Modelele cu funcții de transfer (strict, funcții de transfer Laplace) se bazează pe transformata Laplace și sunt mijloace versatile de reprezentare a sistemelor liniare cu parametri constanți (invariați în timp). Modelele din domeniu-frecvență (sau funcții de transfer de frecvență) sunt o categorie specială de modele în domeniul Laplace și se bazează pe transformata Fourier. Ele sunt interschimbabile - un model din domeniu-Laplace poate fi convertit în modelul corespunzător din domeniu-frecvență într-o manieră banală și invers. În mod similar, un model din domeniu-timp, liniar, cu coeficienți constanți (invariant în timp) (de exemplu, ecuația diferențială de intrare-ieșire sau un model de spațiu-stare) poate fi convertit într-o funcție de transfer, și invers, într-o manieră simplă și directă. Un sistem cu o singură intrare (excitație) și o ieșire (răspuns) poate fi reprezentat în mod unic printr-o singură funcție de transfer. Când un sistem are două sau mai multe intrări (adică un vector de intrare) și/sau două sau mai multe ieșiri (adică și vector de ieșire), reprezentarea sa are nevoie de mai multe funcții de transfer (adică este necesară o matrice de funcții de transfer). Caracteristicile de răspuns la o anumită locație (mai corect, într-un anumit grad de libertate) pot fi determinate utilizând o singură funcție de transfer din domeniu-frecvență.

Bazele transformatelor Laplace și Fourier sunt prezentate în Anexa B. Unele rezultate utile sunt rezumate mai jos:

Transformata Laplace a derivatelor de timp:

Notă: Cu zero CI (condiții inițiale), avem

Transformata Laplace a integratorului:

Transformata Laplace:

Domeniu-timp → Domeniul Laplace (frecvență complexă)

Derivata de timp → Variabila Laplace s

Ecuații diferențiale → Ecuații algebice (matematica mai ușoară)

Integrare în timp → 1/s

Transformata Fourier:

Domeniu-timp → Domeniu-frecvență

Conversia de la Laplace la Fourier (unilaterală): Setați s = jω.

În utilizarea tehnicilor de transformate Laplace, abordarea generală este convertirea mai întâi a problemei din domeniu-timp într-o problemă din domeniu-s (în mod convenabil, folosind tabele de transformate Laplace); efectuați analiza necesară (algebră și nu calcul) în domeniul-s; și convertiți rezultatele înapoi în domeniul-timp (din nou, folosind convenabil tabelele de transformate Laplace). Discuții suplimentare, tehnici și tabele Laplace se găsesc în anexa B.

3.7.1 Funcția de transfer

Luați în considerare sistemul liniar, cu parametri constanți de ordinul al n-lea dat de

Notă: Vom presupune m < n, sau în cel mai rău m ≤ n atunci când se spune că sistemele corespunzătoare sunt realizabile fizic. Pentru sistemele care posedă întârziere dinamică (adică sisteme al căror răspuns nu are tendința de a simți excitația nici instantaneu, nici înainte de timp, sau sistemele a căror excitație sau derivatele sale nu sunt transmise direct la ieșire), vom avea m < n. Acestea sunt sistemele care ne preocupă cel mai mult în aplicații reale.

Utilizați rezultatul (3.39) în (3.41), presupunând zero CI. Obținem funcția de transfer:

Ar trebui să fie clar din (3.41) și (3.42) că funcția de transfer corespunzătoare unei ecuații diferențiale de sistem poate fi scrisă simplu prin inspecție, fără a necesita cunoștințe despre teoria transformatei Laplace. În schimb, odată ce funcția de transfer este dată, ecuația timp-domeniu (diferențială) corespunzătoare ar trebui să fie imediat evidentă.

Notă: Polinomul dominant al unei funcții de transfer se numește polinom caracteristic, iar ecuația corespunzătoare se numește ecuație caracteristică: a0 + a1s + L + ansⁿ = 0.

