Cuốn sách đầu tiên về Lý thuyết toán tử, Théorie des Opérations Linéaires, xuất bản ở Warsaw năm 1932, Stefan Banach đã giới thiệu nội dung của cuốn sách là nghiên cứu các hàm trong các không gian vô hạn chiều, đặc biệt là những không gian dạng B hay không gian Banach.
Cuốn sách được Banach miêu tả khá tốt, tuy nhiên, định nghĩa của nó có thể được hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau, tùy thuộc vào từng người. Tôi chú trọng đến tính chất xa hơn "toán từ", ở đó các toán từ được sử dụng như các ma trận. Và nghĩa này hoàn toàn phụ thuộc vào bạn.
Nếu bạn là một sinh viên kỹ thuật, các ma trận là những ký hiệu mà bạn thao tác để giải các hệ phương trình tuyến tính. Nếu bạn theo ngành kỹ thuật, bạn có thể thay vì sử dụng sách đại số toán tử của Heaviside, ở đó bạn được phép sử dụng tất cả các thao tác bất thường cho đạo hàm, để giải quyết các bài tập tuyến tính trong ứng dụng giải tích. Và sẽ có tới 90% bạn sẽ tìm ra đáp án đúng, như bao sinh viên kinh nghiệm khác . Điều này có thể làm thỏa mãn , nếu như chiếc cầu bạn xây không phải là nơi tôi lái xe qua.
Đối với sinh viên toán, về giải tích cơ bản, khi học về ma trận là các hàm số tuyến tính có mối quan hệ với các không gian vector hữu hạn chiều, và ngược lại. Như công việc của một nhà toán học , giải tích đủ để giải quyết các vấn đề như vô hạn, và sẽ đồng ý một cách vui vẻ với định nghĩa của Banach.
Với một sinh viên đại số, các ma trận trở thành các trò chơi giải trí, ở đó chúng có thể được công trừ, hay nhân, bất chấp các tính chất của giao hoán. Người làm việc trong đại số với cảm thấy thích thú với việc cộng trừ, và nhân, nhưng nhận ra rằng, những vần đế mà giải tích hưởng tới dường như bị giới hạn bởi các phép toán này .
Trong bài này, chúng ra sẽ cố gắng làm vui lòng mọi người, trừ những người trong ngành toán thực sự, bằng việc chúng ta giải những bài toán ứng dụng, chúng ta phân tích, chúng ta cộng trừ và nhân. Cuốn sách của Arveson mang nhiều chất đại số, tuy nhiên, các bài giảng sẽ chứa đựng cả 3 góc nhìn khác nhau .
Chúng ta bắt đầu với một thứ hoàn toàn khác, đó là lịch sử. Nó luốn là một điều hữu ích khi nhìn lại dòng lịch sử của các ngành toán học, đặc biệt theo tuần tự để hiểu được tại sao, các vấn đề hoàn toàn khác lại có mối liên hệ với nhau, và tại sao những mảng toán lại được sự chú ý và quan tâm đến vậy. Ngày nay, có rất nhiều tài nguyên toán học tốt giúp chúng ta tra cứu và biên khảo một cách dễ dàng, MacTutor History of Mathematic Archive là một ví dụ. Nếu Banach đã truy cập được internet, có lẽ ông ấy đã không bất cẩn khi rút đi ý tưởng đột phá trong bài giới thiếu và thay vào đó là đi theo một vấn đề, mà theo Jacques Hadamard thì nó có nguồn gốc từ Vito Volterra. Cuốn sách mà tôi cho rằng hoàn hảo và sâu sắc nhất đó chính là Cuốn lịch sử giải tích hàm của Jean Dieudonné, mà tôi đang làm tại liệu chính để dẫn dắt các bạn, hy vọng các bạn thu thập được điều thú vị ở đó.
