Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách áp dụng bất đẳng thức COSI
Bất đẳng thức Côsi
Dạng tổng quát: Cho
là những số không âm. Khi đó Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Trường hợp đặc biệt
Với
ta có: dấu bằng xảy ra Với ta có: dấu bằng xảy ra Một số ví dụ
Ví dụ 1.
Cho
Hướng dẫn. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương và ta được: (1) (2) Do hai vế của (1) và (2) đều là số dương, nên nhân từng vế của chúng ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra
và Chú ý. Bất đẳng thức trên tuy đơn giản, nhưng nó lại có ứng dụng rộng rãi. Người ta thường hay sử dụng hai dạng đặc biệt của nó, đó là:
a) Với n=2:
(3) b) Với
(4) Trong đó là những số dương Các bạn hãy xem các Ví dụ 2, Ví dụ 3 để biết thêm ứng dụng của nó.
Ví dụ 2.
Cho tam giác
, có các cạnh và là nửa chu vi. Chứng minh rằng: Hướng dẫn. Áp dụng (3) ta có:
và và Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên suy ra:
Dấu bằng xảy ra là tam giác đều.
Ví dụ 3.
Cho
. Chứng minh rằng Hướng dẫn. Áp dụng (3) ta có:
(6) Hoàn toàn tương tự ta có
(7) (8) Cộng từng vế các bất đẳng thức (6), (7), (8) ta được
Mặt khác theo giả thiết, từ ta có Vậy . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Nguồn congthuc.edu.vn