3.1 Ce este un sistem „dinamic”, un caz special al oricărui sistem?

O variabilă de intrare tipică este identificată pentru fiecare dintre următoarele exemple de sisteme dinamice. Oferiți cel puțin o variabilă de ieșire pentru fiecare sistem.

(a) Corpul uman: impulsuri neuroelectrice
(b) Companie: informații
(c) Centrala energetică: debit de combustibil
(d) Automobil: mișcarea volanului
(e) Robot: tensiune la motorul articulației
(f) Podul de pe autostradă: forța vehiculului

3.2 (a) Explicați/justificați pe scurt de ce tensiunea și nu curentul este variabila de stare naturală a unui condensator electric; iar curentul și nu tensiunea este variabila de stare naturală pentru un inductor electric.

(b) Enumerați mai multe avantaje ale utilizării ca variabile de stare, a variabilelor across ale elementelor independente de stocare a energiei tip-A și variabilelor through ale elementelor independente de stocare a energiei tip-T, în dezvoltarea unui model spațiu-stare pentru un sistem de inginerie.

(c) Enumerați trei lucruri la care ordinul unui sistem dinamic electromecanic este egal.

3.3 Care sunt elementele concentrate de bază ale

(i) Unui sistem mecanic? (ii) Unui sistem electric?

Indicați dacă este necesară o metodă cu parametri distribuiți sau un model cu parametri concentrați este adecvat în studiul următoarelor sisteme dinamice:

(a) Sistem de suspensie a vehiculului (mișcare)
(b) Ghidaj de ridicat al vehiculului (mișcare transversală)
(c) Circuit oscilator (semnale electrice)
(d) Sistem de mediu (temperatură)
(e) Avioane (mișcare și eforturi)
(f) Cablu de transmisie mare (capacitate și inductanță)

3.4 (a) Dați pași logici ai procesului de modelare analitică pentru un sistem fizic general. (b) Odată obținut un model dinamic, ce alte informații ar fi nevoie pentru analiza răspunsului său în timp (sau pentru simularea pe computer)?

(c) Un sistem este împărțit în două subsisteme și sunt dezvoltate modele pentru aceste subsisteme. Ce alte informații ar fi necesare pentru a obține un model pentru sistemul general?

3.5 Descrieți două abordări de determinare a parametrilor unui model cu parametri concentrați care este (aproximativ) echivalent cu un sistem dinamic cu parametri distribuiți (adică continuu).

Un capăt al unui arc puternic de masă ms și rigiditate ks este atașat la o masă concentrată m. Celălalt capăt este atașat la un suport care este liber să se miște, așa cum se arată în figura P3.5.

Folosind metoda de echivalență a frecvenței naturale, determinați un model echivalent cu parametri concentrați pentru arcul unde masa concentrată echivalentă este situată la capătul liber (capătul suport) al sistemului. Frecvențele naturale ale unui arc puternic cu un capăt fixat și celălalt capăt liber sunt date de

unde n este numărul modului.

3.6 (a) De ce sunt importante analogiile în modelarea sistemelor dinamice?

(b) În analogia forță-curent, ce element mecanic corespunde unui condensator electric?

(c) În analogia viteză-presiune este inerția fluidului element analog elementului de inerție mecanică?

3.7 (a) Explicați pe scurt de ce un sistem pur termic nu are în mod tipic un răspuns oscilator, în timp ce un sistem cu fluid poate.

(b) Figura P3.7 prezintă un sistem reglat în presiune care poate furniza un jet de lichid de mare viteză. Sistemul constă dintr-o pompă, un acumulator încărcat cu arc și o secțiune destul de lungă de conductă care se termină cu o duză. Pompa este considerată ca o sursă de debit de valoare Qs.

FIGURA P3.7 Sistem de jet lichid reglat în presiune

Următorii parametri sunt importanți:

A = aria secțiunii transversale (uniforme) a cilindrului acumulator
k = rigiditatea arcului pistonului acumulator
L = lungimea secțiunii de conductă de la acumulator la duză
Ap = aria secțiunii transversale (uniformă, circulară) a conductei
Ao = aria de descărcare a duzei
Cd = coeficientul de descărcare al duzei
Q = densitatea masei lichidului

Presupunem că lichidul este incompresibil. Următoarele variabile sunt importante:

P1r = P1 - Pr = presiunea la intrarea acumulatorului față de referința ambientală r
Q = debitul volumului prin duză
h = înălțimea coloanei de lichid din acumulator

Rețineți că pistonul (peretele) acumulatorului se poate mișca contra arcului, variind astfel h.

(i) Având în vedere efectele mișcării peretelui încărcat cu arc și, de asemenea, capul gravitațional al lichidului, obțineți o expresie pentru capacitate echivalentă a fluidului Ca a acumulatorului în raport de k, A, ρ și g. Sunt cele două capacități care contribuie la Ca (adică, întinderea peretelui și gravitația) conectate în paralel sau în serie?

Notă: neglijați efectul bulk modulus al lichidului.

(ii) Având în vedere capacitatea Ca, inertanța I a volumului de fluid în conductă (lungimea L și zona secțiunii Ap) și doar rezistența duzei, dezvoltați un model de spațiu-stare neliniar pentru sistem. Vectorul de stare x = [P1r Q]^T, și intrarea u = [Qs].

Pentru debitul în conducta (circulară) cu profil de viteză parabolică, inertanța I = 2ρL/Ap și pentru evacuarea prin duză

în care
P2r este presiunea din interiorul duzei față de referința exterioară (r)
cd este coeficientul de descărcare

3.8 Un model pentru sistemul de control automat al gabaritului (AGC) al unui laminor de oțel este prezentat în Figura P3.8. Rulourile sunt presate folosind un singur actuator acționat hidraulic cu o deplasare a supapei de u. Rulourile sunt deplasate cu y, presând astfel oțelul care este rulat. Forța de rulare F este cunoscută complet din parametrii oțelului pentru un y dat.

FIGURA P3.8 Sistem de control automat al gabaritului (AGC) unui laminor de oțel

(i) Identificați intrările și variabila controlată în acest sistem de control.

(ii) În raport de variabilele și parametrii de sistem indicați în figura P3.8, scrieți ecuații dinamice pentru sistem, incluzând neliniaritățile supapei.

(iii) Care este ordinul sistemului? Identificați variabilele de răspuns.

(iv) Ce variabile ați măsura (și feedback prin controlere adecvate) pentru a îmbunătăți performanțele sistemului de control?

3.9 Un model simplificat al unui sistem de încălzire cu apă caldă este prezentat în figura P3.9.

FIGURA P3.9 Un sistem de încălzire casnică

Qs = rata de căldură furnizată de cuptor la încălzitorul de apă (1000 kW)
Ta = temperatura ambiantă (°C)
Th = temperatura apei în încălzitorul de apă se presupune uniformă (°C)
To = temperatura apei care iese din calorifer (°C)
Qr = rata de transfer de căldură de la radiator la ambient (kW)
M = masa de apă din încălzitorul de apă (500 kg).
m = debitul masic al fluxului de apă prin calorifer (25 kg/min)
c = căldura specifică a apei (4200 J/kg/°C).
Radiatorul satisface ecuația T_h – T_a = R_rQ_r
unde Rr este rezistența termică a radiatorului (2 × 10^-3 °C/kW)

(a) Care sunt intrările în sistem?
(b) Utilizând Th ca variabilă de stare, dezvoltați un model de spațiu-stare pentru sistem.
(c) Dați ecuații de ieșire pentru Qr și To.

3.10

1. În analogia electrotermică a sistemelor termice, unde tensiunea este analoagă temperaturii și curentul este analog cu rata de transfer a căldurii, explicați de ce există un condensator termic, dar nu un inductor termic. Care este o consecință directă a acestui fapt în ceea ce privește răspunsul natural (liber sau neforțat) al unui sistem pur termic?

