[Alg. Op.] Dualité de Gelfand et bases de Wallman, par Olivia Caramello (4 avril 2013)
Prise de vue et mise en page : Stéphane Dugowson
(NdW = note du webmaster)
Exposé donné dans le cadre du
séminaire d'Algèbres d'Opérateurs de Paris VII
Avertissement du webmaster : lorsqu'Olivia parle d'espace compact, c'est au sens de la terminologie en anglais, donc cela équivaut à ce que nous appelons "quasi-compact" en français, ce qui n'implique pas que l'espace soit séparé (=T2 = Hausdorff).
Introduction
Un point de vue toposique sur la représentation des espaces topologiques comme spectres maximaux de treillis distributifs ou d'anneaux commutatifs unitaires.
Plan prévu...
Notions sur les topos (Grothendieck)
Bases de Wallman
Treillis distributifs
"Dualité 1" : espaces compacts (donc T2) / algèbres d'Alexandrov
"Dualité 2" : espaces (quasi-)compacts T1 / (treillis infinitaires conjonctifs)
Notions sur les topos (Grothendieck)
Généraliser le topos des faisceaux sur un espace topologique.
Cribles sur un objet dans une (petite) catégorie.
Topologies de Grothendieck sur une petite catégorie.
Avantage des topos : leur pouvoir unifiant.
Des sites complètement différents peuvent engendrer le même topos.
Remarque d'Alain Connes sur l'analogie entre (1) le passage des espaces topologiques aux sites dans leurs relations avec les topos et (2) le passage des espaces commutatifs aux espaces non-commutatifs dans leurs relations aux C*-algèbres.
Remarque d'Anatole Khélif sur la bi-interprétabilité. Lien avec la Morita équivalence ?
2
Suite de la discussion sur "différences et unification" : groupoïdes sans Morita-équivalence manifeste au niveau ensembliste mais ayant mêmes C*-algèbres associées (A. Connes), diverses sortes de bi-interprétabilité (A. Khélif)
Topologie de Grothendieck induite sur une base d'un espace topologique
Bases.
Topologie canonique
Utilisation du lemme de comparaison de Grothendieck (qui est valable de façon beaucoup plus générale).
Cas où la topologie induite sur une base par la topologie canonique peut être caractérisée intrinsèquement.
Dans un tel cas, on peut passer fonctoriellement d'un ensemble ordonné (dans certains cas un treillis) à un espace topologique.
Exemple de passage "treillis distributifs -> espace topologique" : topologie cohérente.
Espaces spectraux.
Espaces de Stone.
Dualité de Stone.
Pour les anneaux commutatifs unitaires : réticulation. Topos de Zariski.
Remarque d'Alain Connes sur l'importance de la notion de topos. Points du topos de Zariski.
Bases de Wallman pour un espace topologique (ou : le rôle des points)
Espaces sobres. Filtres complètement premier.
Pour les espaces sobres (p. ex. Hausdorff), on peut retrouver le site à partir du topos.
Intérêt des bases de Wallman.
Spectre d'un treillis; idéaux premiers et idéaux maximaux d'une base de Wallman vue comme treillis.
Cas où l'espace topologique est (quasi-)compact.
Sh(Spec B) = Sh (B, J cohérent), dans lequel se plonge Sh(Max B)=Sh (B, "J max")...
...où la topologie de Grothendieck "J max" sur le treillis B satisfait une sorte de critère de compacité.
Maintenant, comment généraliser cette construction à tout treillis distributif (en se passant des points) ?
"Bases de Wallman" généralisées (en tant que treillis : "sans les points")
Treillis conjonctifs
Topologies de Grothendieck sous-canoniques
"Dualité 1", quand X est dans CHaus = cat. des espaces compacts (donc T2),
On prendra coz(X) (cozéro) pour base de Wallman
(et, dans la discussion : annonce anticipée de la "dualité 2", celle où X est T1 et (quasi-)compact... voir plus loin)
Dualité CHaus^op = CDLat = cat. des algèbres d'Alexandrov dénombrablement compactes.
"Dualité 2": cas où X est T1 et quasi-compact.
On prend le treillis de tous les ouverts comme base de Wallman
Dualité avec les treillis infinitaires conjonctifs (ou co-atomistiques).
Remarque d'Alain Connes sur l'introduction par Grothendieck du spectre primitif dans les schémas.
Références
Gelfand spectra and Wallman compactifications, Olivia Caramello (sur Arxiv)
Addendum : spectres de Gelfand et C*-algèbres.
Spectre maximal de la réticulation d'un anneau.
Composition de la "dualité 1" avec la dualité de Gelfand : intérêt pour les C*-algèbres (sans passer par l'espace topologique).
Questions ou commentaires
A. Connes : les topos ne seront vraiment convaincants qu'avec des exemples au niveau non commutatif.
Ultrafiltres "rapides" de Gabriel Mokobodzki (élaborés à partir de notions dues à Choquet, tels les ultrafiltres "absolus").
Bonus : discussion informelle suivant l'exposé, avec Alain Connes
(avec Olivia Caramello : Alain Connes, Anatole Khélif, Georges Skandalis, Andrzej Zuk)
Sociologie de la conviction (1)
Ne pas rester sur des espaces "pathologiques". Exemples possibles : fonctions analytiques; faisceaux cohérents, etc.
Un théorème magnifique de Gelfand
Sans le "coup de tonnerre" du quotient d'une algèbre de Banach par un idéal maximal, la théorie de Gelfand n'aurait pas eu grand intérêt [...] Grâce à ça, on trouve par exemple des caractères sur L1 qui s'annulent sur un idéal.
(NdW : il s'agit de la transformée de Fourier. Pour débuter, voir par exemple Gelfand Representation sur Wikipedia)
Relation entre topos et géométrie non commutative
La catégorie des groupes abéliens dans un topos --- i.e. la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur un site qui définit le topos --- est une catégorie abélienne. Or, toute catégorie abélienne est une sous-catégorie pleine de la catégorie des modules sur une algèbre non-commutative. Ainsi, à un topos, correspond une algèbre non commutative.
Sociologie de la conviction (2)
La piste Langlands
Sur les fondements. Remarque d'A. Khélif : niveaux de bi-interprétabilité.
Trouver un exemple de non bi-interprétabilité pour le même topos... ce qui n'est pas si évident que ça.
Logique du second ordre.
Et justement, pour Langlands, les fonctions automorphes, ce ne sont pas des objets du premier ordre.