3.7.2 Modele din domeniu-frecvență

Dacă ieșirea și intrarea unui sistem sunt exprimate în domeniul-frecvență, funcția de transfer în frecvență a sistemului este dată de raportul dintre transformatele Fourier ale ieșirii la intrare. Reprezentările din domeniul-frecvență sunt deosebit de utile în analiza, proiectarea, controlul și testarea sistemelor mecatronice. Formele de undă ale semnalului întâlnite într-un astfel de sistem pot fi interpretate și reprezentate ca o serie de componente sinusoidale. Într-adevăr, orice formă de undă poate fi astfel reprezentată, iar excitația sinusoidală este adesea folosită la testarea echipamentelor și a componentelor. De obicei, este mai ușor să obțineți modele din domeniu-frecvență decât modele din domeniu-timp asociate prin testare.

3.7.2.1 Funcție de transfer în frecvență (funcția de răspuns în frecvență)

Luați în considerare sistemul din domeniu-timp (3.41) a cărei funcție de transfer (în domeniu-Laplace) este dată de (3.42). Să presupunem că o intrare armonică (sinusoidală), dată în forma complexă:

este aplicată sistemului. După stabilirea condițiilor (adică, la stare de echilibru), ieșirea (răspunsul) sistemului va fi, de asemenea, armonică și este dată de

Înlocuind ecuațiile 3.43 și 3.44 în ecuația 3.41 și anulând termenul comun e^jωt, obținem

sau, având în vedere (3.42),

(Notă: de^jωt/dt = jω e^jωt )

Aici, funcția de transfer în frecvență (sau, funcția de răspuns în frecvență) este dată de

Notă: variabila de frecvență unghiulară (rad/s) ω = 2πf unde f este variabila de frecvență ciclică (Hz).

De asemenea, direct din rezultatul domeniului-Laplace (3.42) avem rezultatul din domeniu-frecvență:

unde Y(jω) = Fy(t) și U(jω) = Fu(t) cu F care indică operatorul transformatei Fourier.

3.7.2.1.1 Magnitudinea (câștigul) și faza

Să notăm magnitudinea lui G(jω) cu

iar unghiul de fază al lui G(jω) cu

Atunci, putem scrie

și din (3.44) și (3.45b):

Observaţii

Când o intrare armonică de frecvență ω este aplicată sistemului:

1. Ieșirea este mărită cu M = |G(jω)|

2. Ieșirea are o fază w.r.t. (with respect to) intrare de ϕ = ∠G(jω).

Notă: Pentru sistemele practice, ∠G(jω) este de obicei o fază negativă (adică, de obicei, ieșirea rămâne în urma intrării).

Rezultă că G(jω) constituie un model complet pentru un sistem liniar, cu parametri constanți, la fel ca G(s).

3.7.2.2 Diagrama Bode și diagrama Nyquist

Funcția de transfer în frecvență G(jω) este, în general, o funcție complexă de frecvența ω (care este o variabilă reală). Din rezultatul (3.47) ar trebui să fie clar că aplicarea unei excitații armonice (adică sinusoidale) și măsurarea câștigului de amplitudine și schimbarea de fază la ieșire (răspuns) pentru o serie de frecvențe, este o metodă convenabilă de determinare experimentală a modelului de sistem. Această abordare a „modelării experimentale” se numește identificarea modelului. Oricare dintre excitațiile sinuisoidale (-sweep, -dwell) pot fi utilizate cu aceste teste. În mod specific, o excitație sinusoidală este aplicată (adică, intrare) la sistem, iar factorul de amplificare și unghiul de fază al răspunsului rezultat sunt determinate la starea de echilibru. Frecvența excitației este variată în mod continuu pentru o sine-sweep și în pași pentru o sine-dwell. Rata de baleiere (sweep) ar trebui să fie suficient de lentă, sau timpii dwell ar trebui să fie suficienți de lungi, pentru a garanta obținerea unui răspuns în stare constantă în aceste metode. Rezultatele sunt de obicei prezentate ca o pereche de curbe:

|G (jω)| față de ω

∠G(f) versus ω

cu axe log pentru magnitudine (de exemplu, decibeli) și frecvență (de exemplu, decade). Această pereche de curbe se numește reprezentare grafică Bode sau diagrama Bode.

Dacă aceleași informații sunt reprezentate pe planul complex G(jω) cu partea reală trasată pe axa orizontală și partea imaginară pe axa verticală, curba rezultată se numește diagrama Nyquist sau diagrama Argand sau diagrama polară.