FIGURA P3.10 Un model de tratament termic al unui pachet de siliciu

2. Un pachet de materiale semiconductoare constând în principal din substraturi de siliciu cristalin, cu cantități minime de dioxid de siliciu, este tratat termic la temperaturi ridicate ca o etapă intermediară în producerea de elemente tranzistor. În figura P3.10 este prezentat un model aproximativ al procesului de încălzire.

Pachetul este plasat în interiorul unei camere de încălzire ai cărei pereți sunt încălziți uniform de un element de încălzire distribuit. Rata de transfer de căldură asociată în perete este Qi. Interiorul camerei conține un gaz de masă mc și căldură specifică cc, și este menținut la o temperatură uniformă Tc. Temperatura siliciului este Ts și cea a peretelui este Tw. Mediul exterior este menținut la temperatura To. Încălzirea specifică ale pachetului de siliciu și a peretelui sunt notate cu cs și cw, iar masele corespondente sunt notate cu ms și mw, așa cum este arătat. Coeficientul de transfer de căldură convectiv la interfața siliciu și gaz din interiorul camerei este hs, iar aria suprafeței efective este As. În mod similar, hi și ho notează coeficienții de transfer de căldură convectivă la suprafețele interioară și exterioară ale peretelui camerei, iar ariile lor sunt Ai și respectiv Ao.

(a) Folosind Ts, Tc și Tw ca variabile de stare, scrieți trei ecuații de stare pentru proces.

(b) Exprimați aceste ecuații în termeni de parametrii Chs = mscs, Chc = mccc, Chw = mwcw, Rs = 1/hsAs, Ri = 1/hiAi, și Ro = 1/hoAo. Explicați analogia electrică și semnificația fizică a acestor parametri.

(c) Care sunt intrările pentru proces? Dacă Ts este ieșirea de importanță, obțineți matricele A, B, C și D ale modelului spațiu-stare.

(d) Comentează exactitatea modelului în contextul procesului fizic real de producere a elementelor semiconductoare.

FIGURA P3.11 Două tipuri de neliniarități: (a) Saturație ideală; (b) histerezis

3.11 Ce măsuri de precauție pot fi luate în dezvoltarea și exploatarea unui sistem mecanic, pentru a reduce neliniaritățile sistemului?

Citiți despre următoarele fenomene neliniare:

(i) Saturație
(ii) Hysteresis
(iii) Fenomene de salt
(iv) Crearea frecvenței
(v) Ciclul limită
(vi) Deadband (banda moartă)

În Figura P3.11 sunt prezentate două tipuri de neliniare. În fiecare caz, indicați dificultățile dezvoltării unei analitice pentru operare

aproape de:
(i) Punctul O
(ii) Punctul A

3.12 Curbele caracteristice ale unui motor DC controlat prin armatură (rotor bobinat) sunt așa cum se arată în figura P3.12. Acestea sunt curbe de cuplu-viteză, măsurate la o tensiune de armătură constantă, în stare constantă. Pentru vecinătatea punctului P, un model liniar de forma

trebuie să fie determinat pentru utilizare în controlul motorului. Sunt furnizate următoarele informații:
Panta curbei la P = −a
Variația de tensiune între cele două curbe adiacente la punctul P = ΔV
Variația corespunzătoare a vitezei (la cuplul de încărcare constant prin P) = Δω.
Estimați parametrii k1 și k2.

FIGURA P3.12 Curbe caracteristice ale unui motor DC controlat prin armătură

3.13 Un sistem de ventilare a circulației aerului dintr-o clădire este prezentat în figura P3.13a și un model simplificat al sistemului poate fi dezvoltat, așa cum este reprezentat în figura P3.13b.

Motorul cu inducție este reprezentat ca o sursă de cuplu τ(t). Viteza ω a ventilatorului, care determină debitul de volum de aer, este de interes. Momentul de inerție din rotorul ventilatorului este J. Disiparea energiei în ventilator este modelată de o componentă liniară de amortizare vâscoasă (a constantei de amortizare b) și de o componentă de amortizare aerodinamică pătratică (a coeficientului d).

FIGURA P3.13 (a) O combinație motor-ventilator pentru un sistem de ventilație a clădirii;
(b) un model simplificat al ventilatorului de ventilație

FIGURA P3.14 O pompă centrifugă acționată de un motor inductor

3.14 (a) Modelele liniarizate ale sistemelor neliniare sunt utilizate în mod obișnuit în controlul proceselor bazat pe model. Care este ipoteza principală care se face folosind un model liniarizat pentru a reprezenta un sistem neliniar?

(b) Un motor cu inducție trifazat este utilizat pentru a acționa o pompă centrifugă pentru lichide incompresibile. Pentru a reduce alinierea necorespunzătoare și problemele asociate, cum ar fi vibrațiile, zgomotul și uzura, se utilizează un cuplaj flexibil pentru conectarea arborelui motor la arborele pompei. O reprezentare schematică a sistemului este prezentată în figura P3.14.

Presupuneți că motorul este o „sursă de cuplu” a cuplului Tm, care se aplică la motorul de inerție Jm. De asemenea, următoarele variabile și parametri sunt definitei pentru sistem:

Jp = momentul de inerție al ansamblului rotor pompă
Ωm = viteza unghiulară a rotorului/arborelui motorului
Ωp = viteza unghiulară a rotorului/arborelui pompei
k = rigiditatea torsională a cuplajului flexibil
Tf = cuplul transmis prin cuplajul flexibil
Q = debitul de volum al pompei
bm = constanta de amortizare vâscoasă echivalentă a rotorului motorului

De asemenea, să presupunem că cuplul net necesar la arborele arbitru, pentru a pompa fluid constant la un debit Q de volum, este dat de bpΩp,
unde Q = VpΩp și Vp = parametrul volumetric al pompei (constant asumat).

Folosind Tm ca intrare și Q ca ieșire a sistemului, dezvoltați un model complet de spațiu-stare pentru sistem. Identificați matricile modelului A, B, C și D în notație uzuală, în acest model. Care este ordinul sistemului?

(c) În partea (a) să presupuneți că cuplul motor este dat de

unde alunecarea fracționată S a motorului este definită ca:

Rețineți că a și Sb sunt parametri constanți ai motorului. De asemenea,
Ωs este viteza fără sarcină (adică, sincronă) a motorului
Vf este amplitudinea tensiunii aplicate fiecărei înfășurări de fază (câmp) a motorului

3.15 (a) Care sunt elementele tip-A și care sunt elementele tip-T?

Clasificați inerția mecanică, arcul mecanic, inerția fluidului și condensatorul de fluid în aceste două tipuri. Explicați un posibil conflict care poate apărea din cauza acestei clasificări.

(b) Un sistem care este utilizat pentru a pompa un fluid incompresibil dintr-un rezervor într-un rezervor aerian deschis este ilustrat schematic în figura P3.15. Rezervorul are o secțiune transversală uniformă de arie A.

Pompa este considerată o sursă de presiune a diferenței de presiune P(t). O supapă de constantă kv este plasată lângă pompă în linia lungă a conductei, care conduce la rezervorul aerian. Ecuația supapei este Q = kv√P1 - P2 în care Q este debitul volumului de fluid. Rezistența la curgerea fluidului în conductă poate fi modelată cu Q = kp√P2 - P3, în care kp este o constantă de curgere a conductei. Efectul fluidul accelerat este reprezentat de ecuația liniară I(dQ/dt) = P3 - P4 în care I este inertanța fluidelor. Presiunile P1, P2, P3 și P4 sunt marcate de-a lungul lungimii conductei, ca în figura P3.10. De asemenea, P0 este presiunea ambientală.

