L'esperimento

Introduzione alle macchine termiche cicliche

Una macchina termica è un dispositivo in grado di trasformare calore in lavoro o viceversa.  Ad esempio, sfruttando la dilatazione termica di un materiale, possiamo spostare un peso e compiere un lavoro pari a forza per spostamento.  Se vogliamo che questa produzione di lavoro non si arresti, dobbiamo far lavorare la macchina termica in un ciclo:  dopo aver prodotto il lavoro, la macchina deve tornare al punto di partenza in modo da poter ricominciare, in un ciclo senza fine, o almeno finché viene fornito calore dall'esterno.  Quando parleremo di macchine termiche, ci riferiremo sempre a macchine termiche cicliche.

Particolarmente illuminante dal punto di vista teorico è lo studio delle macchine termiche a gas perfetto, perché conosciamo le leggi che regolano pressione volume, temperatura ed energia interna e quindi è particolarmente facile calcolare gli scambi di energia.

Nell'esperimento che andiamo a fare, dell'aria è contenuta in un cilindro chiuso da un pistone collegato ad una camera per lo scambio di calore.  Quest'ultima può essere immersa in un bagno termico freddo o in un bagno termico caldo.

Usando un gas perfetto, possiamo calcolare tutte le energie scambiate (che sono tra loro legate dal primo principio della termodinamica):

• Il lavoro in una trasformazione isobara si calcola immediatamente come prodotto tra pressione e variazione di volume.  Abbiamo imparato ad associare il lavoro all'area del rettangolo sotteso alla trasformazione nel piano pV (piano di Clapeyron).

• Per un gas perfetto, l'energia interna dipende dalla sola temperatura (U=C_V T), la quale è proporzionale al prodotto pV.

• Calcolati il lavoro e la variazione di energia interna, attraverso il primo principio, possiamo risalire alla quantità di calore scambiata.  

La misura diretta della quantità di calore scambiata (detta calorimetria) è possibile attraverso le variazioni di temperatura del bagno termico, ma per l'esperimento che andiamo a fare vogliamo tenere le temperature dei bagni termici il più possibile costanti (useremo quindi grandi masse di acqua); per questo motivo, e a causa della poca omogeneità della temperatura nei diversi punti del bagno termico, non siamo in grado di fare misure di calorimetria e calcoleremo le quantità di calore scambiate attraverso il primo principio.

RENDIMENTO

Le macchine termiche sono state sviluppate per sostituire il lavoro umano o animale nelle fabbriche.  Da subito si è posto il problema di stabilire l'efficienza di queste macchine.

Una delle nozioni più comuni per valutare la bontà di un investimento è il concetto di rendimento, definito come rapporto tra quello che voglio ottenere e quello che devo pagare.  Nel nostro caso, vogliamo ottenere del lavoro L e dobbiamo pagare con del calore Q che dobbiamo fornire per alimentare la macchina termica.  Definiamo quindi il rendimento energetico come

η = L/Q

E' chiaro che l'energia non si crea e che quindi il lavoro prodotto non può essere maggiore del calore fornito; dunque il rendimento deve essere minore di 1.  Vedremo però che secondo principio della termodinamica pone limiti molto più stringenti al rendimento di una macchina termica.  Proprio lo studio del rendimento delle macchine termiche e dei legami di questo con la reversibilità delle trasformazioni termodinamiche, ha permesso un salto concettuale nella comprensione della termodinamica, portando in particolare al concetto di entropia che sarà il nostro punto di arrivo.

Nell'esperimento che andiamo ad eseguire, vedremo in azione una semplice macchina termica e ne valuteremo il rendimento.

Setup Software

Scarichiamo il foglio di lavoro.

Apriamo il software PASCO Capstone.

A lattina aperta, portiamo il pistone completamente in basso, azzeriamo il sensore di posizione e invertiamone il segno.

Prepariamo un grafico di pressione in funzione della posizione.  

Se usiamo il sensore di temperatura, realizziamo un secondo grafico della temperatura in funzione del tempo (o della posizione).

Portiamo il pistone a metà altezza, serriamo la vite di blocco e tappiamo il cilindro di alluminio.

