Le très, le presque et autres articulations logiques du langage,
par Jean Bénabou
(4 avril 2015)
Prise de vue, montage et mise en ligne : Stéphane Dugowson
Préambules
Regarder le monde comme un enfant.
Le langage, "dénominateur commun" des langues
Ce que Jean Bénabou appelle "langage" est universel et se manifeste, d'ailleurs plus ou moins bien, à travers les langues naturelles.
Une des fonctions majeures du langage est qu'il permet "l'argumentation", le "raisonnement", la "logique".
Traditionnellement la logique étudie les relations entre les connecteurs, en Français: "et", "ou", et "si ... alors" et les quantificateurs "quelque" et "tous", qui sont des "articulations" fondamentales du langage. Dans cet exposé je tacherai d'en dégager quelques autres notamment celles qui, en Français, s'expriment par "très", "presque", "beaucoup", et quelques autres si j'ai le temps.
Le "très", le "et caetera" et la notion d'orbite
Fonctionnement du "très"
Il porte sur des adjectifs, des adverbes et autres
Itération du "très" : insuffisance du modèle ensembliste.
Appel aux topos avec des entiers naturels non bien ordonnés ? C'est encore trop !
Appel aux topos sans objet des entiers naturels
Modélisation toposique du "et caetera" : la notion d'orbite
L'article de référence "Orbits and monoids in a topos" aurait pu s'appeler : quelques facettes du "et caetera"
"Et caetera" sans l'objet des entiers naturels
La notion d'orbite (d'un élément d'un objet muni d'un endomorphisme)
Rappel sur la définition de Lawvere de l'objet des entiers naturels dans un topos.
La récurrence, axiome le plus important de Peano
Proposition : toute orbite est un monoide commutatif.
Le fini, manifestation d'un "et caetera" généralisé
Il y a différents "etc."
Opérations d'ajout d'un élément.
Propriété des opérations d'ajout d'un élément.
On peut maintenant donner un sens au fait que le "très" a des orbites finies
Cycles et orbites finies
Éléments et orbites cycliques.
Théorème : toute orbite cyclique est finie.
Orbites contenant un cycle.
Théorème : une orbite est finie si et seulement si elle contient un cycle.
Pré-ordre associé à un endomorphisme. Intervalles.
Définition du pré-ordre sur les éléments d'un objet muni d'un endomorphisme.
Cas booléen
Intervalles finis et topos booléen.
Rappel : le topos des préfaisceaux sur C est booléen si C est un groupoide.
Morphismes et domination entre orbites
Pré-ordre des orbites.
Familles d'orbites indexées par un objet du topos.
L'orbite directrice
Orbite directrice L(X) de (X,t).
Définition
L(X) domine toutes les orbites de t.
Théorème : L(X) est un sous monoïde commutatif de X^X.
L(X) joue le rôle d'objet des entiers naturels, mais uniquement vis-à-vis de t
Bien entendu, L(X) ne vérifie pas en général les axiomes de Lawvere pour l'objet des entiers naturels.
Le "presque".
Le "presque" et le "très" sont adjoints.
Commentaire général sur l'intérêt de ce type de démarches
Intérêt mathématique
De même que la physique inspire des mathématiques, le langage peut également inspirer le langage