(i) Utilizând Q și P40 ca variabile de stare, presiunea pompei P(t) ca variabilă de intrare, și nivelul de fluid H din rezervor ca variabilă de ieșire, obțineți un model spațiu-stare complet (neliniar) pentru sistem.

Notă: P40 = P4 - P0. Densitatea fluidului = ρ.

FIGURA P3.15 Un sistem de pompare pentru un rezervor aerian

(ii) Liniarizați ecuațiile de stare în jurul unui punct de operare dat de debitul Q. Determinați matricele modelului A, B, C și D pentru modelul liniar.

(iii) Care este rezistența liniară combinată a supapei și a conductei?

Ce caracteristică a unui sistem neliniar ilustrează acest rezultat?

3.16 Un sistem automat de tăiere a lemnului conține o unitate de tăiere, care constă dintr-un motor DC și o lamă de tăiere, legate printr-un arbore flexibil și un cuplaj. Scopul arborelui flexibil este de a poziționa unitatea lamei la orice configurație dorită, departe de motorul însuși. Unitatea de cuplare ajută la alinierea arborelui (compensează posibile nealinieri). În figura P3.16 este prezentat un model dinamic simplificat, cu parametri concentrați, al dispozitivului de tăiere.

FIGURA P3.16 O mașină de tăiat lemnul

În figură sunt afișați următorii parametri și variabile:

Jm = momentul axial de inerție al rotorului motorului
bm = constanta de amortizare vâscoasă echivalentă a rulmenților motorului
k = rigiditatea torsională a arborelui flexibil
Jc = momentul axial de inerție al lamei tăietoare
bc = constanta de amortizare vâscoasă echivalentă a rulmenților tăietorului
Tm = cuplul magnetic al motorului
ωm = turația motorului
Tk = cuplul transmis prin arborele flexibil
ωc = viteza tăietorului
TL = cuplul de încărcare pe tăietor de la piesa de prelucrat (lemn)

În comparație cu arborele flexibil, unitatea de cuplare este presupusă rigidă și este, de asemenea, presupusă ușoară. Sarcina de tăiere este dată de TL = c|ωc|ωc.

Parametrul c, care depinde de factori precum adâncimea de tăiere și proprietățile materialului piesei, este presupus constant în analiza de față.

(a) Folosind Tm ca intrare, TL ca ieșire și [ωm Tk ωc]^T ca vector de stare, dezvoltați un model de stare complet (neliniar) pentru sistemul prezentat în figura P3.16. Care este ordinul sistemului?

(b) Utilizând modelul de stare obținut la litera (a), obțineți o singură ecuație diferențială intrare-ieșire pentru sistem, cu Tm ca intrare și ωc ca ieșire.

(e) În modelul incremental (a se vedea partea (a)), dacă unghiul de răsucire al arborelui flexibil (adică θm - θc) este utilizat ca ieșire, ce va fi un model de stare adecvat? Care este atunci ordinul sistemului?

(f) În modelul incremental, dacă se utilizează poziția unghiulară θc a lamei tăietoare ca variabilă de ieșire, explicați cum ar trebui să fie modificat modelul de stare obținut în partea (a). Care este ordinul sistemului în acest caz?

Sugestie pentru partea (b):

Notă: Aceste rezultate pot fi obținute după cum urmează: deoarece |ωc| = ωc sgn ωc avem

Notă: Deoarece sgn(ωc) = + 1 pentru ωc > 0; = −1 pentru ωc <0; el este o constantă și derivata lui de timp este zero (cu excepția lui ωc = 0, ceea ce nu este important aici, deoarece corespunde cu stare statică).

3.17 Un model simplificat al unui ascensor este prezentat în figura P3.17.

Parametrii modelului sunt:

J = momentul de inerție al scripetelui de cablu
r = raza scripetelui
k = rigiditatea cablului
m = masa mașinii și a ocupanților acesteia

FIGURA P3.17 Un model simplificat de ascensor

(a) Care parametri de sistem sunt variabili? Explicați.

(b) Să presupunem că cuplul de amortizare Td(ω) la rulmentul scripetelui este o funcție neliniară de viteza unghiulară ω a scripetelui. Să presupunem că:
Vectorul de stare x = [ω f v ]^T
cu
f = forța de tensiune în cablu
v = viteza mașinii (luată pozitiv în sus)

Vector de intrare u = [Tm]^T
cu
Tm = cuplul aplicat de motor pe scripete (pozitiv în direcția indicată în figura P3.17)

Vector de ieșire ca y = [v]

Obțineți un model complet, neliniar, de spațiu-stare pentru sistem.

(c) Cu Tm ca intrare și v ca ieșire, convertiți modelul spațiul-stare într-un model de ecuație diferențială intrare-ieșire neliniară. Care este ordinul sistemului?

(d) Dați o ecuație a cărei soluție oferă viteza de operare ῡ în stare constantă a mașinii liftului.

(e) Liniarizați modelul neliniar de ecuație diferențială de intrare/ieșire obținut în partea (c), pentru mici variații Ťm ale intrării și ῠ ale ieșirii, în jurul unui punct de operare.

Sugestie: Notați dTd/dt ca b(ω).

(f) Liniarizați modelul spațiu-stare obținut în partea (b) și dați matricile modelului A, B, C și D în notația obișnuită. Obțineți ecuația diferențială liniară de intrare/ieșire din acest model spațiu-stare și verificați dacă este identică cu cea obținută în partea (e).

3.18 Luați în considerare circuitul electric L-C-R prezentat în figura P3.18.

Desenați un graf liniar pentru acest circuit.
Identificați buclele primare și scrieți ecuațiile pentru ele.
Schițați un sistem mecanic care este analog circuitului electric dat.

3.19 Controlerele de mișcare comerciale sunt dispozitive cu cuplu înalt controlate digital (controlate prin microprocesor) capabile să aplice o mișcare prescrisă unui sistem. Astfel de actuatoare controlate pot fi considerate ca surse de viteze. Luați în considerare o aplicație în care este folosit un controler de mișcare rotativ pentru poziționarea unui obiect, care este cuplat printr-o cutie de viteze. Sistemul este modelat ca în figura P3.19. Dezvoltați un model spațiu-stare pentru acest sistem folosind abordarea grafului liniar.

FIGURA P3.19 Sistem cu mișcare rotativă cu o transmisie de angrenare

3.20

(a) Enumerați mai multe avantaje ale utilizării grafurilor liniare în dezvoltarea unui model spațiu-stare al unui sistem dinamic.

(b) Agitatoarele electrodinamice sunt utilizate în mod obișnuit în testarea dinamică a produselor. O configurație posibilă a unui sistem de agitator/obiect-test este prezentată în figura P3.20a. În figura P3.20b este prezentat un model simplu, liniar, cu parametri concentrați al sistemului mecanic.

Notă: Motorul de acționare este reprezentat de o sursă de cuplu Tm. Sunt indicați următorii parametri:

Jm = momentul echivalent de inerție al rotorului motorului, arborelui, cuplajului, angrenajelor și platformei agitatoare
r1 = raza cercului de pas a roții angrenajului atașată la arborele motorului
r2 = raza cercului de pas a roții angrenajului care balansează platforma agitatorului
l = brațul pârghiei din centrul balansoarului până la locația de susținere a obiectului de testare
mL = masa echivalentă a obiectului de testare și dispozitivul de susținere al acestuia
kL = rigiditatea dispozitivului de sprijin
bL = constanta de amortizare vâscoasă echivalentă a dispozitivului de sprijin
ks = rigiditatea sistemului de suspensie a mesei agitatoare
bs = constanta de amortizare vâscoasă echivalentă a sistemului de suspensie

Deoarece efectele de inerție sunt transformate în elemente echivalente, se poate presupune că arborele, angrenajul, platforma și dispozitivele de sprijin sunt ușoare. Următoarele variabile sunt de interes:

ωm = viteza unghiulară a motorului de antrenare
vL = viteza de mișcare verticală a obiectului de testare
fL = forța dinamică echivalentă a dispozitivului de sprijin (forța în arc kL)
fs = forța dinamică echivalentă a sistemului de suspensie (forța în arc ks)

(i) Obțineți o expresie pentru raportul de mișcare:

r = Mișcarea verticală a mesei agitator la locul de susținere al obiectului de testare/Mișcarea unghiulară a arborelui motorului de antrenare

(ii) Desenați un graf liniar pentru a reprezenta modelul dinamic.