Într-o diagramă Bode, frecvența este prezentată explicit pe o axă, în timp ce într-o diagramă Nyquist frecvența este un parametru pe curbă și nu este arătată explicit decât dacă curba în sine este calibrată. În diagramele Bode, este obișnuit și convenabil să se dea magnitudinea în decibeli (20 log10 |G(jω)|) și scala axei de frecvență în unități logaritmice (de obicei factori de 10 sau decade). Întrucât argumentul unui logaritm ar trebui să fie în mod necesar o cantitate fără dimensiuni, Y(jω) și U(jω) ar trebui să aibă aceleași unități sau raportul lui G(jω) față de o anumită valoare de bază, cum ar fi G(0) ar trebui folosit.

Săgeata de pe curba Nyquist indică direcția de creștere a frecvenței. Este afișată de fapt numai partea corespunzătoare frecvențelor pozitive. Funcția de răspuns în frecvență corespunzătoare frecvențelor negative este obținută prin înlocuirea lui ω cu -ω sau, echivalent, jω cu −jω. Rezultatul este clar conjugatul complex al lui G(jω) și este notat de G*(jω):

Întrucât, în conjugata complexă, magnitudinea nu se schimbă și unghiul de fază schimbă semnul, rezultă că diagrama Nyquist pentru G*jω) este imaginea în oglindă a celei pentru G(jω) față de axa reală. Cu alte cuvinte, diagrama Nyquist pentru întregul interval de frecvență ω [−∞, +∞] este simetrică față de axa reală.

Considerați oscilatorul simplu amortizat arătat în figura 3.28. Forma acestor diagrame pentru un oscilator simplu este prezentată în figura 3.29.

3.7.3 Funcții de transfer ale sistemelor electromecanice

Semnificația funcției de transfer în frecvență ca model dinamic poate fi explicată prin considerarea oscilatorului simplu (adică a unui sistem de amortizare cu masă-arc-amortizor cu un singur grad-de-libertate) prezentat în figura 3.28.

FIGURA 3.28 Oscilator simplu amortizat

Funcția sa de transfer forță-deplasare, în domeniul-frecvență, poate fi scrisă ca:

în care m, b și k semnifică masa, constanta de amortizare și rigiditatea, respectiv, ale oscilatorului. Când frecvența de excitație ω este mică în comparație cu frecvența naturală a sistemului √k/m , termenii ms² și bs pot fi neglijați în raport cu k și sistemul se comportă ca un simplu arc. Când frecvența de excitație ω este mult mai mare decât frecvența naturală a sistemului, termenii bs și k pot fi neglijați în comparație cu ms². În acest caz, sistemul se comportă ca un simplu element de masă. Când frecvența de excitație ω este foarte apropiată de frecvența naturală (adică s = jω = j √ k/m), se vede din (3.50) că termenul ms² + k în numitorul funcției de transfer (adică polinomul caracteristic) devine aproape zero și poate fi neglijat. Atunci, funcția de transfer poate fi aproximată de G(jω)=1/(bs) cu s=jω.

FIGURA 3.29 Model din domeniu-frecvență al unui oscilator simplu:
(a) Diagrama Bode; (b) diagrama Nyquist

În concluzie:

1. În vecinătatea unei rezonanțe sau a unei frecvențe naturale (adică pentru valori intermediare ale frecvențelor de excitație), amortizarea sistemului devine cel mai important parametru.

2. La frecvențe scăzute de excitație, rigiditatea sistemului este cel mai semnificativ parametru.

3. La frecvențe ridicate de excitație, masa este cel mai semnificativ parametru.

Notă: În aceste observații, în loc de parametrii fizici m, k și b, am putea utiliza frecvența naturală ω_n = √k/m și raportul de amortizare ζ = b/(2√km) ca parametri ai sistemului. Atunci numărul de parametri ai sistemului se reduce la doi, ceea ce reprezintă un avantaj în studiile parametrice și de sensibilitate.

3.7.3.1 Funcții de transfer mecanic

Orice tip de variabilă forță sau mișcare poate fi utilizat ca variabile de intrare și de ieșire în definirea unei funcții de transfer a unui sistem mecanic. Putem defini mai multe versiuni ale funcțiilor de transfer în frecvență care pot fi utile în modelarea și analiza sistemelor mecanice, așa cum este prezentat în tabelul 3.4.

