Phương pháp đặt ẩn phụ Đối với một số phương trình phức tạp hơn, chúng ta không thể sử dụng cách đưa về cùng một cơ số như trong bài viết trước. Khi đó, chúng ta có thể đặt ẩn phụ để được phương trình hoặc hệ phương trình đại số thông thường.

Chú ý: Khi đặt ẩn phụ, ta nên tìm điều kiện của ẩn phụ (tuỳ thuộc vào điều kiện của ẩn cần tìm).

Một số ví dụ

Ví dụ 1.

Giải các phương trình mũ sau

a)

; b) ; c) ; d) . Lời giải.

a) Phương trình đã cho tương đương với

Phương trình bậc hai trên có hai nghiệm dương .

Với thì .

Với thì . Phương trình có hai nghiệm . d) Phương trình đã cho tương đương với

Do hay . Từ đó suy ra Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Ví dụ 2

Giải các phương trình lôgarit sau

a)

; b) ; c) ; d) . Lời giải.

a) Điều kiện

thì điều kiện của là và phương trình trở thành

(thoả mãn). Với thì ; Với thì . Vậy phương trình đã cho có nghiệm . b) Điều kiện , phương trình trở thành Do đó nhận các giá trị là hoặc .

Với thì ;

Với thì ;

Với thì . Vậy phương trình đã cho có nghiệm . c) Điều kiện

Đặt thì phương trình trở thành

Với thì ;

Với thì . Phương trình đã cho có nghiệm là và . d) Điều kiện . Phương trình đã cho tương đương với Đặt thì phương trình trở thành Do nên . Suy ra (thoả mãn). Vậy là nghiệm của phương trình.

Nhận xét: Ta sẽ đặt ẩn phụ khi gặp những bài toán (tương đối phức tạp) có cơ số giống nhau hoặc có cơ số liên quan nhau bằng các lũy thừa. Không phải bài toán nào ta cũng đặt ẩn phụ được ngay. Chẳng hạn như khi giải phương trình

ta phải nhận thấy rằng , từ đó suy ra và nếu đặt thì . Tương tự như vậy đối với phương trình Muốn đặt được ẩn phụ, ta phải nhận thấy được mối liên hệ

Thậm chí, một số phương trình còn “khó nhìn” ra hơn! Chẳng hạn khi giải phương trình

ta cần nhận thấy và . Từ đó nếu đặt (Chú ý rằng . Đáp số: ). Bên cạnh đó, cũng có những bài toán mà chúng ta phải đặt nhiều hơn một ẩn phụ. Khi đó phương trình đã cho được đưa về một hệ phương trình đại số. Ví dụ sau đây sẽ minh chứng cho nhận định này.

Ví dụ 3.

Giải các phương trình

a)

; b) .

Lời giải.

a) Đặt

. Tiếp tục đặt và ta có hệ phương trình đối xứng

Trừ vế với vế ta được

. Khi đó ta có hệ phương trình Giải ra ta được \ Từ đó suy ra \ và tìm được nghiệm của phương trình.

Nhận xét.

Đối với một số phương trình ẩn

, sau khi đặt ẩn phụ thì trong phương trình vẫn còn ẩn (không biểu diễn hết được theo ẩn phụ), ta vẫn giải bình thường bằng cách coi lúc đó là hệ số tự do, và tính ẩn phụ theo rồi thay lại để tìm . Ví dụ sau minh họa điều này. Ví dụ 4.

Giải các phương trình

a)

; b) ; c) .

Lời giải

a) Đặt

Phương trình bậc hai (ẩn ) này thoả mãn điều kiện nên có một nghiệm và nghiệm còn lại là . Vì . Khi đó Đến đây ta có hai cách lập luận để tìm được .

Cách 1. Ta thấy là một nghiệm của vì . Nếu 5>-2x+7″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-742b994b462f38ae05c6ace1afd067f5_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />, do đó

vô nghiệm. Nếu thì , do đó cũng vô nghiệm. Vậy là nghiệm duy nhất của .

Cách 2. Ta thấy là hàm số luỹ thừa đồng biến và là hàm số nghịch biến. Do đó, đồ thị của chúng cắt nhau tại nhiều nhất là một điểm. Mặt khác nên đồ thị của chúng cắt nhau tại điểm duy nhất là . Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm . b) Đặt Phương trình này tương đương với

Tương tự câu a), ta cũng lập luận được là nghiệm duy nhất của . Vậy phương trình có hai nghiệm là . c) Điều kiện . Đặt thì phương trình trở thành Phương trình này tương đương với

Với thì ; Với thì . Nhận thấy vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến và là một nghiệm của phương trình . Do đó phương trình có nghiệm duy nhất . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm .

Bài tập đề nghị

Bài 1.

Giải các phương trình mũ

a) ; b) ; c) ; d) .

Hướng dẫn

a) Đặt

. ĐS . b) Chia hai vế cho . Đặt . ĐS . c) Đặt . ĐS . d) Đặt . ĐS .

Bài 2.

Giải các phương trình lôgarit sau

a)

; b) ; c) ; d) . Hướng dẫn.

a) Đặt

. ĐS . b) Đặt . ĐS . c) Viết . Đặt . ĐS . d) Đặt . ĐS .

Bài 3.

Giải các phương trình

a)

; b) ; c) ; d) .

Hướng dẫn

a) Từ

suy ra . Chia cả hai vế cho , đặt . b) Đặt . ĐS . c) Đặt . ĐS . d) Đặt . ĐS .

Bài 5.

Giải các phương trình

a)

; b) ; c) .

Hướng dẫn.

a) Đặt

hoặc đặt hai ẩn , khi đó ta có và đưa về hệ hai ẩn . ĐS . b) Điều kiện và viết Đưa phương trình về dạng . ĐS . c) Đặt , đưa phương trình về hệ đối xứng ẩn . ĐS .

Bài 6.

Giải các phương trình

a)

; b) ; c) ; d) .

Hướng dẫn.

Đặt ẩn phụ, tính ẩn phụ theo biến

. ĐS a) ; b) ; c) ; d) Đặt , ta được . ĐS .

Theo: mathblog.org