Chuyên đề phần nguyên

Học toán - Chuyên đề phần nguyên

A. ĐỊNH NGHĨA

Ta biết rằng, mọi số thực x đều có thể viết được dưới dạng

x=n+z

trong đó n là số nguyên và 0≤z≤1

Chẳng hạn:

7,9=7+0,9

−7,9=−8+0,1

Hơn nữa, cách viết như trên là duy nhất. Ta gọi số nguyên n là phần nguyên của x và kí hiệu là [x]; còn z được gọi là phần phân của x và kia hiệu là {x}.

Từ phân tích, ta rút ra định nghĩa

Định nghĩa: Phần nguyên của số thực x, kí hiệu là [x], là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Phần phân của số thực x được định nghĩa bởi {x}=x−[x].

Ngoài cách gọi thông thường là phần nguyên (intergal part) của x với kí hiệu là [x], một số tác giả nước ngoài còn gọi đó là floor function và kí hiệu là ⌊x⌋. Sở dĩ thế vì người ta nêu ro ceiling function - kí hiệu ⌈x⌉, như định nghĩa sau đây

⌈x⌉ là số nguyên nhỏ nhất vượt quá x

Dễ dàng thấy rằng

⌈x⌉={x=⌊x⌋;x∈Z ⌈x⌉+1;x∉Z

B. TÍNH CHẤT

1) x=[x]+{x}

2) x=[x]⇔x ∈Z

3) x={x} ⇔0≤x<1

4) x−1<[x]≤x

5) Nếu k nguyên thì

[x+k]=[x]+k;{x+k}={x}+k

Bạn hãy tập chứng minh những tính chất này đi!

Xin đưa thêm một số tính chất

6) [x+y]≥[x]+[y]

7) [x]≤x<[x]+1

8) Nếu x≥y thì [x]≥[y]

9) 0≤{x}<1

10) {x+y}≤{x}+{y}

Chứng minh tính chất 6

Viết x=[x]+{x},y=[y]+{y}

Khi đó

[x+y]=[([x]+[y])+({x}+{y})]=[x]+[y]+[{x}+{y}], (1)

Vì {x}≥0 và {y}≥0 nên [{x}+{y}]≥0.

Kết hợp với (1) ta suy ra[x+y]≥[x]+[y]

Chứng minh tính chất 8

Vì x≥y nên ∃α≥0 sao cho:

x=y+α$hay$x=[y]+({y}+α)

Suy ra

[x]=[y]+[({y}+α)] (2)

Vì α≥0 và {y}≥0 nên {y}+α≥0 và [({y}+α)]≥0.

Kết hợp với (2) ta có [x]≥[y].

Xin giới thiệu thêm một số tính chất khá là thú vị

1) Giả sử 0<α ∈R và n∈N. Lúc đó [αn] là số tất cả các số nguyên dương là bội của n nhưng không vượt quá α.

2) Giả sử 0<α∈R và n∈N. Lúc đó, [nα] là số tất cả các số nguyên dương là bội của α nhưng không vượt quá n.

3) Nếu a và b là hai số không âm, thì

[2a]+[2b]≥[a]+[b]+[a+b]

Một số bài tập

Bài 1. Tìm số tự nhiên k lớn nhất sao cho

(1994!)1995 ⋮ 1995k

Giải

Sử dụng định lý Lagrande về số mũ của cao nhất của một số nguyên tố chứa trong n!

Ta có 1995=3.5.7.19

Theo định lý Legendre thì số mũ cao nhất của 19 có trong (1994)! là:

⌊199419⌋+⌊1994(19)2⌋+...+⌊1994(19)k⌋+...=109

Như vậy (1994)!⋮(1995)109 và (1994)!/⋮(1995)n≥110

Suy ra để ((1994)!)1995⋮(1995)k thì k≤109∗1995=217455

Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn

[x2010]=[x2011]=[x2012]

Giải

Xét hệ phương trình: ⌊x2010⌋=⌊x2011⌋=⌊x2012⌋

Vì x∈N nên ta có thể đặt x=2010k+r,(0≤k∈N;0≤r≤2009

Thay vào hệ trên ta có:

⌊2010k+r2010⌋=⌊2011k+r−k2011⌋=⌊2012k+r−2k2012⌋⇔k=k+⌊r−k2011⌋=k+⌊r−2k2012⌋⇔⌊r−k2011⌋=⌊r−2k2012⌋=0