(iii) Folosind x = [ωm, fs, fL, vL]^T ca vector de stare, u = [Tm] ca intrare și y = [vL fL]^T ca vector de ieșire, obțineți un model complet de spațiu-stare pentru sistem.

În acest scop, trebuie să utilizați graful liniar desenat în partea (ii).

3.21 Circuitul prezentat în figura P3.21 are un inductor L, un condensator C, un rezistor R și o sursă de tensiune v(t). Considerând că L este analog cu un arc și C este analog cu o inerție, urmați pașii standard pentru a obține ecuațiile de stare. Mai întâi schițați graful liniar notând curenții prin și tensiunile pe elementele L, C și R prin (f1, v1), (f2, v2) și (f3, v3), și apoi continuați în maniera obișnuită.

(i) Care este matricea sistemului și care este matricea de distribuție a intrărilor pentru alegerea dvs. de variabile de stare?

(ii) Care este ordinul sistemului?

(iii) Explicați succint ce se întâmplă dacă sursa de tensiune v(t) se înlocuiește cu o sursă de curent i(t).

3.22 Considerați un automobil care circulă cu o viteză constantă pe un drum accidentat, așa cum este schițat în figura P3.22a. Intrarea perturbare din cauza drumului accidentat poate fi considerată ca sursă de viteză u(t) la pneuri în direcția verticală. Un model uni-dimensional aproximativ prezentat în figura P3.22b poate fi utilizat pentru a studia mișcarea „de ridicare” (în sus și în jos) a automobilului. Rețineți că v1 și v2 sunt viteza maselor concentrate m1 și, respectiv, m2.

FIGURA P3.22 (a) Un automobil care circulă cu viteză constantă;
(b) un model brut al automobilului pentru analiza mișcării de săltare

(a) Afirmați pe scurt ce componente fizice ale automobilului sunt reprezentate de parametrii modelului k1, m1, k2, m2 și b2. De asemenea, discutați despre validitatea presupunerilor care se fac pentru a ajunge la acest model.

(b) Desenați un graf liniar pentru acest model, orientați-l (adică marcați direcțiile ramurilor) și indicați complet variabilele și parametrii sistemului.

(c) Urmând procedura pas cu pas a scrierii ecuațiilor constitutive, ecuațiile nodului și ecuațiile buclei, dezvoltați un model complet de spațiu-stare pentru acest sistem. Ieșirile sunt v1 și v2. Care este ordinul sistemului?

(d) Dacă în locul sursei de viteză u(t), o sursă de forță f(t), care este aplicată la aceeași locație, este considerată ca intrare a sistemului, trasați un graf liniar pentru acest model modificat. Obțineți ecuațiile de stare pentru acest model. Care este ordinul sistemului acum?

Notă: În această problemă, puteți presupune că efectele gravitaționale sunt echilibrate complet de compresia inițială a arcurilor cu referire la care sunt definite toate mișcările.

FIGURA P3.23 Un model de unitate motor–compresor

3.23 Un model aproximativ al unei combinații motor-compresor utilizat într-o aplicație de control de proces este prezentat în Figura P3.23.

Rețineți că T, J, k, b și ω indică cuplul, momentul de inerție, rigiditatea torsională, constanta de amortizare vâscoasă unghiulară și, respectiv, viteza unghiulară, iar indicii m și c reprezintă rotorul motor și, respectiv, rotorul de compresor.

(a) Schițați un model mecanic translator care este analog cu acest model mecanic rotativ.

(b) Desenați un graf liniar pentru modelul dat, orientați-l și indicați toate variabilele și parametrii necesari pe graf.

(c) Urmând o procedură sistematică și utilizând graful liniar, obțineți o reprezentare spațiu-stare completă a modelului dat. Ieșirile sistemului sunt viteza compresorului ωc și cuplul T transmis prin arborele de acționare.

3.24 În figura P3.24 este prezentat un model pentru o singură articulație a unui manipulator robot. Se folosește notația obișnuită. Inerția angrenajului este neglijată și raportul de reducere a angrenajului este considerat 1: r (Notă: r <1).

FIGURA P3.24 Model de robot cu un singur grad de libertate

(a) Desenați un graf liniar pentru model, presupunând că nu există un cuplu extern (de sarcină) la brațul robot.

(b) Utilizând graful liniar obțineți un model de stare pentru acest sistem. Intrarea este cuplul magnetic al motorului Tm, iar ieșirea este viteza unghiulară ωr a braţului robot. Care este ordinul sistemului?

(c) Discutați despre validitatea diferitelor ipoteze făcute pentru a ajunge la acest model simplificat pentru un manipulator robotic.

3.25 Luați în considerare sistemul de control rotativ cu feedback prezentat schematic prin figura P3.25a.

FIGURA P3.25 (a) Un sistem electromecanic rotativ; (b) circuitul armăturii

Sarcina are inerția J, rigiditate K și amortizare vâscoasă echivalentă B, după cum se arată. Circuitul armăturii pentru motorul DC cu câmp fixat este prezentat în figura P3.25b.

Sunt cunoscute următoarele relații:

E.m.f. inversă vB = Kvω
Cuplul motorului Tm = KTi

(a) Identificați intrările sistemului.
(b) Scrieți ecuațiile liniare ale sistemului.

3.26 (a) Care este motivul fizic principal al comportamentului oscilator într-un sistem pur fluidic?

FIGURA P3.26 (a) Un sistem de fluide cu două rezervoare care interacționează;
(b) un sistem de lichid cu două rezervoare care nu interacționează

De ce sistemele pur fluide cu rezervoare mari conectate prin conducte cu diametrul mic prezintă rareori un răspuns oscilator?

(b) În figura P3.26a sunt prezentate două rezervoare mari conectate cu o conductă orizontală subțire la nivelul de jos. Rezervorul 1 primește un flux de lichid la debit de volum Qi când robinetul de intrare este deschis. Rezervorul 2 are o supapă de ieșire, care are o rezistență la curgere a fluidului Ro și un debit de Q0 atunci când este deschis. Conducta de conectare are, de asemenea, o supapă, iar la deschidere, rezistența combinată la curgerea fluidului a supapei și a conductei subțiri este Rp. Sunt definiți următorii parametri și variabile:

C1, C2 = capacități fluide (cap de gravitație) ale rezervoarelor 1 și 2
ρ = densitatea de masă a fluidului
g = accelerație gravitațională
P1, P2 = presiunea din partea de jos a rezervoarelor 1 și 2
P0 = presiunea ambientală

Utilizând P10 = P1 - P0 și P20 = P2 - P0 ca variabile de stare și nivelele de lichid H1 și H2 în cele două rezervoare ca variabile de ieșire, obțineți un model spațiu-stare complet, liniar, pentru sistem.

(c) Să presupunem că cele două rezervoare sunt ca în figura P3.26b. Aici rezervorul 1 are o supapă de ieșire în partea inferioară a cărei rezistență este Rt și debitul volumului este Qt atunci când este deschis. Acest flux intră direct în rezervorul 2, fără o conductă de conectare. Caracteristicile rămase ale rezervoarelor sunt aceleași ca în partea (b).

Obțineți un model spațiu-stare pentru sistemul modificat în termeni de aceleași variante ca în partea (b).

