De Gödel à Deligne : théorie des modèles et théorie des topos, par Sylvain Cabanacq (3 avril 2014)
(Page en travaux)
Résumé
Nous souhaiterions interroger les implications conceptuelles de l'équivalence entre le théorème de Deligne ("Tout topos cohérent a assez de points") et le théorème de complétude de Gödel. En effet, si l'on replace le premier résultat dans le contexte du projet grothendieckien d'une "géométrie sans point" d'une part, et si l'on garde à l'esprit d'autre part le rôle crucial du second, en tant qu'il rend possible l'articulation du langage (formel) et des objets, il semble nécessaire soit de reposer la question de la fonction exacte du langage symbolique dans la constitution ou la description des objets mathématiques, soit de se confronter au changement radical, quant au statut de ces objets, que constitue la théorie des faisceaux et des topos.
Sylvain Cabanacq
Introduction
Philosophie de la logique et ontologie
Husserl : preuve et ontologie
Tarski et Robinson (depuis 1950)
Relation entre langages formels et objets mathématiques.
Théorème de complétude.
Cavaillès sur la logique. Objet et acte.
Une équivalence formelle entre le théorème de Deligne (1964) et le théorème de complétude de Gödel.
Rapport entre langage et objets en contexte catégorique.
Questions fondationnelles et questions de représentations
Topos et modèles
Proposition : topos = modèles ?
Plan de l'exposé
Théorème de Gödel
Formules et théories géométriques
Le théorème de complétude de Gödel
Théorème de Deligne
Énoncé
Tout topos cohérent a assez de points (SGA4, VI, 9.0 )
Les topos
Appliquer en géométrie algébrique les méthodes de la topologie algébrique
Rappels : espaces topologiques, catégories et foncteur, prefaisceaux et faisceaux
Topos, topos cohérents. Grothendieck et Serre (1953)
Points d'un topos. Qu'est-ce qu'en avoir assez ?
[Un topos a suffisamment de points s'ils permettent de caractériser les isomorphismes du topos]
"La folle journée, de Grothendieck à Connes", par Pierre Cartier (1998)
Morphismes géométriques
D'un théorème à l'autre
De Deligne à Gödel
De Gödel à Deligne
Les points cruciaux
Catégories cohérentes (Joyal)
Makkai et Reyes : lien entre théories et sites (ou entre axiomes et recouvrements)
On connaît les liens entre logique des propositions et algèbre... avec les topos on passe à la logique du 1er ordre.
Relation entre modèles et fibres.
Questions
Références
Olivia Caramello
Sur ce site, voir les exposés d'Olivia Caramello, en particulier le
cours du 15 janvier 2013 : topos classifiant d'une théorie
ainsi que, dans son cours du 28 janvier 2013 sur la construction de Fraïssé,
"Les topos cohérents ont suffisamment de points"
"Deligne/Gödel, les deux arches d'un pont grothendieckien"