Khai Thác Một Bài Toán Dành Cho Học Sinh Giỏi Toán 6

Bài Toán: Chứng tỏ rằng:

a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3.

b) Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4.

Đây là một bài toán khó chỉ dành cho học sinh giỏi. Lời giải bài toán như sau:

a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a; a + 1; a + 2 (a là số tự nhiên)

Ta có a + a + 1 + a + 2 = 3a + 3 chia hết cho 3.

b) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a; a + 1; a + 2; a + 3 (a là số tự nhiên)

Ta có: a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = 4a + 6 không chia hết cho 4.

Như vậy cũng có lời giải bài toán sau:

Bài 1: Chứng tỏ rằng:

a) Tổng của năm số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 5.

b) Tổng của 6 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 6.

Và...và từ ý tưởng của lời giải bài toán giúp ta đề xuất và giải được bài toán tổng quát.

Bài 2: Chứng tỏ rằng:

a) Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho n, nếu n lẻ.

b) Tổng của số n số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho n, nếu n chẵn.

Lời giải: Gọi n số tự nhiên liên tiếp là a; a + 1;...; a + n - 1

Ta có: a + (a + 1) + (a + 2) +...+ (a + n - 1)

= na + n(n - 1) : 2

= n(a + (n - 1) : 2)

a) Nếu n lẻ thì n - 1 chẵn nên (n - 1) : 2 là số tự nhiên, do đó --> đpcm.

b) Nếu n chẵn thì n - 1 lẻ nên (n - 1) : 2 không là số tự nhiên, do đó --> đpcm