Phương pháp hoán vị vòng quanh

Phân tích thành nhân tử là một trong những kĩ năng cơ bản nhất của chương trình đại số bậc THCS. Kĩ năng này được sử dụng khi giải các bài toán : biến đổi đồng nhất các biểu thức toán học, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức và giải các bài toán cực trị ... Sách giáo khoa lớp 8 đã giới thiệu nhiều phương pháp phân tích thành nhân tử. Sau đây tôi xin nêu một phương pháp thường sử dụng, dựa vào việc kết hợp các phương pháp quen thuộc như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, hằng đẳng thức ...

Phương pháp này dựa vào một số nhận xét sau đây :

1/ Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, trong đó a, b, c có vai trò như nhau trong biểu thức đó. Nếu F(a, b, c) = 0 khi a = b thì F(a, b, c) sẽ chứa các nhân tử a - b, b - c và c - a.

Bài toán 1 : Phân tích thành nhân tử :

F(a, b, c) = a²(b - c) + b²(c - a) + c²(a - b).

Nhận xét : Khi a = b ta có :

F(a, b, c) = a²(a - c) + a²(c - a) = 0, do đó F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b.

Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b - c, c - a. Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba, do đó F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a).

Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có :

1 + 1 = k.1.1.(-2) => k = -1.

Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a).

Bài toán 2 : Phân tích thành nhân tử :

F(a, b, c) = a³(b - c) + b³(c - a) + c³(a - b).

Nhận xét : Tương tự như bài toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a - b, b - c, c - a. Nhưng ở đây F(a, b, c) là biểu thức bậc bốn, trong khi đó (a - b)(b - c)(c - a) bậc ba, vì vậy F(a, b, c) phải có một thừa số bậc nhất của a, b, c. Do vai trò a, b, c như nhau nên thừa số này có dạng k(a + b + c). Do đó :

F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)

Cho a = 0 ; b = 1 ; c = 2 => k = -1.

Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c).

2/ Trong một số bài toán, nếu F(a, b, c) là biểu thức đối xứng của a, b, c nhưng F(a, b, c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a = -b, F(a, b, c) có triệt tiêu không, nếu thỏa mãn thì F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, và từ đó chứa các nhân tử b + c, c + a.

Bài toán 3 : Chứng minh rằng :

Nếu : 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) thì

1/xⁿ + 1/yⁿ + 1/zⁿ = 1/(xⁿ + yⁿ + zⁿ)

với mọi số nguyên lẻ n.

Nhận xét :

Từ giả thiết 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) => :

(xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz = 0 (*)

Do đó ta thử phân tích biểu thức

F(x, y, z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz thành nhân tử.

Chú ý rằng khi x = - y thì F(x, y, z) = - y²z + y²z = 0 nên F(x, y, z) chứa nhân tử x + y. Lập luận tương tự như bài toán 1, ta có F(x, y, z) = (x + y)(y + z)(x + z).

Do đó (*) trở thành : (x + y)(y + z)(x + z) = 0

Tương đương với : x + y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0 .

Nếu x + y = 0 chẳng hạn thì x = - y và do n lẻ nên xⁿ = (-y)ⁿ = -yⁿ.

Vậy : 1/xⁿ + 1/yⁿ + 1/zⁿ = 1/(xⁿ + yⁿ + zⁿ)

Tương tự cho các trường hợp còn lại, ta có đpcm.

Có những khi ta phải linh hoạt hơn trong tình huống mà hai nguyên tắc trên không thỏa mãn :

Bài toán 4 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

F(x, y, z) = x³ + y³ + z³ - 3xyz.

Nhận xét : Ta thấy rằng khi x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ 0. Nhưng nếu thay x = -(y + z) thì F(x, y, z) = 0 nên F(x, y, z) có nhân tử x + y + z. Chia F(x, y, z) cho x + y + z, ta được thương x² + y² + z² - xy - yz - zx và dư là 0. Do đó :

F(x, y, z) = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx).

Ta có thể thêm bớt vào F(x, y, z) một lượng 3x²y + 3xy² để nhân được kết quả này.

Các bạn hãy dùng các phương pháp và kết quả nêu trên để giải các bài tập sau đây.

Bài toán 5 :

Tính tổng :

trong đó k = 1, 2, 3, 4.

Bài toán 6 : Chứng minh rằng (a - b)⁵ + (b - c)⁵ + (c - a)⁵ chia hết cho 5(a - b)(b - c)(c - a).

TS. Lê Quốc Hán

(ĐH Vinh)