3.27 O aplicație obișnuită a motoarelor DC este în poziționarea exactă a unei sarcini mecanice.

În figura P3.27 este prezentată o diagramă schematică a unui aranjament posibile. Actuatorul sistemului este un motor DC controlat prin armătură. Momentul de inerție al rotorului său este Jr și viteza unghiulară este ωr. Amortizarea mecanică a motorului (inclusiv cea a rulmenților) este neglijată în comparație cu cea a sarcinii.

FIGURA P3.27 Model electromecanic al unui sistem rotativ de poziționare

Circuitul armăturii este prezentat în figura P3.27, care indică o e.m.f. inversă vb (datorită rotirii motorului în câmpul statorului), o inductanță de scurgere La și o rezistență Ra. Curentul prin inductorul de scurgere este iL. Semnalul de intrare este tensiunea armăturii va(t) așa cum este arătat. Interacțiunea câmpului magnetic al rotorului și câmpul magnetic al statorului (Notă: câmpul rotorului se rotește cu o viteză unghiulară ωm) generează un cuplu „magnetic” Tm care se exercită pe rotorul motorului.

Statorul oferă motorului un câmp magnetic constant și nu este important în problema actuală. Motorul DC poate fi considerat ca fiind un traductor electromecanic ideal, care este reprezentat de un transformator cu graf liniar. Ecuațiile asociate sunt

unde km este constanta de cuplu a motorului.

Notă: Semnul negativ din a doua ecuație se datorează convenției specifice de semn utilizată pentru un transformator, în reprezentarea grafului convențional liniar.

Motorul este conectat la o sarcină rotativă cu moment de inerție Jl folosind un arbore flexibil lung de rigiditate torsională kl. Cuplul transmis prin acest arbore este notat cu Tk. Sarcina se rotește cu o viteză unghiulară ωl și prezintă disipație mecanică care este modelat de un amortizor vâscos liniar cu constanta de amortizare bl.

Răspundeți la următoarele întrebări:

(a) Desenați un graf liniar adecvat pentru întregul sistem prezentat în figura P3.27, marcați variabilele și parametrii (puteți introduce noi variabile auxiliare, dar nu parametri noi) și orientați graful.

(b) Indicați numărul de ramuri (b), noduri (n) și bucle independente (l) în graful liniar complet. Ce relație satisfac cei trei parametri? Câte ecuații independente de nod, de buclă și constitutive pot fi scrise pentru sistem? Verificați suficiența acestor ecuații pentru a rezolva problema.

(c) Luați curentul prin inductor (iL), viteza de rotație a rotorului motorului (ωr), cuplul transmis prin arborele de sarcină (Tk) și viteza de rotație a sarcinii (ωl) ca cele patru variabile de stare, tensiunea de alimentare a armăturii va(t) ca variabilă de intrare și cuplul arborelui Tk și viteza sarcinii ωl ca variabile de ieșire. Scrieți ecuațiile independente în noduri, ecuațiile independente pe bucle, și ecuațiile constitutive pentru graficul liniar complet. Arătați clar state-space shell.

(d) Eliminați variabilele auxiliare și obțineți un model complet spațiu-stare pentru sistem, folosind ecuațiile scrise în partea (c) de mai sus. Exprimați matricile A, B, C și D ale modelului spațiu-stare numai în termeni de parametrii sistemului Ra, La, km, Jr, kl, bl și Jl.

3.28 Considerați modelul simplificat al unui vehicul prezentat în figura P3.28, care poate fi utilizat pentru a studia mișcările de ridicare (verticală în sus și în jos) și pitch-de teren (rotație față-spate) cauzate de profilului drumului și a altor perturbări.

Pentru scopurile noastre, să presupunem că perturbările rutiere care excită suspensiile din față și din spate sunt independente. Ecuațiile de mișcare pentru ridicare (y) și pitch (θ) sunt scrise în jurul configurația de echilibru static al modelului de vehicul (prin urmare, gravitația nu intră în ecuație) pentru mișcări mici:

Determinați funcțiile de transfer care relatează răspunsurile y și θ la intrările u1 și u2.

3.29 Luați în considerare sistemele cu un singur grad de libertate prezentate în figura P3.29. Sistemul este reprezentat de o masă punctuală m, iar sistemul de suspensie este modelat ca un arc de rigiditate k și un amortizor vâscoz cu constanta de amortizare b. Modelul prezentat în Figura 3.29a este utilizat pentru a studia transmisibilitatea forței.

Desenați circuitul său de impedanță.

Modelul prezentat în figura P3.29b este utilizat pentru a determina transmisibilitatea mișcării. Desenați circuitul său de impedanță (sau mobilitatea).

Notă: Elementele de mobilitate sunt potrivite pentru studii de transmisibilitate în mișcare.

Arătați că transmisibilitatea forței sistemului (a) este egală cu transmisibilitatea mișcării sistemului (b).

Obțineți o expresie pentru aceste funcții de transmisibilitate comune în termenii parametrilor de sistem.

3.30 Luați în considerare sistemele de două grade de libertate prezentate în figura P3.30. Sistemul principal este reprezentat de două mase legate printr-un arc și un amortizor. Masa m1 este considerată masa critică (Este la fel de acceptabil să considerăm masa m2 drept masa critică).

Modelul prezentat în figura P3.30a este utilizat pentru a studia transmisibilitatea forței. Desenați circuitul său de impedanță.

Modelul prezentat în figura P3.30b este utilizat pentru a determina transmisibilitatea mișcării. Desenați circuitul său de impedanță (sau mobilitate).

Arătați că transmisibilitatea forței sistemului (a) este egală cu transmisibilitatea mișcării sistemului (b).

3.31 Un producător de piese din cauciuc folosește un procedeu convențional de turnare cu aburi a latexului. Piesele turnate din cauciuc sunt mai întâi răcite și lustruite și apoi trimise pentru inspecție și ambalare. O versiune simplă a unei mașini de lustruire cauciuc este prezentată în figura P3.31a. Este formată dintr-un tambur hexagonal mare, ale cărui suprafețe interioare sunt acoperite cu un strat de piatră de șlefuit. Tamburul este sprijinit pe orizontală de-a lungul axei sale de doi rulmenți puternici, auto-aliniați la cele două capete și este rotit folosind un motor cu inducție trifazat. Arborele de acționare al tamburului este conectat la arborele motorului printr-un cuplaj flexibil, pentru a compensa posibile nealinieri ale axelor. Procesul de lustruire constă în umplerea tamburului cu părți de cauciuc, rotirea constantă a tamburului pentru o perioadă specificată de timp, și în final curățarea în vid a tamburului și a conținutului său. Dinamica mașinii afectează încărcarea mecanică pe diferite părți ale sistemului, cum ar fi motorul, cuplajul, rulmenții, arbori și structura de sprijin.

Pentru a studia comportamentul dinamic, în special în stadiul de pornire și sub perturbări pe durata operării în stare constantă, un inginer dezvoltă un model simplificat al mașinii de lustruit. Acest model este prezentat în figura P3.31b. Motorul este modificat ca o sursă de cuplu Tm, care se aplică pe rotor având momentul de inerție Jm și se opune cu un cuplu de amortizare vâscoasă de constantă de amortizare bm. Arborele de legătură și unitatea de cuplare sunt reprezentate de un arc torsional de rigiditate kL. Tamburul și conținutul său sunt reprezentate de un moment constant echivalent de inerție JL. Există un cuplu rezistent pe tambur, chiar și la o viteză de funcționare constantă, datorită excentricității conținutului tamburului. Aceasta este reprezentat de un cuplu constant Tr. În plus, disiparea de energie datorată acțiunii de lustruire (între părțile de cauciuc și suprafețele de șlefuit ale tamburului) este reprezentată de un cuplu de amortizare neliniar TNL, care poate fi aproximat de

Rețineți că θm și θL sunt unghiurile de rotație ale rotorului motorului și ale tamburului, respectiv, iar acestea sunt măsurate din linii de referință inerțiale care corespund unei configurații relaxate a arcului kL.