TABEL 3.4 Definițiile funcțiilor utile de transfer mecanic

În domeniul-frecvență:

Accelerația = (jω) × (viteza)
Deplasarea = viteza/(jω)

Având în vedere aceste relații, multe dintre tipurile alternative de funcții de transfer definite în tabelul 3.4 sunt legate de impedanța mecanică și mobilitate printr-un factor jω;

specific:

Rigiditate dinamică = Forță/Deplasare = impedanță × jω
Receptanța = Deplasare/Forță = Mobilitate/(jω)
Inerție dinamică = Forță/Accelerație = Impedanță/(jω)
Acceleranță = Accelerație/Forță = Mobilitate × jω

În aceste definiții, variabilele forță, accelerație și deplasare ar trebui interpretate ca spectre Fourier corespunzătoare.

3.7.3.1.1 Legi de interconectare

Dacă funcțiile de transfer ale componentelor sistemului sunt cunoscute, legile de interconectare pot fi utilizate pentru a determina funcția de transfer generală a sistemului. Două tipuri de interconectare sunt utile:

1. Conectare serie
2. Conectare paralelă

Determinarea legilor de interconectare este simplă, având în vedere faptul că:

1. Pentru elemente conectate în serie, variabila through este comună și variabilele across se adună.

2. Pentru elementele conectate în paralel, variabila across este comună și variabilele through se adună.

Deoarece mobilitatea este dată de o variabilă across (viteza) divizată de o variabilă through (forță), este clar (prin împărțirea peste tot cu variabila through comună) că pentru elementele conectate-serie, mobilitățile se adună (sau, inversul impedanței va fi aditiv). Deoarece impedanța mecanică este dată de o variabilă through (forța) divizată printr-o variabilă across (viteza), este clar (prin împărțirea peste tot cu variabila across comună) că pentru elementele conectate în paralel impedanțele mecanice se adună (sau, inversul mobilitatea va fi aditiv). Aceste legi de interconectare sunt prezentate în tabelul 3.5.

TABELUL 3.5 Legi de interconectare pentru impedanță mecanică (Z) și mobilitate (M)

Deoarece impedanța electrică este dată de o variabilă across (tensiune) împărțită la o variabilă through (curent), este clar (prin împărțirea peste tot cu variabila through comună) că pentru elementele conectate-serie impedanțele electrice adună (sau, inversul admitanței va fi aditiv). Deoarece admitanța este dată de o variabilă through (curent) divizată printr-o variabilă across (tensiune), este clar (prin împărțirea peste tot cu variabila across comună) că pentru elementele conectate-paralel, admitanțele se adună (sau, inversul impedanței electrice va fi aditiv). Aceste legi de interconectare pentru electricitate sunt prezentate în tabelul 3.6.

TABEL 3.6 Legi de interconectare pentru impedanța electrică (Z) și admitanță (W)

3.7.3.1.2 Funcții de transfer tip-A și tip-T

Impedanța electrică și mobilitatea mecanică sunt „funcții de transfer de tip-A”, deoarece sunt date de [variabila across/variabila through]. Ele respectă aceleași legi de interconectare (comparați Tabelele 3.5 și 3.6). Admitanța electrică și impedanța mecanică sunt „funcții de transfer de tip-T”, deoarece sunt date de [variabila through/variabila across]. Ei respectă aceleași legi de interconectare (comparați Tabelele 3.5 și 3.6).

3.7.3.2 Funcții de transfer ale elementelor de bază

Deoarece un sistem complex poate fi format prin interconectări serie și paralel ale elementelor de bază, este posibilă generarea sistematică a funcției de transfer a unui sistem complex prin utilizarea funcțiilor de transfer ale elementelor de bază.

Funcțiile de transfer în frecvență sunt obținute prin înlocuirea jω sau j2πf cu s. În acest mod, funcțiile de transfer ale elementelor mecanice de bază (liniare): masă, arc și amortizor pot fi obținute, așa cum este prezentat în tabelul 3.7.

