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Dopo aver mostrato sperimentalmente che la congettura di Keplero è falsa, mettiamo a verifica sperimentale la legge vera.
Questa legge viene usata in un trattato sugli strumenti ustori nel 984 da Ibn Sahl, che non ne rivendica la scoperta. In Europa, viene scoperta, ma non pubblicata, dall'inglese Harriot nel 1602; poi dall'olandese Snell nel 1621 e pubblicata dopo la sua morte nel 1626; infine dal francese Descartes (noto anche come Cartesio) che nel 1637 la esprime usando la funzione seno.
L'enunciato di Descartes è
Il seno dell'angolo di rifrazione è proporzionale al seno dell'angolo di incidenza.
sin r = n sin i
La costante di proporzionalità n (indice di rifrazione relativo) dipende dal materiale usato.
Ibn Sahl e Snell invece avevano trovato una ricetta per costruire il raggio rifratto:
Scegli un punto A del raggio incidente e disegna una circonferenza centrata nel punto di incidenza che passa A;
trova il simmetrico A' di A rispetto alla superficie di separazione;
traccia una seconda circonferenza centrata nel punto di incidenza con un raggio n volte il raggio originale (dove n è l'indice di rifrazione);
traccia da A' la parallela alla superficie di separazione fino ad incontrare la seconda circonferenza in un punto B (nel semipiano opposto ad A' rispetto alla perpendicolare alla superficie di separazione);
il raggio rifratto passa per B.
Basta un po' di trigonometria per mostrare che la formulazione di Ibn Sahl equivale a quella di Cartesio.
L'esperimento
L'esperimento
Disponiamo degli stessi strumenti dell'esperimento precedente. Sul foglio, oltre ad essere rappresentati i raggi rifratti, troviamo anche i segmenti orizzontali e verticali che servono per la costruzione di Ibn Sahl.
Accendiamo la lampada e facciamo in modo che il raggio rifratto si sovrapponga ad una delle semirette già disegnate.
Segniamo l'intersezione tra il raggio incidente e la semiretta verticale che gli corrisponde. Questa intersezione è accompagnata da un'incertezza, dovuta alla larghezza del fascio di luce e alla difficoltà a sovrapporre il raggio rifratto alla semiretta predisposta nel grafico. Notiamo che questa incertezza cresce molto mano a mano che il raggio incidente diventa più verticale.
Dopo aver ripetuto la procedura per tutti i raggi segnati sul foglio, confrontiamo i nostri dati sperimentali con l'andamento teorico, che questa volta invece di essere una retta è una circonferenza.
Proviamo a far passare una circonferenza attraverso tutte le sbarrette verticali che rappresentano le nostre misure.
Tracciamo la circonferenza di raggio massimo e quella di raggio minimo tra quelle che attraversano tutte le sbarrette.
Come al solito, il raggio misurato è la media
R = (R_max + R_min)/2
e la sua incertezza
δR = (R_max - R_min)/2
Concludiamo che la legge della rifrazione è verificata sperimentalmente.
L'indice di rifrazione è dato dal rapporto tra R e il raggio r della circonferenza su cui sono i punti G1, G2 ecc.
n = R/r ± δR/r
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