Chuyển động cong

Bài viết này sẽ cho các bạn thấy cách tìm vận tốc và gia tốc của một vật thể chuyển động cong.

Ở bài Đạo hàm với tốc độ thay đổi tức thời, ta đã tìm ra cách xác định vận tốc theo phương trình chuyển động bằng cách.

v=dsdt

và gia tốc theo phương trình vận tốc (hay phương trình chuyển động), sử dụng:

a=dvdt=d2sdt2

Công thức trên chỉ thích hợp với chuyển động thẳng (như vận tốc và gia tốc trên đường thẳng), điều này chưa phù hợp với nhiều vấn đề trong cuộc sống. Vì vậy ta nghiên cứu đến khái niệm về chuyển động cong khi một vật thể di chuyển theo đường cong định trước.

Thông thường ta biểu diễn thành phần chuyển động là x và y là hàm số theo thời gian, gọi là dạng tham số.

Ví dụ 1: Cho phương trình chuyển động có tham số t, hãy vẽ đồ thị:

y(t)=costx(t)=sint

với t=0 đến 2π trong 0,5 quãng đường đầu.

Đầu tiên, ta cần thiết lập bảng giá trị bằng cách thay một số giá trị vào t

Trả lời

Ta xác định 13 điểm theo bảng giá trị, bắt đầu tại (0;1) như theo hình dưới đây (di chuyển theo chiều kim đồng hồ)

Ta thấy rằng ta đã tạo ra một hình tròn tâm tại (0;0) và bán kính 1 đơn vị.

Cần lưu ý rằng ẩn t không xuất hiện trong đồ thị này mà chỉ có ẩn x và y.

I. Các thành phần ngang và dọc của vận tốc.

Thành phần ngang của vận tốc được xác định bởi:

vx=dxdt

và thành phần dọc của vận tốc:

vy=dydt

Ta có thể tìm độ lớn của vận tốc tổng hợp v một khi ta đã biết các thành phần ngang và dọc của vận tốc bằng cách sử dụng:

v=(vx)2+(vy)2−−−−−−−−−−√

Phương vị θ mà vật thể di chuyển được xác định bởi:

tanθv=vyvx

Ví dụ 2: Cho phương trình x=5t3 và y=4t2 với thời gian t, tìm độ lớn và phương vị của vận tốc khi t=10

Trả lời

Khi t=10, ta được tọa độ điểm là (5000,400)

Đây là đồ thị của chuyển động.

Lưu ý:

- Trục tọa độ là x và y (không có kèm theo t)

- Các điểm "chuyển động" nhanh dần theo thời gian

Ta có:

x=5t3

Vì vậy

dxdt=15t2

Với t=10, vận tốc theo chiều trục x là:

dxdt=vx=1500m/s

Tương tự, y=4t2 nên vận tốc theo chiều trục y khi t=10 là:

dydt=vy=80m/s

Vậy độ lớn của vận tốc sẽ là:

v=(vx)2+(vy)2−−−−−−−−−−√=1502,1m/s

Bây giờ ta xác định phương vị của vận tốc (tính theo góc hợp với trục x theo chiều dương).

tanθv=vyvx=0,053

Vậy θv=0,053 radian =3,05o[/spoiler]

Ví dụ 3: Cho

x=20t2t+1

Và

y=0,1(t2+t)

theo thời gian t. Xác định độ lớn và phương vị của vận tốc khi t=2, Vẽ đồ thị đường cong.

Trả lời

Khi t=2 ta được tọa độ điểm là (8;0,6)

x=20t2t+1

Vậy

dxdt=20(2t+1)2

Với t=2:

dxdt=vx=0,8m/s

Tương tự, với y=0,1(t2+t) và t=2. ta được

dydt=vy=0,1(2t+1)=0,5m/s

Vậy:

v=(vx)2+(vy)2−−−−−−−−−−√=0,943m/s

Bây giờ ta xác định phương vị:

tanθv=vyvx=0,625Vậy:

θv=arctan(0,625)=0,558 radian.

II. Gia tốc vật thể khi chuyển động cong:

Biểu thức của gia tốc có cách xác định tương tự như cách xác định vận tốc.

Thành phần ngang của gia tốc:

ax=dvxdt

Thành phần dọc của gia tốc:

ay=dvydt

Độ lớn của gia tốc:

a=(ax)2+(a3y)−−−−−−−−−√

Phương vị của gia tốc:tanθa=ayaxVí dụ 4: Một chiếc xe hơi trên đường chạy thử nghiệm đến khúc cua thì chạy với biểu thức đường đi là x=20+0,2t3,y=20t−2t2 với x và y tính theo mét (m) và t là giây (s).

(i) Vẽ đồ thị đường cong với 0≤t≤8

(ii) Tính gia tốc của xe khi t=0,3 giây.