(a) Comentați ipotezele făcute în procesul de modelare a acestui sistem și discutați pe scurt validitatea (sau exactitatea) modelului.

(b) Arătați că ecuațiile modelului sunt

Care sunt intrările acestui sistem?

și răsucirea arcului ca ieșire, obțineți un model complet spațiu- stare pentru sistemul său neliniar.

Care este ordinul modelului de stare?

(d) Să presupunem că în condiții de funcționare constante, cuplul motorului este T`m, care este constant. Determinați o expresie pentru viteza constantă ϖ a tamburului în termeni de T`m, Tr și parametrii de sistem corespunzători în aceste condiții. Arătați că, deoarece este intuitiv de clar, trebuie să avem T`m > Tr, pentru ca această operare constantă să fie posibilă. De asemenea, obțineți o expresie pentru răsucirea arcului în stare de echilibru, în termeni de ϖ, Tr și parametrii sistemului.

(e) Linearizați ecuațiile sistemului în jurul stării de funcționare constantă și exprimați cele două ecuații în termeni de următoarele variabile „incrementale”:

q1 = variația lui θm în jurul valorii constante
q2 = variația lui θL în jurul valorii constante
u = creșterea perturbației lui Tm de la valoarea constantă T`m.

(f) Pentru sistemul liniarizat, obțineți ecuația diferențială de intrare-ieșire, considerând mai întâi q1 ca ieșire și apoi considerând q2 ca ieșire. Comentați și justificați natura părților omogene (ecuație-caracteristică) ale celor două ecuații. Discutați, examinând natura fizică a sistemului, de ce în aceste ecuații de intrare-ieșire sunt prezente doar derivatele lui q1 și q2 și nu variabilele în sine.

Explicați de ce derivarea ecuațiilor diferențiale intrare-ieșire va deveni considerabil mai dificilă dacă este prezent un amortizor între cele două elemente de inerție Jm și JL.

(g) Considerați ecuația diferențială de intrare-ieșire pentru q1. Prin introducerea unei variabile auxiliare, desenați o diagramă bloc de simulare pentru acest sistem. (Utilizați numai blocuri integratoare, sumatoare și coeficienți.) Arătați cum această diagramă bloc poate fi ușor modificată pentru a reprezenta următoarele cazuri:

(i) q2 este ieșirea
(ii) q'1 este ieșirea (derivata lui q1)
(iii) q'2 este ieșirea

Care este ordinul sistemului (sau numărul de integratoare libere necesare) în fiecare din cele patru cazuri de ieșire luate în considerare în acest exemplu?

(h) Considerând răsucirea arcului (q1 - q2) ca ieșire, trasați o diagramă bloc de simulare pentru sistem. Care este ordinul sistemului în acest caz?

Sugestie: În acest scop, puteți utiliza cele două ecuații diferențiate liniarizate de ordin secundar obținute în partea (e).

(i) Comentați de ce „ordinul sistemului” nu este același pentru cele cinci cazuri de ieșire luate în considerare în (g) și (h).

3.32 Luați în considerare din nou oscilatorul mecanic bazat la sol, așa cum se arată în figura P3.29a și analizat în Problema 3.29. Repetați analiza, de data aceasta folosind conceptele circuitelor echivalente Thevenin sau Norton și reducerea grafului liniar în domeniul-frecvență și determinați o expresie pentru transmisibilitatea forței.

3.33 Luați în considerare din nou oscilatorul cu mișcare de susținere, așa cum se arată în figura P3.29b și analizat în Problema 3.29. Repetați analiza, de data aceasta folosind conceptele circuitelor echivalente Thevenin sau Norton și reducerea grafului liniar în domeniul-frecvență și determinați o expresie pentru transmisibilitatea mișcării.

3.34 Luați în considerare din nou oscilatorul cu două grade de libertate bazat la sol, așa cum se arată în figura P3.30a și analizat în Problema 3.30. Repetați analiza, de data aceasta folosind conceptele circuitelor echivalente Thevenin sau Norton și reducerea grafului liniar în domeniul-frecvență și determinați o expresie pentru transmisibilitatea forței.

3.35 Luați în considerare din nou oscilatorul cu două grade de libertate cu mișcare de susținere, așa cum se arată în figura P3.30b și analizat în Problema 3.30. Repetați analiza, de data aceasta folosind conceptele circuitelor echivalente Thevenin sau Norton și reducerea grafului liniar în domeniul-frecvență și determinați o expresie pentru transmisibilitatea mișcării.

3.36 Considerați sistemul de control prezentat în figura P3.36.

FIGURA P3.36 (a) Un sistem electromecanic rotativ; (b) circuitul armăturii

E.m.f. inversă vB = KVω
Cuplul motorului Tm = KTi

Desenați o diagramă bloc de simulare pentru sistem.

3.37 Este necesar să se studieze comportamentul dinamic al unui automobil pe durata foarte scurtă de pornire bruscă din repaus. Mai exact, accelerația vehiculului a în direcția mișcării primare, așa cum se arată în figura P3.37a, este de interes și ar trebui să fie considerată ca ieșirea sistemului. Forța echivalentă f(t) a motorului, aplicată în direcția mișcării primare, este considerată ca intrare a sistemului. Un model dinamic simplu care poate fi utilizat pentru studiu este prezentat în figura P3.37b.

Notă: k este rigiditatea echivalentă, în principal datorită flexibilității anvelopelor și b este constanta de amortizare vâscoasă echivalentă, în principal datorită disipațiilor la pneuri și alte părți mobile ale vehiculului, luate în direcția lui a. De asemenea, m este masa vehiculului.

FIGURA P3.38 Un circuit RLC comandat de o sursă de tensiune

3.38 Circuitul electric prezentat în figura P3.38 are două rezistoare R1 și R2, un inductor L, un condensator C și o sursă de tensiune u(t). Tensiunea pe condensator este considerată ieșirea y a circuitului.

(a) Care este ordinul sistemului și de ce?

(b) Arătați că ecuația de intrare-ieșire a circuitului este dată de

Exprimați coeficienții a0, a1, a2, b0 și b1 în raport de parametrii circuitului R1, R2, L și C.

(c) Pornind cu ecuația diferențială auxiliară:

obțineți un model complet spațiu-stare pentru sistemul din figura P3.38.

(d) Explicați clar de ce, pentru sistemul din figura P3.38, nici curentul ic prin condensator și nici derivata de timp a ieșirii (y˙) nu pot fi alese ca variabilă de stare.

3.39 Brațul mobil cu cap de citire/scriere al unei unități de disc este modelat ca un oscilator simplu. Unitatea are o rigiditate de îndoire echivalentă k = 10 dyne ∙ cm/rad și constantă de amortizare b. O rotație echivalentă u(t) radiani este transmisă la capul de citire/scriere. La rândul său, acesta produce un moment (îndoire) la brațul de citire/scriere, care are un moment echivalent de inerție J = 1 × 10^-3 gm∙cm² și îndoaie unitatea la un unghi echivalent θ față de centroid.

(a) Scrieți ecuația diferențială de intrare-ieșire a mișcării pentru unitatea brațului de citire/scriere.

(b) Care este frecvența naturală neamortizată a unității în rad/s?

(c) Determinați valoarea lui b pentru amortizarea critică de 5%. (d) Scrieți funcția de transfer în frecvență a modelului.

3.40 O mașină rotativă de masă M este amplasată pe o podea rigidă de beton. Între mașină și podea există o placă de izolare din material elastomeric și este modelată ca un amortizor vâscos cu constantă de amortizare b. În operare constantă, există o componentă predominantă a forței armonice f(t), care acționează pe mașină în direcția verticală la o frecvență egală cu viteza de rotație (n rot./s) a mașinii. Pentru a controla vibrațiile produse de această forță, pe mașină este montat un absorbant dinamic de masă m și de rigiditate k. Un model al sistemului este prezentat în figura P3.40.