Các khái niệm chúng ta sẽ đi đến bắt nguồn từ những vấn đề như : tuyến tính, không gian vô hạn chiều, ma trận, và phổ (phổ bao gồm các trị riêng, chúng ta sẽ học sau, cũng với các khái niệm liên quan). Các khái niệm này được áp dụng vào trong
Các ma trận và đại số trừ tượng
Mô hình khai sinh của lý thuyết toán tử xuất phát từ việc nghiên cứu các ma trận. Mắc dù từ " ma trận" chỉ được James Sylvester nhắc đến năm 1850, các phương pháp ma trận đã từng được sử dụng từ trên 2000 năm trước, cái mà chúng ta vẫn gọi như Phép tối giản Gauss, thực chất bắt nguồn từ cuốn sách 9 chương Toán nghệ thuẩt (Mathematical Art) của nhà Hàn, Trung Quốc. Ngảy cả trước đó, năm 300 trước Công nguyên, thì các dấu vết còn lưu lại của Babylon cũng đã chứng tổ họ đã dùng đến các phương trình tuyến tính. Cũng giống như vậy, mắc dầu Carl Friedrich Gauss đã đưa ra khái niệm " định thức " ở thế kỷ thứ 19, tuy nhiên, định thức đã từng được điềm báo hàng thế kỷ trước đó, và được đồng thời Takakazu Seki Kowa ở Nhật Bản và Gottfried Leibniz ở Châu Âu sử dụng năm 1683.
Trị riêng và chéo hóa được khám phá ra năm 1926 bởi Augustin Louis Cauchy trong quá trình ông tìm công thức đơn giản hơn cho các hàm bậc 2. Cauchy chứng minh định lý phổ cho các ma trận tự liên hợp, ví dụ như mỗi ma trận đối xứng thực đều chéo hóa. Định lý phổ được tổng quát hóa bởi John von Neumann là kết quả quan trọng nhất trong lý thuyết phổ, và Cauchy được biêt đến như là người đầu tiên hệ thống hóa các định thức.
Những gì chúng ta được học ở trường về đại số tuyến tính , thường mang nặng các bước tính toán . Thực chất, các nhà toán học ngày nay có cái nhìn trực giác về cấn đề cũng với cấu trúc hơn là việc tìm hiểu các cấu trúc đó, những ý tưởng này đã chưa được biết đến mãi tận giữa thế kỷ thứ 19 và chỉ được phát triển và nhân rộng ra từ thế kỷ thứ 20. Có thể cho rằng, việc khám phá ra Quaternion của William Rowan Hamilton năm 1843 và sự ra đời của Đại số mở rộng của Hermann Grassmann một năm sau đó đã đánh dấu sự khai sinh của Đại số trừ tượng. Grassmann cũng là người đã giới thiệu về tích vô hướng. Cauchy và Jean Claude de Saint-Venant cũng là người đóng góp cho lịch sử đại số trừ tượng. Tuy nhiên, 2 sinh viên này đã phát triển đại số trừu tượng để mô hình hóa những vấn đề khác, không được nhắc đến. Đối với Hamilton, quaternion mang đến một cách diễn giải đại số tốt hơn về không gian và thời gian, trong khi, đối với Grassmann, nó mang nhiều ý nghĩa hình học.
Năm 1875 Arthur Cayley giới thiệu ý tưởng về đại số của các ma trận, và năm 1858 ông đã chỉ ra rằng, trong ngôn ngữ hiện đại, các quaternion có thể được " biểu diễn" bằng các ma trận. Mục đích của việc tìm các đối tượng thực của cấu trúc trừu tượng vẫn được tiếp tục cho tới nhay nay, trở thành một nét nổi bật của đại số trừ tượng, và chúng ta sẽ tiếp tục quan tâm đến vấn đề này trên lớp (diễn đàn) để hiểu được đại số toán tử trừ tượng có thể được biểu diễn tượng tự .
Năm 1987, Camille Jordan công bố dạng giải tích tiêu chuẩn của các ma trận, và đây là dạng đầu tiên để phân ly (decomposition) các toán tử compact trong không gian vô hạn chiều.
Một loạt các tiên đề cho các không gian tuyến tính đã được Giuseppe Peano giới thiệu trong cuốn sách của ông năm 1888, có tiêu đề là Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva. Cũng từ cuốn sách này , bạn sẽ tìm thấy một định lý ở đó nói rằng, mọi toán tử xác định trên một không gian vector hữu hạn chiều là một ma trận. Peano định nghĩa tổng và tích của các toán tử toán tính một cách ngắn gọn, và cũng từ đây, lý thuyết toán tử bắt đầu hình thành song song với sự phát triển của đại số và kết hợp với các bước phát triển trong giải tích.