Raccolta dati

A)  Inseriamo il peso di ottone nello scomparto, immergiamo il cilindro di alluminio nel bagno termico freddo e allentiamo la vite di blocco del pistone.  Denominiamo lo stato raggiunto come stato A.

Registriamo la temperatura TA e avviamo la presa dati da Capstone.

B) Spostiamo il cilindro di alluminio dal bagno termico freddo al bagno termico caldo.  Scaldandosi, l'aria si espande (trasformazione isobara).  Aspettiamo che l'espansione si fermi (punto B).  Durante l'espansione, viene sollevato il cilindro, compiendo un lavoro LAB,  aumentando la sua energia interna di una quantità ΔUAB e assorbendo una quantità di calore  QAB

Registriamo la temperatura TB

C) Serriamo la vite di blocco del pistone e togliamo il peso di ottone dallo scomparto, senza passare con le mani davanti al sensore di posizione.  Allentando la vite di blocco, vediamo una ulteriore espansione: la macchina termica sta compiendo un secondo lavoro LBC, diminuendo in maniera non apprezzabile entro le incertezze sperimentali la sua energia interna di ΔUBC e cedendo un calore QBC.

Registriamo la temperatura TC

D) Spostiamo il cilindro di alluminio dal bagno termico caldo al bagno termico freddo.  Scaldandosi, l'aria si contrae e il cilindro si abbassa (trasformazione isobara).  Aspettiamo fino a quando la contrazione cessa.  Il lavoro LCD è negativo (serve a chiudere il ciclo, riportando la macchina termica nello stato originale A);  l'energia interna diminuisce di una quantità ΔUCD e viene ceduta una quantità di calore  QCD.

Registriamo la temperatura TD

A) Serriamo la vite di blocco e reinseriamo il peso di ottone, facendo attenzione a non passare con le mani davanti al sensore di posizione; allentiamo la vite di blocco.  Il sistema dovrebbe essere tornato al punto A.  In caso contrario, probabilmente non abbiamo aspettato l'equilibrio nel passaggio da C a D oppure la temperatura del bagno termico freddo è cambiata oppure abbiamo avuto una perdita di gas; nel primo caso, utilizziamo come punto A il punto di arrivo che abbiamo raggiunto, negli altri casi, ripetiamo l'esperimento.  

Notiamo una contrazione e quindi un lavoro negativo LDA.  La variazione di energia interna ΔUDA dovrebbe essere al disotto delle incertezze sperimentali.  Il sistema assorbe una quantità di calore QDA.

Registriamo nuovamente la temperatura TA.

Completato il ciclo, possiamo arrestare la presa dati.

• Apriamo il foglio di calcolo

• Compiliamo tutte le caselle scritte in blu: temperature dei bagni termici (in gradi Kelvin), posizione (in m^3) e pressione (in Pa) dei punti A, B, C, D nel grafico. 

Il foglio di lavoro risale automaticamente al volume utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti.  In alternativa, il volume può essere calcolato come il volume V' del cilindro di alluminio e dei tubi (165 ± 5 cm^3) più il prodotto tra l'altezza del pistone e l'area del pistone:  V = V' + Sx.  E' fondamentale che il sensore di posizione sia stato azzerato quando il pistone poggiava sul fondo.

Analisi Dati

LAVORO COMPLESSIVO

Il lavoro generato dalla macchina termica in un ciclo è dato dall'area della regione racchiusa dal ciclo nel piano di Clapeyron pV.  Nel nostro caso, invece che con il piano pV vogliamo lavorare con il piano px.  E' chiaro però che il volume può essere scritto come V = V' + Sx, dove V' è il volume del cilindro di alluminio più quello dei tubicini.  Ne consegue che una variazione di volume ΔV è uguale al prodotto della superficie del pistone S moltiplicata per la variazione di posizione Δx.  Ne consegue che basta moltiplicare per S l'area di una figura nel piano px per ottenere l'area della figura corrispondente nel piano pV.

