De Gödel à Deligne : théorie des modèles et théorie des topos, par Sylvain Cabanacq (3 avril 2014)

(Page en travaux)

Résumé

Nous souhaiterions interroger les implications conceptuelles de l'équivalence entre le théorème de Deligne ("Tout topos cohérent a assez de points") et le théorème de complétude de Gödel. En effet, si l'on replace le premier résultat dans le contexte du projet grothendieckien d'une "géométrie sans point" d'une part, et si l'on garde à l'esprit d'autre part le rôle crucial du second, en tant qu'il rend possible l'articulation du langage (formel) et des objets, il semble nécessaire soit de reposer la question de la fonction exacte du langage symbolique dans la constitution ou la description des objets mathématiques, soit de se confronter au changement radical, quant au statut de ces objets, que constitue la théorie des faisceaux et des topos.

Sylvain Cabanacq

[page de Sylvain Cabanacq]

Introduction

Philosophie de la logique et ontologie

Husserl : preuve et ontologie

Tarski et Robinson (depuis 1950)

Relation entre langages formels et objets mathématiques.

Théorème de complétude.

Cavaillès sur la logique. Objet et acte.

Une équivalence formelle entre le théorème de Deligne (1964) et le théorème de complétude de Gödel.

Rapport entre langage et objets en contexte catégorique.

Questions fondationnelles et questions de représentations

Topos et modèles

"Sheaves and concepts, a model theoretic interpretation of Grothendieck topoi", de G. E. Reyes (1977)

Proposition : topos = modèles ?

Plan de l'exposé

Théorème de Gödel

Formules et théories géométriques

Le théorème de complétude de Gödel

Théorème de Deligne

Énoncé

Tout topos cohérent a assez de points (SGA4, VI, 9.0 )

Les topos

Appliquer en géométrie algébrique les méthodes de la topologie algébrique

Rappels : espaces topologiques, catégories et foncteur, prefaisceaux et faisceaux

Topos, topos cohérents. Grothendieck et Serre (1953)

Points d'un topos. Qu'est-ce qu'en avoir assez ?

[Un topos a suffisamment de points s'ils permettent de caractériser les isomorphismes du topos]

"La folle journée, de Grothendieck à Connes", par Pierre Cartier (1998)

Morphismes géométriques

D'un théorème à l'autre

De Deligne à Gödel