Phương trình Pythagore
Phương trình Pythagore có dạng :
x2+y2=z2
Dễ thấy nếu (x0,y0,z0) là một nghiệm của phương trình thì với mọi số nguyên dương k bộ (kx0,ky0,kz0) cũng là một nghiệm. Ngược lại nếu (x0,y0,z0) là một nghiệm của phương trình trên và d=(x0,y0,z0) thì (x0d,y0d,z0d) cũng là một nghiệm và việc của chúng ta cần làm là xét bộ (x,y,z) thỏa mãn (x,y,z) = 1 .
Định lí :
Giả sử (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy với x chẵn . Khi đó luôn tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n thỏa mãn :
x=2mn,y=m2−n2,z=m2+n2
Ngược lại, nếu tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n sao cho :
thì (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy .Chứng Minh:
x=2mn,y=m2−n2z=m2+n2
Giả sử (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy với x chẵn , ta có :
x22=(z+y2)(z−y2)
Vì (z,y) = 1 nên (z+y2,z−y2)=1Do đó tồn tại 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n, sao cho :
z+y2=m2;z−y2=n2
Từ đó suy ra x=2mn,y=m2−n2,z=m2+n2Ngược lại , nếu tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n sao cho :
x=2mn;y=m2−n2;z=m2+n2 thì dễ dàng KT (x,y,z) là một bộ Pythagore. Cần chứng minh (x,y,z) là bộ Pythagore nguyên thủy .Đặt (y,z) = d vì y,z là số lẻ nên d lẻ.Mặt khác :
y+z=2m2⋮d;z−y=2n2⋮d
⇒m2⋮d;n2⋮d . Vì (m,n) =1 nên d = 1 tức là (y,z)= 1 . Từ đó suy ra (x,y) =1 và (x,z) = 1. Điều phải chứng minh