Suy ra: r−2k≥0⇒2k≤r≤2009⇒0≤k≤1004

Vậy có 1005 giá trị của k (từ 0 đến 1004). Tương ứng với mỗi giá trị k thì r nhận các giá trị từ 2k đến 2009, suy ra có 2009−2k+1=2010−2k giá trị của r tương ứng với mỗi giá trị của k

Như vậy số nghiệm tự nhiên của hệ trên là: ∑k=01004(2010−2k)=1011030

Bài 3: Giải phương trình:

⌊−x2+3x⌋=⌊x2+12⌋

Lời giải:

Đặt giá trị phần nguyên của 2 vế là m, ta có:

m=⌊x2+12⌋≥⌊12⌋=0⇒m≥0

Suy ra:

−x2+3x≥0⇒0≤x≤3

Mặt khác: Theo bất đẳng thức AM-GM thì x(3−x)≤(x+3−x2)2=94<3

Do đó: m∈{0,1,2}

Từ đây ta có 3 hệ bất phương trình tương ứng với 3 giá trị của m là:

$$(I)\;\;\;\begin{cases}0\le -x^2+3x

Nghiệm của (I) là $0\le x

Nghiệm của (II) là 2√2≤x<1

Nghiệm của (III) là 32−−√≤x<52−−√

(Đề nghị bạn đọc tự giải và kiểm tra)

Nghiệm của phương trình đã cho là hợp của 3 khoảng trên x∈[0,3−5√2)∪[2√2,1)∪[32−−√,52−−√)

Bài 4: (Rất đơn giản)

Giải phương trình: ⌊x⌋2−⌊x⌋−2=0

Giải

Ta có: ⌊x⌋2−⌊x⌋−2=(⌊x⌋+1)(⌊x⌋−2)=0

Từ đó suy ra:

hoặc ⌊x⌋=−1⇔−1≤x<0

hoặc ⌊x⌋=2⇔2≤x<3

Bài tập tự luyện

Cho A=4n2+n−−−−−−√,n∈N. Chứng minh rằng: {A}≤14

Bt1.6

(Romania - 2003)

Chứng minh rằng: ⌊5x⌋+⌊5y⌋≥⌊3x+y⌋+⌊x+3y⌋+⌊x⌋+⌊y⌋Từ kết quả đó chứng minh (5m)!(5n)! chia hết cho m!n!(3m+n)!(3n+m)!

Bt1.7

(USAMO-1975)

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n! tận cùng bằng 290 chữ số 0

Bt1.8

(HMMT-2003)

Tính tổng: S=∑k=02009(⌊3k+20103k+1⌋+⌊2010−3k3k+1⌋)

Bt1.10

Chứng minh rằng: ∑k=0+∞⌊x+2k2k+1⌋=⌊x⌋

Bt1.11

Tính tổng Sn=∑k=1n⌊k√+12⌋

Bt2.4

Tính tổng Sn=∑k=1n⌊2k√⌋

Bt2.5

Cho dãy số{Un}∞1:{1,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,...}

Bt2.6

Được xác định bởi quy luật: 1 số 1; 3 số 2; 5 số 3;...;2k−1 số k;...Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.

Tính: S=∑k=1n⌊k2−3k+25⌋

Bt2.11

Tính S=∑k=1n−1{kmn}, với m,n∈N∗;n≥2

Bt2.12

(JMO-1995)

Cho λ là một số vô tỷ dương, n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng:

Bt2.13

∑k=1n⌊kλ⌋+∑k=1⌊nλ⌋⌊kλ⌋=n⌊nλ⌋

Tính S=∑k=1n(n+1)2⌊8k+1−−−−−√−12⌋

Bt2.14

Cho m,n là các số nguyên dương.Tính S=∑k=1n⌊mk⌋

Bt2.18

Cho p là số nguyên tố lẻ, q là số nguyên không chia hết cho p. Chứng minh rằng:∑k=1p−1⌊(−1)kk2qp⌋=(p−1)(q−1)2

Bt2.19

Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng:∑k=1p−1kp−kp≡p+12(modp)

Bt2.20

Cho p và q là 2 số lẻ,Tính giá trị biểu thức:

Bt2.21

A=∑k=1p−12⌊kqp⌋+∑k=1q−12⌊kpq⌋

Cho số nguyên n≥2. Tính:S=∑m=1⌊n2⌋∑k=1n+1−2m⌊n−mk+m−1⌋

Bt2.22