(a) Determinați funcția de transfer în frecvență a sistemului, cu forța f(t) ca intrare și viteza verticală v a masei M ca ieșire.

(b) Care este masa absorbantului dinamic care ar trebui să fie utilizat pentru a elimina automat vibrațiile mașinii (un amortizor reglat)?

FIGURA P3.40 O mașină montată cu un amortizor dinamic.

3.41 Funcția de transfer în frecvență pentru un oscilator simplu este dată de

(a) Dacă o excitație armonică u(t) = a cos ωnt este aplicată acestui sistem, care este răspunsul la starea de echilibru?

(b) Care este magnitudinea vârfului rezonant?

(c) Folosind răspunsurile la (a) și (b) sugerați o metodă de măsurare a amortizării într-un sistem mecanic.

(d) La ce frecvență de excitație este maximă amplitudinea de răspuns în condiții de echilibru?

(e) Determinați o expresie aproximativă pentru lățimea de bandă la jumătate de putere (3 dB) pentru amortizare redusă. Folosind acest rezultat, sugerați o metodă alternativă pentru măsurarea amortizării.

3.42 (a) O funcție de transfer în frecvență aproximativă a unui sistem a fost determinată prin analiza Fourier a datelor măsurate de răspuns-excitație și încadrată într-o expresie analitică adecvată (prin aproximarea curbei folosind metoda celor mai mici pătrate). S-a constatat că G(f) = 5/(10 + j2πf).

Care este magnitudinea, unghiul de fază, partea reală și partea imaginară la f = 2 Hz?

Dacă frecvența de referință este luată ca 1 Hz, care este magnitudea funcției de transfer la 2 Hz exprimată în dB?

(b) Un test dinamic pe o structură folosind un agitator portabil a evidențiat următoarele: accelerația între două locații (locația agitatorului și locația accelerometrului) măsurată la un raport de frecvență de 10 a fost de 35 dB. Determinați mobilitatea și impedanța mecanică corespunzătoare la acest raport de frecvență.

FIGURA P3.43 Două sisteme mecanice: (a) Pentru determinarea transmisibilității forței;
(b) pentru determinarea transmisibilității mișcării

3.43 Figura P3.43 prezintă două sisteme (a) și (b), care pot fi utilizate pentru a studia transmisibilitatea forței și, respectiv, transmisibilitatea mișcării. Discutați în mod clar dacă transmisibilitatea forței Fs/F (în domeniul Laplace) în sistemul (a) este egală cu transmisibilitatea în mișcare Vm/V (în domeniul Laplace) în sistemul (b), prin efectuarea următoarelor etape:

1. Desenați grafurile liniare pentru cele două sisteme și marcați funcțiile de mobilitate pentru toate ramurile (cu excepția elementelor sursă).

2. Simplificați cele două grafuri liniare combinând ramuri după caz ​​(ramuri serie: adună mobilități; ramuri paralele; regula inversă se aplică pentru mobilități) și marcați mobilitățile ramurilor combinate.

3. Pe baza obiectivelor problemei, și anume, determinarea transmisibilității forței sistemului (a) și transmisibilitatea mișcării sistemului (b), prin aplicarea teoremei lui Thevenin, determinați ce parte a circuitului (graf liniar) trebuie tăiat (Notă: variabila de interes a funcției de transmisibilitate particulară trebuie asociată cu partea din circuitul tăiat).

4. Pe baza obiectivelor problemei, stabiliți dacă este necesară echivalența Thevenin sau echivalența Norton (specific: utilizați echivalența Thevenin dacă trebuie determinată o variabilă through, deoarece aceasta oferă două elemente serie cu o variabilă through comună. Utilizați echivalența Norton dacă trebuie determinată o variabilă across, deoarece aceasta dă două elemente paralele cu o variabilă across comună).

5. Determinați sursele și mobilitățile echivalente ale circuitelor echivalente ale celor două sisteme.

6. Utilizarea celor două circuite echivalente determină funcțiile de transmisibilitate de interes.

7. Analizând, examinați dacă cele două funcții de mobilitate obținute în acest mod sunt echivalente.

Notă: neglijați efectele gravitației (de exemplu, presupunem că sistemele sunt orizontale, susținute pe role fără frecare).

Bonus: extindeți-vă rezultatele la un sistem cu n-grade-de-libertate (adică unul cu n elemente de masă), structurat ca în figura P3.43a și b.

3.44 S-a constatat că răspunsul la treaptă unitate al unui sistem, cu condiții inițiale zero, este 1,5 (1 - e^-10t ). Care este ecuația diferențială de intrare-ieșire a sistemului? Ce este funcție de transfer?

3.45 Considerați sistemul (model) de prim-ordin

Să presupunem că a fost găsit răspunsul la treapta unitate al unui sistem de prim-ordin, CI-uri zero, a fi (să zicem, prin aproximarea curbei de date experimentale) ystep = 2,25(1 - e^-5,2t)

Determinați parametrii sistemului: constanta de timp τ și parametrul câștig k.

Notă: Acesta este un exemplu de identificare a modelului (modelare experimentală).

3.46 Un sistem în repaus este supus unei intrări treaptă unitate U(t). Răspunsul său este dat de

(a) Scrieți ecuația diferențială de intrare-ieșire pentru sistem.

(b) Care este funcția sa de transfer?

(c) Determinați frecvența naturală amortizată, frecvența naturală neamortizată și raportul de amortizare.

(d) Scrieți răspunsul sistemului la un impuls unitate și schițați-l.

3.47 Un sistem este dat de funcția de transfer

unde
u este intrarea
y este ieșirea
s este variabila Laplace
ζ, ωn sunt parametrii sistemului

(a) Scrieți ecuația diferențială de intrare-ieșire a sistemului.

Este cunoscut faptul că răspunsul acestui sistem la o intrare treaptă unitate cu condiții inițiale zero, y(0−) = 0 și y˙(0−) = 0 este dat de

(b) Determinați y(0+) și y˙(0+) pentru acest răspuns.

Acum luați în considerare sistemul dat de funcția de transfer

unde τ este un parametru suplimentar al sistemului. Parametrii rămași sunt aceeași ca cei dați pentru sistemul anterior.

(c) Scrieți ecuația diferențială de intrare-ieșire pentru acest sistem modificat.

(d) Fără a utiliza tabelele de transformate Laplace, ci folosind rezultatul dat pentru sistemul inițial, determinați răspunsul sistemului modificat la o intrare treaptă unitate cu condiții inițiale zero: y(0−) = 0 și y'(0−) = 0.

Răspunsul trebuie exprimat în termeni de parametri ai sistemului dat (ωn, ζ, τ).

(e) Determinați y(0+) și y' (0+) pentru acest răspuns. Comentați rezultatul dvs., dacă este diferit de valorile pentru y(0−) = 0 și y' (0−) = 0.

3.48 O „măcelărie de fier” este o mașină de tăiat capul, care este frecvent utilizată în industria de prelucrare a peștilor. Somon în valoare de milioane de dolari este irosit anual din cauza tăierii inexacte a capului folosind aceste mașini oarecum învechite. Principala cauză a risipei este „problema supraalimentării”. Aceasta apare atunci când un somon este poziționat inexact în raport cu lama tăietorului, astfel încât locația de tăiere este dincolo de claviculă și în corpul unui somon. S-a făcut un efort pentru corectarea acestei situații prin detectarea poziției claviculei și poziționarea automată în concordanță a lamei tăietoare.

În figura P3.48a este arătată o reprezentare schematică a unui sistem de poziționare electromecanic al unui tăietor de cap de somon.

