Tổng hợp 1 số kiến thức bổ ích và 1 số dạng bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số giúp các bạn củng cố kiến thức và khả năng giải toán của mình
A. Kiến thức lý thuyết
1. Các khái niệm
Định nghĩa 1. Cho hàm số
xác định trên một khoảng vô hạn (là , hoặc ). Đường thẳng được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
Định nghĩa 2. Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn 2. Chú ý
a) Các hàm số trong chương trình phổ thông đều liên tục trên TXĐ nên
TXĐ của hàm số thì . Do đó các điểm trong Định nghĩa 2 là các điểm làm cho hàm số không xác định, chẳng hạn với hàm số thì . b) Cần ôn lại kiến thức về giới hạn hàm số. Trong việc tìm TCN và TCĐ, ta thường gặp các giới hạn dạng vô định và dạng , ở đó là một hằng số. Đối với dạng vô định , ta chỉ cần chia cả tử và mẫu cho với số mũ cao nhất. Còn đối với dạng , cần xem dấu của và mẫu số tiến tới 0 nhưng luôn âm hay luôn dương để kết quả là hay .
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a)
b) c) d)
Lời giải
a)
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng (vì tử số tiến tới +2, mẫu số tiến tiến 0 nhưng luôn âm) (vì tử số tiến tới +2, mẫu số tiến tiến 0 nhưng luôn dương) Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
b) Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng (vì tử số tiến tới +8, mẫu số tiến tiến 0 nhưng luôn dương) (vì tử số tiến tới +8, mẫu số tiến tiến 0 nhưng luôn âm) Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
c) Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng (vì tử số tiến tới , mẫu số tiến tiến 0 nhưng luôn dương) (vì tử số tiến tới , mẫu số tiến tiến 0 nhưng luôn âm) Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng Hình minh họa
d) Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng (vì tử số tiến tới 7, mẫu số tiến tiến 0 nhưng luôn dương, chú -1 không có thay đổi gì!) (vì tử số tiến tới 7, mẫu số tiến tiến 0 nhưng luôn âm, chú -1 không có thay đổi gì!) Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng (trục tung).
Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
a)
b) c)
Lời giải
a)
là TCN (vì tử tiến tới -1, mẫu tiến tới 0 nhưng luôn âm do dấu tam thức bậc hai ) (vì tử tiến tới -1, mẫu tiến tới 0 nhưng luôn dương do dấu tam thức bậc hai ) Suy ra là TCĐ Tương tự, ta có là TCĐ. Hình minh họa
b) Suy ra không có TCN
Suy ra TCĐ:
c) TXĐ: là TCN (Chú ý đây là TCN một phía về bên phải). Suy ra TCĐ:
C. Bài tập đề nghị
Tìm TCN và TCĐ của đồ thị hàm số:
a)
trên b) c) d) e) f)
Nguồn: congthuc.edu.vn