Phương pháp gien

Nếu từ một nghiệm của phương trình đã cho ta có quy tắc để xây dựng ra một nghiệm mới thì quy tắc đó chính là gien. Phương pháp gien là phương pháp dựa vào gien để tìm tất cả các nghiệm của phương trình đã cho từ các nghiệm cơ sở. Để tìm các nghiệm cơ sở, ta áp dụng bước lùi, tức là quy tắc ngược của quy tắc tiến nói trên. Minh họa tốt nhất cho ý tưởng này là phương trình Pell và phương trình Markow. Ta bắt đầu bằng phương trình Pell.

Phương trình Pell cổ điển là phương trình dạng, D−−√vô tỷ nên nếu S0là tập hợp tất cả các nghiệm cơ sở. Ta có định lý quan trọng sau:

Định lý 3. Với mọi D, k ta có S0, bằng cách đi ngược xuống bằng công thức x’ = ax ồ Dby, y’ = ay ồ bx ta luôn có thể đi đến một nghiệm cơ sở của (4). Như vậy, với định lý trên, phương trình dạng Pell đã được giải quyết hòan tòan. Dưới đây chúng ta xem xét một ví dụ:

Ví dụ 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình x2−5y2=−4(1).

Lời giải: Bằng phép thử tuần tự, ta tìm được nghiệm cơ sở của phương trình x2−5y2=1là (9, 4). Theo phép chứng minh định lý 3, nghiệm cơ sở của (1) thỏa mãn

Dùng phép thử tuần tự, ta tìm được hai nghiệm cơ sở là (1, 1) và (11, 5). Từ hai nghiệm này, bằng công thức x’ = 9x + 20y, y’ = 4x + 9y

x2≤4.5.42,y2≤(4.5.42+4)/5=>x<17,y<9

ta tìm được tất cả các nghiệm của (1).

Với phép giải phương trình dạng Pell, trên thực tế ta đã có thể giải tất cả các phương trình Diophant bậc 2, tức là phương trình dạng

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0

Dựa vào lý thuyết đường cong bậc 2, ta có thể đưa phương trình trên về một trong các dạng chính sau

+ Dạng ellip: ax2+by2=c (a, b, c > 0) ồ có hữu hạn nghiệm, giải bằng phương pháp thử và sai

+ Dạng parabol: ax2+by+c=0- giải bằng đồng dư bậc 2

+ Dạng hypebol: ax2−by2=c- phương trình dạng Pell

Ngòai ra còn có các dạng suy biến như hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng song song, ellip ảo … Dưới đây, ta xét một ví dụ áp dụng:

Ví dụ 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m, n) thỏa mãn phương trình

\displaystyle{m(m+1) + n(n+1) = 3mn#}

Lời giải: Xét phương trình đã cho như phương trình bậc 2 theo m

Phương trình này có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi Rightarrow là số chính phương, tức là(3n−1)2−4n(n+1)=y2<=>y2−5(n−1)2=−4ta thu được phương trình dạng Pell mà ta đã biết cách giải.

m2−(3n−1)m+n(n+1)=0

[i](Trích bài giảng về phương trình Diophant)