FIGURA P3.48 (a) Un sistem de poziționare pentru o mașină automată de tăiat pește;
(b) circuitul de câmp al motorului DC cu rotor magnet permanent

Poziționarea tăietorului se realizează printr-un dispozitiv șurub conducător și piuliță, care este acționat de un motor DC fără perii. Căruciorul tăietorului este integrat cu piulița șurubului conducător și cu motorul AC care acționează lama tăietorului și are o masă totală m (kg). Căruciorul alunecă de-a lungul unei căi de ghidare lubrifiate și oferă o forță de amortizare vâscoasă echivalentă cu constanta de amortizare b (N/m/s). Momentul general de inerție al rotorului motorului și al șurubului conducător este J (N∙m²) în jurul axei de rotație. Motorul este acționat de un sistem de antrenare, care oferă o tensiune v la înfășurările de câmp ale statorului motorului. Rețineți că motorul are un rotor magnet permanent. Interacțiunea dintre circuitul de câmp și rotorul motorului este reprezentată de figura P3.48b.

Cuplul magnetic Tm generat de motor este dat de

Forța FL exercitată de șurubul conducător în direcția y a căruciorului tăietorului este dată de FL = (e/h)TL, în care

h = Mișcarea translatorie a piuliței/Mișcarea rotativă a șurubului conducător și e este eficiența mecanică a unității șurub conducător-piuliță.

Parametrii și variabilele rămase, așa cum este indicat în figura P3.48, ar trebui să fie auto-explicative.

(a) Scrieți ecuațiile necesare pentru a studia deplasarea y a tăietorului ca răspuns la o tensiune aplicată v la motor. Care este ordinul sistemului? Obțineți ecuația diferențială de intrare-ieșire pentru sistem și de la aceasta determinați ecuația caracteristică. Care sunt rădăcinile (poli sau valori proprii) ale ecuației caracteristice?

(b) Utilizând doar joncțiuni de însumare, blocuri de integrare și blocuri de câștig constant, trasați o diagramă bloc completă a sistemului, cu v ca intrare și y ca ieșire.

(c) Obțineți un model spațiu-stare pentru sistem, folosind v ca intrare și y ca ieșire.

(d) Presupunem că raportul L/R este foarte mic și poate fi neglijat. Obțineți o expresie pentru răspunsul y al sistemului la o intrare treaptă cu condiții inițiale zero. Arătați din această expresie că comportamentul sistemului este instabil în forma actuală (adică, fără control cu feedback).

3.49 Circuitul prezentat în figura P3.49 este format dintr-un inductor L, un condensator C și două rezistoare R și Ro. Intrarea este tensiunea sursă v (t), iar ieșirea este tensiunea vo pe rezistorul Ro.

FIGURA P3.49 Un circuit electric cu elemente R-L-C

(a) Explicați de ce curentul iL prin inductor și tensiunea vC pe condensator sunt variabile de stare adecvate pentru acest circuit.

(b) Utilizând iL și vC ca variabile de stare, obțineți un model complet spațiu-stare pentru sistem. Mai exact, exprimați ecuațiile de sistem sub forma vector-matrice:

în notația obișnuită, unde x este vectorul de stare, u este vectorul de intrare, iar y este vectorul de ieșire și determinați toate elementele celor patru matrici A, B, C, și D în raport de parametrii circuitului R, Ro, L și C.

(c) Sistemul pornește în stare de echilibru cu o tensiune a sursei de 1 V (pentru toți t < 0). Apoi, brusc, tensiunea sursei (adică intrarea) este crescută la 10 V (pentru toți t > 0), care corespunde unei intrări treaptă. Pentru R = Ro = 1 Ω, L = 1 H și C = 1 F, determinați valorile numerice ale condițiilor inițiale ale următoarelor variabile de sistem la atât t = 0– cât și t = 0+:

(i) Tensiunea vL pe inductor
(ii) Curentul iC prin condensator
(iii) Curentul i prin rezistorul R
(iv) Curentul iL
(v) Tensiune vC
(vi) Tensiunea de ieșire vo

Sugestie: o variabilă de stare nu își poate modifica valoarea instantaneu.

3.50 (a) Răspundeți „adevărat” sau „fals” la următoarele: Ordinul unui sistem este egal cu

(i) Numărul de stări dintr-un model spațiu-stare al sistemului.

(ii) Ordinul ecuației diferențiale de intrare-ieșire a sistemului.

(iii) Numărul de condiții inițiale necesare pentru a determina complet răspunsul în timp al sistemului.

(iv) Numărul de elemente independente de stocare a energiei într-un model de sistem cu parametri concentrați.

(v) Numărul de elemente independente de stocare a energiei și de elemente de disipație a energiei într-un model cu parametri concentrați al sistemului.

(b) O pompă de fluid are un rotor cu moment de inerție J și este sprijinită pe rulmenți fără fricțiune. Este acționată de un motor de putere la viteza ωm, care poate fi tratată ca sursă de viteză, printr-un arbore flexibil de rigiditate torsională K. Sarcina de fluid la care este supus rotorul de pompă poate fi aproximată printr-un cuplu de sarcină cω|ω|, unde ω este viteza rotorului de pompare. O diagramă schematică a sistemului este prezentată în figura P3.50a și un model cu parametri concentrați este prezentat în figura P3.50b.

FIGURA P3.50 (a) O pompă acționată cu un motor de putere;
(b) un model cu parametri concentrați

Rețineți că viteza motorului ωm este intrarea în sistem. Tratați viteza ω a rotorul de pompă ca ieșire a sistemului.

(i) Folosind cuplul τ în arborele de antrenare și viteza ω a pompei ca variabile de stat dezvoltați un model spațiu-stare complet (neliniar) al sistemului.

(ii) Care este ordinul sistemului?

(iii) În condiții de operare constante, cu intrare constantă ωm, (atunci când ratele de variație ale variabilelor de stare pot fi neglijate) determinați expresiile pentru viteza de operare ωo a pompei și cuplul de funcționare τo al arborelui de antrenare, în termenii cantităților date (de exemplu, ωm, K, J, c).

(iv) Obțineți expresii pentru frecvența naturală neamortizată și raportul de amortizare al sistemului liniarizat, în termenii de parametrii ωo, K, J, c.

3.51 Luați în considerare oscilatorul simplu:

Pentru cazul sub-amortizat (0 < ζ <1) determinați răspunsul la o intrare treaptă unitară, în condiții inițiale generale y(0) și y'(0), folosind tabele Laplace.

3.52 Luați în considerare oscilatorul simplu prezentat în figura P3.52,

cu parametrii m = 4 kg, k = 1,6 × 10³ N/m și cele două cazuri de amortizare:

1. b = 80 N/m/s
2. b = 320 N/m/s

Folosind MATLAB determinați răspunsul liber în fiecare caz pentru o excitație de condiție inițială.

FIGURA P3.52 Un oscilator simplu amortizat

FIGURA P3.53 Utilizarea Simulink pentru a obține răspunsul la treaptă al unui oscilator simplu:
(a) Modelul Simulink în ansamblu;
(b) Sub-model Simulink pentru fiecare caz de amortizare.

3.53 Luați în considerare următoarea ecuație de mișcare a sistemului cu un singur grad de libertate (oscilator simplu amortizat) prezentat în figura P3.52:

Cu o frecvență naturală neamortizată de ωn = 10 rad/s, răspunsurile la treaptă pot fi convenabil determinate folosind Simulink pentru următoarele cazuri de raport de amortizare ζ: 0, 0,3; 0,5; 1,0 și 2,0.

În particular, modelul de diagrama bloc pentru simulare poate fi format așa cum este arătat în figura P3.53a, unde fiecare caz de amortizare este simulat folosind sub-modelul din Fig. P3.53b. Obțineți răspunsul la treaptă pentru aceste cinci cazuri de amortizare.