Toán từ trong thời kỳ đầu của Giải tích
Leibniz là người đầu tiên nghĩ đến những tính chất đại số của các toán tử trong phương pháp tính, ví dụ như bằng việc xem xét các đạo hàm bậc cao giống như các toán tử liên tục, chúng ta có thể viết chúng như Da f(x). Theo đó, ông cố gắng tìm hiểu các trường hợp ở đó nó nhận giá trị âm hoặc là vô tỉ.
Ngày nay, nhiều ngành của giải tích không thể tách rời với lý thuyết toán tử, đáng chú ý phải kể đến variational calculus, transform theory, và differential equations.
Các ngành này đều phát triển sau lý thuyết toán tử tới hàng thế kỷ, vì thế, không phải nhạc nhiên khi nhiều vấn đề của lý thuyết toán tử được giới thiệu trong các ngành này. Phương trình đạo hàm và phương pháp tính nhiều biến được phát triển nhờ sự đống góp lớn của Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, và gia đình Bernoulli. Ví dụ, ngày nay chúng ta nhận thấy rằng, các kỹ thuật tính toán biến đầu tiền của một hàm là một dạng của đạo hàm trong một không gian của các hàm, và đây chính là một toán tử tuyến tính. Trong khi, những người sáng tạo trước đó của phương pháp tính nhiều biến không cho phép chúng như là các toán từ như quan điểm trừ tượng .
Cùng với sự tiếp nối của Pierre - Simon Laplace, Joseph Fourier và một số nhà toán học khác, mở ra những hướng nghiên cứu nổi trội về các dạng toán tử trong các không gian của các hàm. Các toán tử nguyên cũng đã được đựa ra bởi nhà toán học người Anh George Green.
Fourier là một nhà khoa học có tiếng (một nhà cách mạng, một kỹ sư xây dựng, một nhà Ai cập cổ và cũng là một nhà chính trị), người đáng lẽ phải được biến đến nhiều hơn. Ông có đóng góp trong nhiều vấn đề cách tân, bao gồm:
- Khai triển Fourier, nay được xem là một trong những ví dụ quan trọng một của một toán tử đơn vị trong không gian Hilbert.
- Đạo hàm và các nghiệm bậc 1 của phương trình nhiệt và phương trình khuếch tán.
- Người sáng tạo ra ký hiệu hiện đại cho tích phân xác định.
- Hệ thống hóa sự khai triển của các hàm và giải tích của các hệ phương trình vô hạn.
Mối liên hệ đáng chú ý đầu tiên của các trị riêng với các phương trình đạo hàm được nhắc đến trong lý thuyết phát triển bởi Charles François Sturm năm 1836 và Joseph Liouville năm 1838. Đây là một bước liên hệ rất có ý nghĩa bởi vì không giống với trường hợp của Cauchy, không gian cơ sở là vô hạn chiều, ở đó cho phép các vấn đề không thể phát triển được trong trường hợp hữu hạn của đại số tuyến tính. Ví dụ, các toán tử vô hạn chiều có thể có phổ liên tục, và nó được sáng tỏ khi George Hill giới thiệu lý thuyết về các phương trình chu kỳ Sturm-Liouville, khi ông nghiên cứu sự ổn định của quỹ đạo mặt trăng. Trong bước phân tích của ông, Hill đã giới thiệu các định thức vô hạn.
Lý thuyết Sturm - Liouville bắt đầu với cái mà chúng ta ngày nay gọi là lý thuyết phổ của các toán tử đạo hàm tầm thường. Các nhà toán hoc cuối thế kỷ thứ 19 đã quan tâm đến các trị riêng của các phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là các toán tử Laplace. Bài toán Dirichlet, mang tên nhà toán học Gustav Lejeune Dirichlet, là tìm môt nghiệm cho phương trình Laplace với các điều điện giới hạn rõ ràng.
