C. Drugmand, Relations d’équivalence libres internes à une 2-catégorie et objets quotients associés.
prise de vue & mise en page internet : S. Dugowson
Résumé.
La notion de relation d’équivalence interne à une 2-catégorie est un concept produit il y a peu par E. Vitale. Soit C une 2-catégorie avec produits fibrés et produits binaires (au sens des bilimites) et soit X∈C. L’objectif est ici de construire un 2-adjoint à gauche au 2-foncteur d’oubli U:EqRel(X)→Rel(X) entre la 2-catégorie des relations d’équivalences internes sur Xet celle des relations internes sur ce même objet. Pour ce faire, on introduit les notions de morphismes internes et de 2-morphisme internes. On observe alors que le 2-foncteur U n’est pas localement une équivalence de groupoïdes. Une conséquence particulière de ce fait est que dans la 2-catégorie Grpd des groupoïdes, l’objet quotient n’est pas le coégalisateur de la relation, mais plutôt un groupoïde quotient de ce coégalisateur.
Motivation
Conoyau de la diagonale
Relation d'équivalence sur un groupoide.
Relation d'équivalence libre (engendrée par une relation)
Propriétés universelles de l'objet quotient.
Co-égalisateur et objet quotient
Différence avec le cas des ensembles
En général, la 2-co-unité n'est pas une équivalence, de sorte que l'objet quotient n'est pas le co-égalisateur.