prise de vue & mise en page internet : S. Dugowson
La notion de relation d’équivalence interne à une 2-catégorie est un concept produit il y a peu par E. Vitale. Soit C une 2-catégorie avec produits fibrés et produits binaires (au sens des bilimites) et soit X∈C. L’objectif est ici de construire un 2-adjoint à gauche au 2-foncteur d’oubli U:EqRel(X)→Rel(X) entre la 2-catégorie des relations d’équivalences internes sur Xet celle des relations internes sur ce même objet. Pour ce faire, on introduit les notions de morphismes internes et de 2-morphisme internes. On observe alors que le 2-foncteur U n’est pas localement une équivalence de groupoïdes. Une conséquence particulière de ce fait est que dans la 2-catégorie Grpd des groupoïdes, l’objet quotient n’est pas le coégalisateur de la relation, mais plutôt un groupoïde quotient de ce coégalisateur.
En général, la 2-co-unité n'est pas une équivalence, de sorte que l'objet quotient n'est pas le co-égalisateur.