Possiamo approssimare la curva descritta dal sistema lungo il ciclo con un parallelogramma ABCD:

L = S(pA - pC)(xB - xA)

RENDIMENTO

Per procedere al calcolo del rendimento, dobbiamo in qualche modo capire quanta energia assorbe il sistema sotto forma di calore nelle varie transizioni.  Una misura diretta di calorimetria (basata sulla variazione di temperatura del bagno termico durante una delle quattro transizioni) non è fattibile, perché le variazioni di temperatura sono minime e perché la temperatura del bagno termico non è abbastanza omogenea.  Possiamo però stimare le variazioni di energia interna e tramite il primo principio risalire al calore scambiato.

Approssimiamo l'aria contenuta nella macchina termica con un gas perfetto biatomico (N2 al 78%, O2 al 21%).

Il calore specifico molare a volume costante è c*V = 5/2 R e l'energia interna è

U = n c*V T = 5/2 nR T

Come abbiamo detto, la misura della temperatura comporta un'incertezza relativa troppo elevata, dovuta alla disomogeneità nel bagno termico.  Meglio usare l'equazione di stato e calcolare l'energia interna come

U = 5/2 pV

TRATTO AB (espansione isobara)

Il lavoro si calcola come area del rettangolo sotteso al tratto AB nel piano di Clapeyron:

LAB = pA (VB-VA) = S pA (xB-xA) > 0

La variazione di energia interna è 

ΔUAB = 5/2 pA (VB - VA) = 5/2 S pA (xB-xA) > 0

Per il primo principio, la quantità di calore assorbita è 

QAB = LAB + ΔUAB = 7/2 S pA (xB-xA) > 0

TRATTO BC (espansione)

Trascuriamo le energie scambiate in questa trasformazione:

• Il lavoro è relativamente basso perché il pistone si sposta relativamente poco rispetto allo spostamento nel tratto AB.

• Il calore scambiato è poco perché l'espansione è molto veloce e il sistema non riesce a scambiare con il bagno termico.

• La variazione di energia interna è piccola per il primo principio, essendo trascurabili sia il lavoro che il calore scambiato.

Per il calcolo di queste tre quantità, vedi la pagina "l'esperimento", dove viene spiegato il foglio di calcolo riportato in figura.  Si vede che l'approssimazione di trascurare gli scambi energetici del tratto BC è buona entro una approssimazione del 10%.

TRATTO CD (contrazione isobara)

Si possono fare le stesse considerazioni fatte nel caso AB.  Questa volta il lavoro è negativo, come la variazione di energia interna.  Il calore viene ceduto al bagno termico freddo.

LCD = pC (VD-VC) = -S pC (xC-xD) < 0

ΔUCD = 5/2 pC (VD-VC) = -5/2 S pC (xC-xD) < 0

QCD = LCD + ΔUCD = -7/2 S pC (xC-xD) < 0

TRATTO DA (contrazione)

Tutto è analogo al tratto BC, e di nuovo trascuriamo le energie scambiate.

Risultati

RENDIMENTO

Il rendimento energetico è definito come il rapporto tra l'energia prodotta, cioè il lavoro complessivo durante l'intero ciclo, e l'energia consumata, ossia la quantità di calore assorbita.

Nella nostra approssimazione, in cui trascuriamo QBC, il lavoro complessivo è dato da 

L=(pA-pD)(VB-VA)

Mentre il calore assorbito è

QAB=7/2  pA (VB-VA)

Per la nostra macchina termica, il rendimento è 

η = L/QAB =2/7 (pA-pD)/pA

notiamo che è un valore piuttosto basso:  assorbe molto calore per fare poco lavoro.

Gli ingegneri e i fisici a cavallo delle due rivoluzioni industriali si posero il problema di massimizzare il rendimento delle macchine termiche che progettavano.  Come vedremo a breve, con una certa sorpresa, scoprirono che esiste un limite teorico al rendimento delle macchine termiche.  Ad esempio, per una macchina termica ottimale che operi tra le temperature dei nostri bagni termici, il rendimento è circa il 20%.  In altre parole, anche nel caso migliore, l'80% dell'energia viene sprecata e solo il 20% viene trasformata in lavoro.

Le macchine termiche reali difficilmente si avvicinano al rendimento di una macchina ottimale.  Per questo motivo, non procederemo per via sperimentale ma studiando una macchina termica ideale, in particolare, la "macchina di Carnot".