Sự tinh tế của bài toán dẫn các nhà toán học có một cái nhìn sâu sắc và chặt chẽ hơn về sự hội tụ của các dãy và các hàm, và bản chất của cái mà chúng ta ngày nay gọi là các toán tử đạo hàm riêng. Ngày nay, chúng ta nhận ra nó như là một câu hỏi trong topo, ở đó chúng ta coi các hàm như là các điểm trong một tập hợp gọi là các không gian hàm, nhưng mãi đến nửa sau của thế kể thứ 19, khái niệm này vẫn chưa xuất hiện. Năm 1862, Grassmnn và Salvatore Pincherle là 2 người đầu tiên ký hiệu các hàm như các đại lượng ngắn gọi f, mà không phải là f(x), như các quan hệ giữa biên và miền giá trị. Ý tưởng hoàn chỉnh của một không gian hàm được giới thiệu ở thế kỷ thứ 20, thực tế, đây là trọng tâm của giải tích hàm ở thế kỷ này, và nó chịu ảnh hưởng bởi quá trình tìm lời giải cho bài toán Dirichlet, chuỗi khai triển và chuỗi Fourier, cùng với công trình của Vito Volterra và Ivar Fredholm trong phương trình nguyên.
Lịch sử toán học thế kỷ thứ 19 còn phải nhắc đến sự đóng góp của Oliver Heaviside. Heaviside là một người ngoại đạo tài năng, mặc dầu không được đào tạo một cách hệ thống, nhưng ông lại có dấu ấn trong lý thuyết điện và từ trong vật lý, và trong những năm 1880 và 1887, ông đã hệ thống hóa phương pháp tính và đưa ra ký hiệu mà ngày nay chúng ta sử dụng rộng rãi, d/dx. Mắc dù ông đã phát triển các hưởng giải phương trình đạo hàm hiệu quả, song ông đã không có mối quan hệ tốt với cộng đồng toán học khi đó. Các phương pháp của ông khi đó có thể coi là đi trước cộng đồng, người đi tiên phong trong việc phát triển các toán tử đạo hàm giả. Phương pháp của Heaviside vẫn được các nhà kỹ thuật sử dụng nhiều, như là một hướng độc lập với toán học hiện đại, và nó là một cầu nối tốt giữa các ngành khoa học với nhau.
Lý thuyết toán tử ở nửa đầu thế kỷ thứ 20
Các chủ đề của lý thuyết toán tử và những vấn đề quan trọng bậc nhất như tập con, lý thuyết phổ được sự chú ý đặc biệt từ sau năm 1900. Sự kiện quan trọng phải kể đến đó là sự ra đời của lý thuyết các phương trình nguyên của Fredholm, được phát triển như là một hướng tiếp cận mới cho bài toán Dirichlet. Trong bài báo cáo đầu tiên của ông năm 1900 và bái báo có tính chất nền móng trên Acta Mathematica 1903 , Fredholm đã đưa ra một hướng giải tích hoàn chỉnh về một lớp phương trình nguyên quan trọng, được biết đến như là các phương trình Fredholm. Các kết quả tiếp theo phải kể đến đó là
- Định lý Fredholm ở đó mở rộng một kết quả không tầm thường trong đại số tuyến tính thành một lớp rộng các toán tử
- Các bước phân tích thận trọng về sự hội tụ của một chuỗi của các toán tử , bằng việc lấy xấp xỉ các phương trình của ông cùng với tổng Rienmann, và dẫn đến một giới hạn.