În mod similar, pot fi obținute funcțiile de transfer ale elementelor electrice de bază (liniare), așa cum este prezentat în tabelul 3.8.

TABEL 3.7 Impedanța mecanică și mobilitatea elementelor mecanice de bază

TABEL 3.8 Impedanța și admitanța elementelor electrice de bază

Exemplul 3.7: Oscilator mecanic bazat pe masă

Luați în considerare oscilatorul simplu prezentat în figura 3.30a. Reprezentarea circuitului său mecanic este dată în figura 3.30b. Intrarea este forța f(t); în consecință, elementul sursă este o sursă de forță (o sursă variabilă-through sau sursă-T). Ieșirea (răspunsul) sistemului este viteza v. În această situație, funcția de transfer V(jω)/F(jω) este o funcție mobilitate. Pe de altă parte, dacă intrarea este viteza v(t), elementul sursă este o sursă de viteză; iar dacă forța f este exercitată asupra mediului, aceasta este ieșirea, iar funcția de transfer corespunzătoare F(jω)/V(jω) este o funcție impedanță.

FIGURA 3.30 (a) Oscilator mecanic cu baza la masă;
(b) circuit mecanic schematic; (c) circuitul de impedanță

Să presupunem că folosind o sursă de forță, pe acest sistem se aplică o funcție de forțare cunoscută (cu condiții inițiale zero) și se măsoară răspunsul în viteză. Dacă am muta masa exact la această viteză predeterminată (folosind o sursă de viteză), forța generată la sursă ar fi identică cu forța aplicată inițial. Cu alte cuvinte, mobilitatea este inversa impedanței, după cum am menționat anterior. Această reciprocitate ar trebui să fie clar intuitiv, deoarece avem de-a face cu același sistem și aceleași condiții inițiale. Datorită acestei proprietăți, putem folosi fie reprezentarea impedanței, fie reprezentarea mobilității, în funcție de ce elemente sunt conectate în paralel sau în serie, indiferent dacă intrarea este o forță sau o viteză. Odată ce funcția de transfer este determinată într-o formă, reciproca (inversa) ei dă cealaltă formă.

În concluzie:

Din punctul de vedere al analizei/modelării unui sistem liniar, este imaterial ce tip de funcție de transfer este utilizat. În particular, impedanța mecanică sau mobilitatea pot fi utilizate fără a afecta rezultatele analitice. Din punct de vedere fizic, însă, este posibil ca o funcție de transfer să nu poată fi realizabilă în timp ce alta este.

În exemplul prezent, cele trei elemente sunt conectate în paralel. Prin urmare, așa cum reiese din circuitul de impedanță prezentat în figura 3.30c, reprezentarea impedanței (mai degrabă decât reprezentarea mobilității) este mai convenabilă. Funcția generală de impedanță a sistemului este

Funcția de mobilitate este inversă lui Z(jω):

Rețineți că dacă, fizic, intrarea în sistem este forța, funcția mobilitate guvernează comportamentul sistemului. În acest caz, polinomul caracteristic al sistemului este s²+bs+k, ceea ce corespunde unui oscilator simplu și, în consecință, răspunsul în viteză (dependent) al sistemului ar fi guvernat de acest polinom caracteristic. Dacă, pe de altă parte, fizic, intrarea este viteza, funcția impedanță guvernează comportamentul sistemului. Polinomul caracteristic al sistemului, în acest caz, este s, care corespunde unui simplu integrator (1/s). Răspunsul (dependent) forță al sistemului ar fi guvernat de un comportament de tip integrator. Pentru a explora acest comportament mai departe, să presupunem că sursa de viteză are o valoare constantă. Forța de inerție va fi zero. Forța de amortizare va fi constantă. Forța arcului va crește liniar. Prin urmare, forța netă va avea un efect de integrare (în creștere liniară). Dacă sursa de viteză asigură o viteză în creștere liniară (accelerație constantă), forța de inerție va fi constantă, forța de amortizare va crește liniar, iar forța arcului va crește în mod pătratic. De fapt, funcția mobilitate (așa cum s-a arătat mai sus), nu funcția impedanță, este funcția de transfer realizabilă fizic pentru exemplul oscilatorului din figura 3.30.

3.8 Circuite echivalente și reducerea grafului liniar