Д/з: виконайте завдання з Робочого аркуша уроку 23(10)

Тема 23 (10): Розв'язування оптимізаційних задач

Під час розв’язування широкого кола задач (зокрема в галузі економіки) потрібно знайти оптимальний розв’язок при виконанні деяких заданих умов. Як визначити оптимальні витрати на рекламу продукції? Як доставити продукцію до споживачів із мінімальними витратами на перевезення? 

Задачі пошуку оптимального розв’язання називають задачами оптимізації. 

Критерієм оптимальності є різні параметри: максимальна кількість продукції, максимальний прибуток підприємства, мінімальні витрати виробництва тощо. 

Важливо визначити основні принципи завдання цільових функцій. 

Цільова функція — залежність між критерієм оптимальності та параметрами, що підлягають оптимізації. 

Для цільової функції завжди й обов’язково вказується вид екстремуму: f(x) → max (f(x) → min). 

Значення цільової функції показує, наскільки оптимальним є знайдене розв’язання. Пошук оптимального розв’язання завжди проводиться з урахуванням певних обмежень: підприємство має обмежений набір ресурсів, транспортні засоби мають обмежену вантажопідйомність і швидкість руху, інвестор планує вкласти в розвиток підприємства кошти в межах певної суми. 

Обмеження — умови , що накладаються на параметри, від яких залежить значення цільової функції. 

Оптимізаційне моделювання — пошук таких значень параметрів, при яких цільова функція досягає максимального або мінімального значення за умови заданих обмежень. 

Алгоритм розв’язування задачі оптимізації:

Процедура пошуку розв’язування дає можливість знайти оптимальне значення формули, що міститься в цільовій клітинці. Цільовою є клітинка, для якої потрібно отримати задане значення. Щоб отримати заданий результат за формулою в цільовій клітинці, процедура змінює значення у клітинках, на які посилається формула. Щоб звузити множину значень, які використовуються для пошуку, застосовуються обмеження. 

У математичній моделі розв’язування оптимізаційних задач необхідно знайти значення параметрів, від яких залежить результат обчислення певної математичної функції (у MS Excel ця функція подається формулою). Шуканий результат може бути максимальним (наприклад, прибуток організації), мінімальним (витрати на сировину) або дорівнювати певному значенню (потужність електричної мережі). 

У таких випадках говорять про оптимізацію результату, задача належить до оптимізаційних задач, функція називається цільовою, а параметри — оптимізаційними. 

Щоб розв’язок і значення параметрів були реальними, модель обов’язково містить обмеження або на значення параметрів, або на допоміжні величини, які залежать від оптимізаційних параметрів. Обмеження на дані завжди задаються в умові задачі.

Для пошуку оптимального розв’язання також

Для оптимізаційних задач  зручно використовувати надбудову Пошук розв’язування - Розв’язувач. 

Засіб Розв’язувач дає змогу: 

• вказувати кілька клітинок для оптимізаційних параметрів 

• вказувати обмеження на їх значення 

• знаходити розв’язок: цільова функція описується в  клітинці формулою, у якій обов’язково є посилання на клітинки з оптимізаційними параметрами 

• визначати відповідно до умови один із варіантів роботи з цільовою функцією: знаходити її максимальне, мінімальне, конкретне значення 

• отримувати кілька розв’язків 

Щоб реалізувати модель у MS Excel із використанням надбудови Розв’язувач, необхідно дотримуватися певних правил: 

• у MS Excel обов’язково має бути заданий діапазон клітинок для значень оптимізаційних параметрів; 

• у таблиці має бути клітинка з формулою обчислення цільової функції; 

• таблиця обов’язково містить клітинки зі значеннями параметрів, щоб мати можливість посилатися на них. 

У стандартному наборі команд MS Excel команда запуску надбудова Розв’язувач відсутня, її необхідно встановити на стрічку ДАНІ. Для цього необхідно виконатитакі дії. 

1. Перейти в меню ФАЙЛ → Параметри. Вибрати Надбудови. 

2. У вікні, що відкрилося, обрати Пакет аналізу й активувати кнопку Перейти — відкриється вікно Надбудови. 

3. Поставити галочку біля Розв’язувач. Підтвердити дії кнопкою ОК. На стрічці ДАНІ з’явилася команда Розв’язувач. 

Робочий Аркуш уроку

оптимізаційні задачі-учням.xlsx

Задача 1. Планування випуску продукції

Підприємство виготовляє вироби трьох видів — А, В і С. Денний дохід із кожного виду одиниці виробу — 13, 18 і 22 у. о. Необхідно визначити, за якої кількості виробів підприємство отримає максимальний дохід з урахуванням того, що:

1) загальний обсяг виробництва — усього 300 одиниць виробів на день;

2) підприємству необхідно здійснити виробництво 50 одиниць виробу А для виконання замовлення; 40 одиниць виробу В для виконання планового замовлення; а оскільки збут виробів С доволі невеликий, то слід виготовляти не більше 40 одиниць цього виробу. 

Таблиця для моделі задачі про виробництво

Розв'язання 

2.6. Розв’язування рівнянь, систем рівнянь, оптимізаційних задач. Приклад 3.docx

Результат розрахунків із застосуванням Розв'язувача:

Задача 2. Планування випуску продукції

Для виготовлення виробів х, у, z використовують три види сировини: I, II, III. У таблиці задано норми витрат сировини на один виріб кожного виду, ціна одного виробу, а також кiлькiстi сировини кожного виду, яку можна використати. Скільки виробів кожного виду потрібно виготовити, щоб прибуток був максимальний?

Теоретичні відомості

 Задача про Планування випуску продукції є задачею лінійного програмування. Вона розв'язується за допомогою інструмента Розв'язувач (Пошук розв'язку, Solver).

Короткий запис умови задачі

 Математична модель задачі. Позначимо через х, у, z шукані кількості виробів трьох видів. Потрібно визначити х, у, z, для яких досягається максимум функції прибутку f = 9x + 10у + 16z за таких обмежень:

18x + 15y + 12z<= 360 

 6x + 4y + 8z <= 192

 5x + 3y + 3z <= 180 

 x, y, z >= 0;    x, y, z - цiлi.

 Розв'язування. Потрібно виконати такий алгоритм:

1) у клітинку D1 ввести формулу -9*x+10*y+16*2;

2) запустити програму Розв'язувач із вкладки Дані;

3) задати адресу цілої клітинки D1 і зазначити дію до сягнення максимуму функції (рис. 1); 

4) вказати що число-результат повинно бути отримане максимальне - оскількуи ми шукаємо максимальний прибуток 

5) задати клiтинки, де має міститися розв'язок: $A$2:$C$2

6-14) за допомогою кнопки Додати додати обмеження (рис. 2) у вигляді шести нерівностей:

x <= (360 -15*y - 12*z)/18

y<= (192-6*x - 8*2)/4

z <= (180  - 5*x - 3*y)/3

x >= 0;   y >= 0;    z >= 0

x - цiле; у - ціле; z - ціле; 

15) отримати розв'язок, натиснувши кнопку Виконати.

Відповідь (рис.3, у клітинках A1, B1, C1, D1) така: x=0, y=8, z=20, f=400.

Рис.1

Рис.2. Один з етапів 6-14

Рис.3. Результат