y(t) este sinωt, transformata Laplace este

Luați în considerare următoarele identități:

Dacă adăugăm și scădem aceste două ecuații, obținem expresiile pentru sinus și cosinus în termeni de e^jωt și e^-jωt

Înlocuind aceste expresii, obținem

B.1.1.4 Transformata Laplace a unei derivate

Acum integrăm prin părți pentru a elimina derivata din integrand.

B.1.1.4.1 Integrarea prin părți

Din analiza matematică, știm că d(uv) = udv + vdu.

Prin integrare, obținem uv = ∫udv + ∫vdu.

Prin urmare,

Aceasta este cunoscută sub numele de integrare prin părți.

În (B.5), fie u = e^-st și v = y

Înlocuind în (B.5) pentru a integra prin părți:

unde y(0) = valoarea inițială a lui y. Aceasta spune că transformata Laplace a primei derivate y˙ este egală cu s ori transformata Laplace a funcției y minus valoarea inițială a funcției (condiția inițială).

Notă: Putem determina transformatele Laplace ale derivatelor secundare și superioare prin aplicarea repetată cu acest rezultat, pentru prima derivată. De exemplu, transformata celui de-a doua derivată este dată de

.1.2 Tabelul transformatelor Laplace

Tabelul B.1 arată transformatele Laplace ale unor funcții comune. Mai exact, tabelul listează funcțiile ca y(t), și transformatele lor Laplace (pe dreapta) în Y(s) sau y(t). Dacă se dă o funcție, se poate obține transformata Laplace din tabel. În schimb, dacă se dă transformata, se poate obține funcția din tabel.

Unele proprietăți generale și rezultatele transformatei Laplace sunt prezentate în tabelul B.2.

În special, rețineți că, cu zero condiții inițiale, diferențierea poate fi interpretată ca înmulțire prin s. De asemenea, integrarea poate fi interpretată ca împărțire prin s.

TABELUL B.1 Perechi de transformate Laplace

TABELUL B.2 Relații ale transformatelor Laplace importante