Trả lời

(i) Đồ thị:

(ii) Gia tốc:

Thành phần ngang:

x=20+0,2t3

vx=dxdt=0,6t2

ax=d2xdt2=1,2t

Với t=3,0,ax=3,6

Thành phần dọc:

y=20t−2t2

vy=dydt=20−4t

ay=d2ydt2=−4

Với t=3,ay=−4

Bây giờ:

a=(ax)2+(ay)2−−−−−−−−−−√=5,38

Và:θa=arctan(ayax)=312o (góc phần tư thứ 4)

Vậy gia tốc của xe có độ lớn là 5,38m/s2 và có phương vị 312o hợp với trục x theo chiều dương.

III. Vậy nếu như x và y không phải là phương trình theo tham số t thì giải quyết như thế nào?

Ví dụ 5: Một hạt di chuyển theo đường y=x2+4x+2 tính theo cm. Cho vận tốc ngang vx=3cm/s, xác định độ lớn và phương vị của vận tốc tại điểm (−1,−1)

Trả lời

Đây là cách giải quyết khác cho ví dụ. Lần này ta có y theo x và không có biểu thức nào chứa tham số t nữa.

Để có thể xác định độ lớn cũng như phương vị của vận tốc, ta cần biết:

vx=dxdt

Và

vy=dydt

Nhưng trong câu hỏi đã cho ta

vx=dxdt=3

Vậy ta cần tìm dydt

Để tìm được, ta tính vi phân phương trình đã cho theo t bằng cách sử dụng các kỹ thuật ta đã nghiên cứu trong bài vi phân hàm ẩn

y=x2+4x+2

dydx=2xdxdt+4dxdt

Vì dxdt=3 và ta muốn biết vận tốc tại x=−1 nên ta được:

dydx=vy=6cm/s

Vậy độ lớn vận tốc là:

v=(vx)2+(vy)2−−−−−−−−−−√=6,7082cm/s

Vậy vận tốc là 6,7082cm/s với phương vị 63,4o

Ví dụ 6:

Một quả tên lửa được bắn theo quỹ đạo (tính them km):

y=x−x390

Nếu vận tốc ngang được cho bởi V(x)=x, xác định độ lớn và phương vị của vận tốc khi quả tên lửa chạm đất (coi như địa hình bằng phẳng) với thời gian tính theo phút.

Trả lời

Hãy nhìn vào đồ thị chuyển động để hiểu rõ hơn vấn đề đặt ra

Ta thấy rằng quả tên lửa chạm đất ở gần vị trí x=9,5km. Tại điểm này vận tốc ngang có giá trị dương (quả tên lửa đi từ trái sang phải) và vận tốc dọc có giá trị âm (quả tên lửa đi xuống).

"V(x)=x" có nghĩa là khi x tăng, vận tốc ngang cũng tăng với cùng một giá trị (đương nhiên là khác đơn vị đo). Vậy với ví dụ này, với x=2km thì tốc độ ngang là 2km/ phút, và với x=7km, tốc độ ngang là 7km/ phút và cứ thế.

Để tính độ lớn vận tốc khi tên lửa chạm đất, ta cần xác định các thành phần ngang và dọc của vận tốc ở thời điểm đó.

(1) Vận tốc ngang: Ta cần giải phương trình sau để tìm chính xác điểm va chạm của tên lửa với mặt đất

x−x390=0

Rút nhân tử, ta được:

x(1−x290)=0

⇔⎡⎣⎢x=0x=−310−−√x=310−−√⎤⎦⎥

Ta chỉ cần giá trị x=310−−√≈9,4868 km (giá trị này phù hợp với đồ thị trên).Vậy tốc độ ngang khi tên lửa chạm mặt đất là 9,4868 km/ phút (vì V(x)=x)(2) Vận tốc dọc: Bây giờ ta cần dùng vi phân hàm ẩn theo t (chứ không phải theo x) để tìm vận tốc dọcy=x−x390

dydt=dxdt−130x2dxdt

Nhưng ta đã biết dxdt và x có ảnh hưởng với nhau, vậy ta chỉ cần thay giá trị x tìm được ở phần (1), kết quả sẽ ra số âm đúng như ta dự đoán ban đầu

dydt=−18,97366596

Bây giờ ta tính độ lớn vận tốc, bao gồm vận tốc ngang và vận tốc dọc

(dxdt)2+(dydt)2−−−−−−−−−−−−√=21,21320344

Vận tốc có độ lớn và phương vị. Bây giờ ta tính phương vị (tức góc của chuyển động):Θ=arctan(dydtdxdt)=−1,107148718

Tính theo độ thì điều này tương đương:−1,107148718×57,25578=−63,3907o

Ta có thể thấy đáp án trên hợp lý bằng cách phóng to một phần của đồ thị nơi tên lửa chạm đất.

Vậy ta kết luận vận tốc tên lửa khi chạm đất là 21,2 km/ phút với phương vị là 6,4o hợp với phương nằm ngang.

Nguồn: Diễn Đàn Toán Học