- Định nghĩa của định thức cho một lớp của các toán tử ( một bước cách tân so với định nghĩa của Hill)
- Lần đầu tiên sử dụng toán tử resolvent ( khái niệm này được Hilbert nhắc đến )
- Năm 1902, trong bài nghị biện của ông, Lebesgue đã định nghĩa dạng tích phân hiện đại và giới thiệu các không gian quan trọng nhất của các hàm, viết tắt là Lp
Cùng thời gian đó, Hilbert đặt nền móng cho lý thuyết phổ hiện đại trong một chuỗi các bài báo được truyền cảm hứng bởi kết quả của Fredholm. Từ "phổ" được Hilbert lấy từ bài báo năm 1897 của Wilhelm Wirtinger. Hilbert bắt đầu thích các kết quả của Fredholm cùng với ý tưởng về các phương trình nguyên, và ông nó rằng Friedholm có thể ra nhiều kết quả hơn nếu không gian của các hàm là L2, các hàm nguyên bình phương, và khi các toán tử nguyên là đối xứng . Đây chính là bước khám phá ra không gian Hilbert, cùng với nền móng của việc nghiên cứu các toán tử tự liên hợp. Năm 1906, Hilbert tách hướng giải tích của ông ra ngoài hướng phương trình nguyên và khám phá ra các phổ liên tục, cái đã được giới thiệu, tuy nhiên không được nhận ra trong công trình của Hill
Tư tưởng về một đại số của các toán tử được xuất hiện trong một chuỗi các bài báo được tập hợp lại thành một cuốn sách năm 1913 của Frigyes Riesz, ở đó Riesz nghiên cứu tính chất đại số của các toán tử biên trong không gian Hilbert L2. Riesz giới thiệu các ánh xạ trực giao, và các phổ nguyên, lần đầu tiên được xuất hiện trong công trình của ông. Năm 1916, Riesz sáng tạo ra lý thuyết mà ông gọi là các toán tử " liên tục hoàn toàn", nay được biến đến như là các toán tử compact. Do công trình của ông ban đầu được viết bằng tiếng Hungari, nên phải vài năm sau nó mới có bản dịch sang tiếng Đức. Định lý phổ của Riesz cho các toán tử compact là sự tóm tắt đồng thời mở rộng công trình của Fredholm.
Định nghĩa của định lý phổ tự liên hợp, tổng quát hơn là các norm, các toán tử được khám phá cùng lúc bởi Marshall Stone và John von Neumann năm 1929-1932. Mặc dầu định nghĩa của Stone được dùng nhiều trong các sách ngày nay, song các đóng góp của von Neumann mới có ý nghĩa hơn . Một trong những động lực của von Neumann chính là cơ học lượng tử, ở đó ông khám pha ra một dạng phát biểu mởi, khác biệt với 2 dạng mà Erwin Schrödinger và Werner Heisenberg đề xuất. Ở đó chứa đựng cái nhìn sâu sắc của Neumann, ông cho rằng, ngôn ngữ tự nhiên của cơ học lượng tử chính là các toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert. Quan điểm này đã thấm đượm trong các lý thuyết sau này của vật lý hiện đại. Von Neumann đã giới thiệu và khai triển nhiều khái niệm, nay là trọng tâm của lý thuyết toán tử như :
- Các miền của định nghĩa
- Mở rộng của các toán tử
- Một toán tử đóng
- Các toán tử liên hợp
- Các toán tử không biên
Và năm 1932, năm mà cuốn sách đầu tiên về lý thuyết toán tử do Stefan Banach viết đã được xuất bản, ông đã sử dụng một cách sâu sắc ngôn ngữ hình học trong cuốn sách này. Banach còn được biết đến với đóng góp trong
- Fixed - point theory
- Một cách hiểu mởi về bài toán đồ thị đóng, và
- Sự hội tụ yếu
Trong một chuỗi các bài báo năm 1935, viết với F.J. Murray, von Neumann viết một cách tỉ mỉ lý thuyết về các đại số toán tử, đã được giới thiệu bởi Riesz. Họ nhận ra rằng, tập hợp các toán tử ở đó giao hoán với một algebra là một công cụ quan trọng trong giải tích và phân loại, và nó sẽ có đóng góp quan trọng cho đại số thuần túy nói riêng hay đại số mở rộng nói chung.
Sau đó, năm 1941, trong một bài báo của Israil Gel'fand gửi Matematicheskii Sbornik, ông đã phát triển định lý phổ cho các cơ sở của các đại số norm hóa, đồng thời giới thiệu:
- Công thức bán kính phổ
- Đại số C* và đặc trưng của một đại số
Từ đó đến nay, lý thuyết phổ không ngừng phát triển, và mở rộng tầm ảnh hưởng không chỉ trong toán lý thuyết mà còn trong toán ứng dụng, cũng như trong Vật lý .
Bibliography
1. A.D. Alexandrov, A.N. Kolmogorov, and M.A. Lavrent'ev, eds., Mathematics. Its Content, Methods, and Meaning, in three volumes. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1963 (original publication by Akademiya Nauk, 1956).
2. Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, New York: Dover, 1993.
3. Jean Dieudonné, History of Functional Analysis, Amsterdam, New York, and Oxford: North-Holland, 1981
4. Felix Klein's Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, New York: Chelsea, 1967.
5. The MacTutor History of Mathematics Archive