Bất đẳng thức bài 1, bat dang thuc
a) Cho x,y,x >0 ; x+y+z=1
CM : 2x2+xy+2y2−−−−−−−−−−−−√+2y2+yz+2z2−−−−−−−−−−−−√+2x2+xz+2z2−−−−−−−−−−−−√ ≥5√
b) Cho x,y,z ≥ 0; x+y+z=1.
CMR : 4(1-a)(1-b)(1-c)≤ a+b+2c
Bổ đề: Với mọi a;b>0 ta luôn có:
2a2+ab+2b2−−−−−−−−−−−−√≥5√(a+b)2Chứng minh:
BDT⟺2a2+ab+2b2≥5(a+b)24⟺(a−b)2≥0BDT này luôn đúng với mọi a;b. Dấu "=" xảy ra khi a=b
Áp dụng bổ đề trên ta được:
∑2x2+xy+2y2−−−−−−−−−−−−√≥∑5√(x+y)2⟺∑2x2+xy+2y2−−−−−−−−−−−−√≥5√2.2∑x=5√Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=13.