Bên cạnh các cách giải phương trình truyền thống, chúng ta còn có rất nhiều cách giải độc đáo khác. Trong phần này chúng tôi xin giới thiệu một số phương pháp khác, đó là: biến thiên hằng số, sử dụng định lí Lagrange, định lí Rolle, phương pháp đánh giá và phương pháp hàm số.
Trong phương pháp này, ta đổi vai trò của ẩn cần tìm với hằng số: coi hằng số là ẩn và ẩn là hằng số.
Ví dụ
Giải phương trình
Lời giải. Đặt
Ta viết lại phương trình này thành
Bây giờ ta coi là một ẩn của phương trình, còn là số đã biết. Phương trình trở thành phương trình bậc hai đối với ẩn . Tính , ta có
Do đó
Suy ra .
Bài tập tương tự
Giải phương trình
Hướng dẫn. Đặt , viết lại phương trình ở dạng
Coi là ẩn, giải phương trình bậc hai theo ẩn , , tìm được
Định lí Lagrange: Giả sử là hàm thỏa mãn
i) liên tục trên ; ii) có đạo hàm trên .
Khi đó tồn tại sao cho . Định lí Rolle (hệ quả của định lí Lagrange): Giả sử là hàm thỏa mãn
i) liên tục trên ; ii) có đạo hàm trên ; iii) .
Khi đó tồn tại sao cho . Ví dụ
Giải phương trình
Lời giải. Viết lại phương trình dưới dạng
Giả sử phương trình có nghiệm là , khi đó
Xét hàm số , ta có . Khi đó và có đạo hàm liên tục trên , theo định lí Lagrange thì tồn tại , sao cho
Từ đó suy ra
Thử lại ta thấy các giá trị này đều thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là
.
Ví dụ
Giải phương trình
Lời giải. Điều kiện thì . Khi đó phương trình trở thành
Giả sử phương trình ẩn này có nghiệm là , tức là \ Xét hàm số . Khi đó ta có , có đạo hàm liên tục trên . Theo định lí Lagrange, tồn tại sao cho
Thử lại thấy và đều thoả mãn. Từ đó tìm được .
Bài tập tương tự
Bài tập.
Giải các phương trình
Hướng dẫn. a) Chuyển về dạng . Giải tương tự ví dụ trên. b) Chuyển về dạng . Giải tương tự.
Bài tập.
Cho
. Chứng minh rằng phương trình
luôn có nghiệm.
Hướng dẫn. Đặt
có đạo hàm liên tục trên và . Theo định lí Lagrange thì tồn tại ít nhất một số sao cho . Do đó là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài tập.
Cho
. Chứng minh rằng phương trình
luôn có nghiệm dương.
Hướng dẫn. Tương tự, đặt
xét .
Ví dụ
Giải phương trình
Lời giải. Phương trình tương đương với
Vì nên . Suy ra và phương trình trên tương đương với hệ Từ phương trình thứ hai, dễ dàng suy ra (thỏa mãn). Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ
Giải phương trình
Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với phương trình
Dễ thấy là nghiệm của phương trình. Nếu , do đó
Hay
, phương trình vô nghiệm. Tương tự, nếu thì phương trình cũng vô nghiệm. Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài tập tương tự
Bài tập.
Giải phương trình
Hướng dẫn. Điều kiện là nghiệm. Nếu Suy ra
Suy ra
thì
Suy ra
Suy ra , phương trình vô nghiệm. ĐS .
Bài tập.
Giải phương trình \
Hướng dẫn. Điều kiện là nghiệm. Nếu Suy ra phương trình vô nghiệm. Tương tự khi
. ĐS .
Bài tập.
Giải phương trình \
Hướng dẫn. Điều kiện thì
Do đó phương trình vô nghiệm. Tương tự, khi ĐS: Phương trình vô nghiệm.
PP: Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hảm số, đưa việc giải phương trình mũ, phương trình lôgarit về giải phương trình đại số (nhờ tính chất: Nếu đơn điệu và thì . Ví dụ
Giải phương trình
Lời giải. Điều kiện . Nhận thấy
Do đó phương trình tương đương với phương trình
Mặt khác là hàm số đồng biến trên , do đó từ
suy ra
Từ đó dễ dàng tìm được là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ
Giải phương trình
Lời giải. Phương trình tương đương với
Xét . Dễ thấy luôn đồng biến. Mặt khác
do đó
Từ đó dễ dàng tìm được là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài tập tương tự
Bài tập.
Giải phương trình
Hướng dẫn. Viết phương trình về dạng , hay
Xét hàm số luôn đồng biến. ĐS: Phương trình vô nghiệm.
Bài tập.
Giải phương trình
Hướng dẫn. Cộng thêm vào cả hai vế, viết phương trình về dạng
Xét hàm số .
Bài tập.
Giải phương trình
Hướng dẫn. Điều kiện
Xét hàm số .
Bài tập.
Giải phương trình
Hướng dẫn. Lôgarit cơ số hai vế, viết phương trình về dạng
Xét hàm số .
Bài tập.
Giải phương trình
. Hướng dẫn. Điều kiện . Biến đổi phương trình về \ . Đặt thì . Từ đó ta có hệ
Từ đó suy ra \ . Xét hàm số \ đồng biến. Suy ra . ĐS: .
Theo: mathblog.org